文摘
对于每一个整数 ,表示由最大的'并通过最小的素数 ,称为Smarandache劣质主要部分和优越'的一部分 ,分别。定义 和 。在这个简短的报告中,我们证明了一些估计和 ,Kashihara提出的回答问题和改善燕的结果。
1。介绍
的属性素数数论中发挥基础性作用;尤其是素数的分布在特定的序列一直是一个热门话题。众所周知,如果 ,等差数列的 包含无穷多个素数。这个结果现在被称为狄利克雷定理。另一个例子;对于任何一个正实数 ,一组 叫做贝蒂序列相关(或比蒂组)。对不合理的 ,它遵循从古典伊万Vinogradov,的结果 。2020年,Janyarak Tongsomporn和乔恩•Steuding表明,真正积极的无理数有限的类型,任意的实数 ,和每一个 ,存在一个积极的常数 和任意大这样 在哪里 和 。
1993年,American-Romanian数字理论家Florentin Smarandache出版了一本书命名只有问题,没有解决方案!在这本书中,他提出105解决算术问题和猜想关于特殊的序列和功能,这可以帮助我们分析质数的属性和整数的因素。2019年,刘Miaohua研究Smarandache双重功能被定义为 ,那阶乘分裂 ,也就是说,是
他们得到一个公式 ;也就是说,对于任何正整数 , 在哪里不同的奇质数和吗和是正整数。
在此基础上,我们现在考虑以下Smarandache问题。像往常一样,让是'。对于每一个整数 ,表示由最大的'并通过最小的素数(见[1]),和被称为Smarandache劣质主要部分和优越'的一部分 ,分别。根据这些定义,以下是显而易见的:(一)对于每一个整数 ,我们有 。(b)整数是一个'当且仅当 。(c)我们有
定义
在[210)问题,Kashihara提出两个问题和 :(一)确定是否收敛或发散的。如果它是收敛的,找到的极限。(B)确定是否 收敛或发散的。如果它是收敛的,找到的极限。
燕(3)证明 为 ,这意味着回答问题(B):
在这短暂的注意,我们应当继续研究。我们的目标是双重的。首先,我们应当给予一个完整的回答的问题(a)。我们的证据表明,这个问题数量密切相关 。根据(4),它是猜想D (X)∼X日志X作为 。我们的第一个结果表明发散的。准确地说,我们有
这个简短的注意将把重点放在这两个问题。本文第一个结果显示发散的。准确地说,我们有下面的定理。
定理1。对于任何 ,有一个积极的常数 根据这样,下面的不平等 保持 。特别是,我们有 。
本文第二个结果改善燕的平等(8)相当。
定理2。对于任何 ,我们有 作为 。
相比之下,我们有 和 。
2。定理的证明1
的事实(a)、(b)和(c)上面所提到的,我们有 我们约定在哪里 。从(12)和(13),我们可以推断出
根据定理1,对于任何 ,我们有 对所有 。结合(14)和(15),我们可以推出 在哪里
基本计算,我们有
然后,插入(18)(16),我们可以获得第一个不平等(10)。
相反,根据(5),Heath-Brown证明 对所有 。第二个不平等(10从()之前14)和(19)。
第二个断言是一个直接的结果(10)。这就完成了定理的证明1。
3所示。定理的证明2
相反,公式(13)可以写成
素数定理,我们有
cauchy - schwarz不等式和(19),它遵循
这插入(20.),我们得到
这就完成了证明。
4所示。结论
本文的主要结果是两个定理涉及Smarandache劣质主要部分和优越的主要部分 。定理1建立了不平等的和显示 。定理2建立了一个估计 和获得 作为 。这些结果代表了新的贡献的研究分布Smarandache差'部分,提高相关的结果。当然,我们的方法也可以推广到其他问题的质数在整数集。然而,也有许多尚未解决的Smarandache问题探讨,如Smarandache质数的行列式的性质。这些开放的问题仍有待进一步研究。
数据可用性
期间产生的所有数据或分析本研究包括在发表的这篇文章。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
两位作者阅读和批准最终的手稿。
确认
作者想表达真诚的感谢吴杰他的热情指导和无私的帮助。这项工作得到了n s F (11871193) (p . r .中国青年人才培养计划为大学教师(2019 ggjs241)河南省高校的主要研究项目(河南省20 a110027),启动引进人才(HYRC2019007)河套大学基金会(CN)和n . s . F . (2021 ms01003)内蒙古(CN)。