文摘

在这项研究中,原始的定义Smarandache直纹曲面,根据替代Smarandache直纹曲面框架介绍了移动 。研究的主要结果是定理给出了给予必要和充分条件那些特殊的表面可展和最小。最后,用一个例子插图。

1。介绍

在古典微分几何(1,2),直纹曲面是一个表面可以通过移动扫出一条线在空间。因此,它是由一个家庭的直线称为裁决。因此,它有一个参数化的形式 在哪里是一个开放的实线的间隔 , 被称为直纹曲面的基本曲线,然后呢规定董事的直纹曲面。

统治表面有用和有实际应用在许多领域,如数学物理,计算机辅助几何设计(用CAGD),移动的几何和运动学。

最重要和有趣的概念相对于统治的研究表面是可展性和极简主义的观念。

一般来说,可展统治表面可以变成飞机没有任何变形和扭曲,形成相对较小的子集,包含气缸,锥,切表面。他们是具有高斯曲率[消失3- - - - - -5]。相反,最小的表面表面局部最小化。他们指的是固定边界曲线的表面积最小对其他表面相同的边界。它们与消失的平均曲率特征(6- - - - - -8]。

直纹曲面的研究根据一些移动帧,仍然被一些研究人员的兴趣点。事实上,在[9直纹曲面,研究了使用规范框架 。明确,我们建造了直纹曲面由曲线生成躺在一个任意的正则表面,其裁决是不断规范框架向量的线性组合在 。我们做了两个表面之间的比较研究和在他们共同的曲线 ,研究建立了直纹曲面的属性 ,的特点,提出了与插图示例。

然而,在(10),我们使用替代移动框架研究了直纹曲面11在 。我们建立并研究了直纹曲面的裁决是常量替代框架向量的线性组合曲线的基础。我们研究了所构造的直纹曲面的性质,特点,和给了例子插图的情况下基本曲线是由一些一般性的螺旋线(12)(分别地。斜螺旋(13])。

在曲线理论中,Smarandache曲线在闵可夫斯基时空首次介绍了作者在14]。一般来说,Smarandache曲线定义了曲线的位置向量是由一个移动的框架向量在另一个正则曲线。在[15),一个可以找到两个Smarandache曲线介绍根据替代移动框架。它的担忧Smarandache曲线和Smarandache曲线。

在这项研究中,我们受Smarandache曲线引入的概念Smarandache表面和统治根据替代框架Smarandache直纹曲面 。我们调查定理,给充分必要条件这两个特殊的表面可展和最小的统治。同时,我们得到一些有用的推论结果。此外,我们目前的例子与插图。

2。预赛

让被提供的欧几里得3维平面度量的标准 ,在哪里 是一个直角坐标系的 。回想一下,一个任意的向量的规范 是由 。

让 是一个直纹曲面 。

让我们表示的 直纹曲面上的单位法正常点,我们有 在哪里 和 。

定义1。(见[16])。直纹曲面可展如果三个向量 , ,和是线性相关的。

第一个第二个直纹曲面的基本形式分别定义正则点 在哪里

定义2。(见[16])。的高斯曲率和平均曲率的直纹曲面分别给出正则点

命题1。(见[16])。直纹曲面可展当且仅当其高斯曲率就消失了。

命题2。(见[16])。常规表面最小当且仅当它的平均曲率就消失了。

由于单位速度曲线 非零的二阶导数,存在Frenet-Serret框架表示 ,在哪里 是单位切向量, 是主要的法向量, 曲线的副法线向量 ,分别。

然后,公式是由Frenet-Serret帧 在哪里 和 曲线的曲率和挠率吗 ,分别。

规范单位向量曲线的 是由 的角速度向量 (11]。我们可以清楚地看到,规范单位向量垂直于主要正常吗 。然后,定义一个单位向量的叉积 可以建一个标准正交坐标系沿着曲线移动 。这个框架的定义 和被称为替代框架的曲线 。

的导数公式替代框架是由 在哪里 和 (11]。

定义3。(见[15])。NC-Smarandache曲线根据曲线的替代框架 是由

定义4。(见[15])。NW-Smarandache曲线根据曲线的替代框架 是由

定理1。(见[1])。 是一个通用的螺旋当且仅当该比率 沿着曲线是恒定的。

定理2。(见[17])。 斜螺旋当且仅当吗 是一个常数函数。

3所示。NC-Smarandache直纹曲面和NW-Smarandache直纹曲面根据替代框架

我们开始部分通过新颖的定义两个Smarandache统治表面根据曲线的替代框架 。

定义5。让 是 - - - - - -类可微单元速度曲线 。让我们表示的 另一种框架 。下面的统治所产生的表面 - - - - - -Smarandache曲线和 - - - - - -分别Smarandache曲线,定义了 被称为 - - - - - -Smarandache直纹曲面, - - - - - -Smarandache直纹曲面,根据替代活动标架的曲线 ,分别。

在本节的其余部分,我们将探讨定理,使表面(充分必要条件14可展和最小)。

定理3。 - - - - - -Smarandache直纹曲面(14)是可展当且仅当曲线的选择框架的不变量 假设平等 。

定理4。 - - - - - -Smarandache直纹曲面(14)是最小的,当且仅当曲线的选择框架的不变量 假设平等 。

证明。差异化的第一行(14)对和 ,分别使用(9),我们得到 这两个向量的叉积给出了法向量 - - - - - -Smarandache直纹曲面(14): 因此,正则性条件下,单位正常的 制造的规范(15),我们得到的第一基本形式的组件 - - - - - -Smarandache直纹曲面(14),普通点,如下: 区分(15)对和 ,分别使用(9),我们得到 因此,从(17)和(19),第二基本形式的组件 - - - - - -Smarandache直纹曲面(14)获得正则点如下: 因此,从(18)和(20.),我们获得的高斯曲率和平均曲率 - - - - - -Smarandache直纹曲面(14)定期点: 这回答上面的定理。

推论1。如果 是一个平面曲线(分别地。一般螺旋),然后 - - - - - -Smarandache直纹曲面可展但nonminimal。

定理6。 - - - - - -Smarandache直纹曲面(14)是可展开的。

定理7。 - - - - - -Smarandache直纹曲面(14)当且仅当最小 是一个斜螺旋。

证明。区分第二行(14)对和 ,分别使用(9),我们得到 这意味着法向量 - - - - - -Smarandache直纹曲面(14)是 因此,正则性条件下,单位法 制造的规范(22),我们得到的第一基本形式的组件 - - - - - -Smarandache直纹曲面(14)定期点: 区分(22)对和 ,分别使用(9),我们得到 因此,从(24)和(26),第二基本形式的组件 - - - - - -Smarandache直纹曲面(14)获得正则点如下: 因此,从(25)和(27),我们获得的高斯曲率和平均曲率 - - - - - -Smarandache直纹曲面(14)定期点: 这意味着清楚, - - - - - -Smarandache直纹曲面可展。然而,当且仅当最小 ,所以 =常数,相当于 斜螺旋。

推论2。如果 是一个平面曲线(分别地。一般螺旋和职责。斜螺旋),然后 - - - - - -Smarandache直纹曲面可展和最小。

在这里,我们给调查的例子 - - - - - -Smarandache直纹曲面, - - - - - -Smarandache统治表面根据特殊cuvre替代框架。此外,我们目前的两表面的插图。

例1。让我们考虑正则曲线 定义为 的替代框架向量曲线(29日分别给出) 因此, - - - - - -根据替代框架(Smarandache直纹曲面30.)的曲线(29日)是由参数表示: 在addidtion,其插图由下图表示1这是画的 。
相反, - - - - - -根据替代框架(Smarandache直纹曲面30.)的曲线(29日)是由 和它的插图在图表示2这是画的 。

4所示。结论

- - - - - -Smarandache直纹曲面, - - - - - -Smarandache直纹曲面,根据替代曲线的框架,介绍了 。论文的结果给出了定理的形式给予必要和充分条件那些特殊的表面可展和最小。调查的不变量的特征给关系替代框架,一般螺旋的概念,斜螺旋的概念。最后,给出了一个例子插图。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。