文摘

在本文中,我们考虑KP-MEW(2, 2)理论的分岔方程的积分常数时平面动力系统考虑。周期性peakon解决方案和peakon平滑周期解。

1。介绍

KdV方程(1] 是一个模型的一维传播管理小振幅和弱色散波。在(1),非线性项 波形的原因趋陡,线性色散项 产生波的传播。

最近有很多研究高维模型。的一个著名的二维推广KdV方程KP方程(2]: Kadomtsev和Petviashvili提出的,被描述为一个非线性浅水波模型与弱非线性恢复力和波浪在铁磁体的媒体。新方程 在许多物理应用中扮演着重要的角色3]。Wazwaz [4)提出了一个KP-MEW方程 与不同的物理结构和调查确切的解决方案。此外,KP-MEW方程研究一些方法(4- - - - - -6]。特别是萨哈(7)被认为是广义KP-MEW方程 利用平面动力系统的分岔理论7- - - - - -11]。在[7),积分常数是被忽视;据说,条件积分常数 ,作者得到行波时的解决方案 多样。更准确地说, ,什么叫KP-MEW(2, 2)方程形式 李是调查和歌曲12]。他们利用平面动力系统的分岔理论找到compacton-like波和kink-like波(6当积分常数 没有被忽视。在那之后,(6)调查发现peakon孤子,cuspon孤子,光滑的孤波解在边界条件通过相图分析技术(13,14]。特别是,广义KP-MEW方程是描述的非线性pde长波的传播损耗和色散非线性媒体。在[15的质变,KP-MEW-Burgers方程的行波解利用数值模拟研究。最近,孤波解KP-MEW方程采用一项新技术的帮助下,这是一个扩展的辅助方程的修改形式映射方法。

在本文中,我们考虑KP-MEW(2, 2)方程的形式 平面动力系统的分岔理论当积分常数 和 ,这不是相同的调查方法。在(7),第一项是进化的术语,而第二项是耗散项和第三项是色散项。

众所周知,非线性复杂波现象出现在很多领域,如等离子体物理、生物学、流体力学、固体物理,光学纤维。他们是相关的非线性偏微分方程。作为现象的数学模型,对非线性偏微分方程精确解的调查将有助于更好地理解这些现象。随着非线性偏微分方程理论的发展,存在许多不同的方法来寻找他们的精确解,如副大臣双线性方法(16),逆散射法(17),达布变换方法(18),等等。实际上,没有统一的技术,可以用来处理所有类型的非线性微分方程。

本文组织如下。节2,这取决于参数的变化 和 ,分岔的阶段的画像系统(2)所示。节3、周期性peakon解决方案的参数表达式和peakon和平滑周期解。节4为给定的周期波解,我们证明KP-MEW(2, 2)方程有两个同步中心在一定的参数条件下,存在周期解的两个家庭平等。

2。相图(7)

使转换 (7)和集成这两次,我们得到 在哪里 波的速度, 是积分常数,然后呢 的导数是吗 。

方程(8)相当于平面动力系统

使用“时间尺度”转变 ,(9)减少常规系统 与第一个积分 哈密顿函数 在哪里 是一个积分常数。因此,系统(9)和(10)具有相同的拓扑阶段画像除了直线 。在一些参数条件下,变量 是一个快变量,变量 是一个缓慢的变量几何奇异摄动理论的意义(19,20.]。

假设 是一个持续的解决方案(9) 和 和 。如果 , 被称为孤波解。如果 , 被称为扭结波(anti-kink)解决方案。孤波解对应于一个同宿轨道,一个扭结(anti-kink)波解对应于两个轨道,和一个周期轨道对应于一个周期行波解。根据动力系统的分岔理论,让 ,,以下是适用的:(我)为 ,系统(10)有两个平衡的点 和 (见图1(一),2(一个)- - - - - -2 (c),3 (b)- - - - - -3 (d),4(一)- - - - - -4 (c))。(2)为 ,系统(10)独特的平衡点 (见图2 (d),3(一个),4 (d))。(3)为 ,系统(10)没有平衡点。(iv)在直线 ,系统(10)有两个平衡的点 和 为 (见图1(一),2(一个),3(一个)- - - - - -3 (d),4(一));系统(10)独特的平衡点 为 在直线 (见图2 (b)和4 (b))。

(一)
(一)
(b)
(b)
图1
阶段的画像系统(9)当 。(一) < 0。(b) = 0。
(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
图2
阶段的画像系统(9)当 。(一) < 0。(b) = 0。(c) 0 < < 。(d) = 。
(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
图3
阶段的画像系统(9)当 。(一) = 。(b) < < 。(c) = 。(d) 0 < < 。
(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
图4
阶段的画像系统(9)当 。(一) < 0。(b) = 0。(c) < < 。(d) = 。

让 线性化方程组的系数矩阵(10)在一个平衡点 和 。因此,以下是适用的:

它有以下命题:平面可积系统的平衡点,如果 ,的平衡点是一个鞍点;如果 ,那么它就是一个中心点;如果 和Poincarѐ平衡点的指数是零,那么它是尖的。

为了方便起见,为了讨论给定的常数 和 ,集 。在下面,我们将讨论4例 : , , ,和 。相位肖像图所示1- - - - - -4。

3所示。一些光滑和非光滑系统的行波解(7)

在本节中,一些系统行波解(7),具体的参数表示的解决方案。的帮助下(21),我们将获得的精确行波解KP-MEW(2, 2)方程。

3.1。周期性Peakon解决方案

在这个小节中,我们将寻找的确切表达周期峰值作为系统的解决方案7)参数条件下 。相位图如图3 (d)。为 ,左边的直线 ,存在一个拱轨道连接S1和S2。与此同时,

因此,从第一个方程(11),参数表示如下: 与方程(15)产生一个周期peakon解决方案;在图所示的概要文件5(一个)。

(一)
(一)
(b)
(b)
图5
周期性peakon解决方案的概要文件和peakon解决方案。(一)定期peakon解决方案 ,和 。(b) Peakon解决方案 ,和 。
3.2。Peakon解决方案

在本节中,我们将考虑曲线三角形 在图3 (c)。存在一个平衡点 (10在三角形的顶点) ,这是远离奇异直线 。如果 ,相点 (10)倾向于平衡点 沿着两条曲线 和 作为 各不相同。在图3 (c)曲线三角形年代2党卫军1定义为 周期轨道的限制曲线给出的是哪一个 , 。当h不同H (P)为0,无穷周期轨道的方法。因此,我们知道,作为家庭的极限曲线的周期性尖波,这条曲线三角形 产生了一个孤独的尖端的浪潮 (称为peakon)。

在上面的分析中,很容易知道, ,有两个拱形的轨道,它连接年代1来年代并连接年代2来年代分别为(见图3 (c))。与此同时, 在哪里 从第一个方程(11);的参数表示peakon解决方案(见图5 (b))得到如下:

备注1。注意定期peakon解决方案(15)和peakon解决方案(17)不获得6,10]。

3.3。平滑周期解

为 (见图1(一)),更准确地说,我们颜色不同的值的轨道 为了更好地理解(见图6)。(我)对应于定义的水平曲线 ,存在三个heteroclinic轨道(绿色轨道图6)连接平衡点 的系统(7),封闭的中心 和 ,分别。的椭圆形轨道上循环, 在哪里 ;然后,它可以到达以下光滑周期波解(见图7(一))系统(7): (2)对应于定义的水平曲线 ,存在两个家庭的周期轨道(红色和蓝色轨道图6)封闭中心 和 ,分别为: 在哪里 。因此,它可以获得的参数表示两个家庭周期波解引用(21),见图7 (b)和7 (c):


图6
系统的相图(2) 。
(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
图7
当 ,的光滑的周期解 (一)和 分别(b, c)。

因此,作为 ,(21)产生周期性peakon解决方案(见图5(一个))。此外,提出了两个家庭数据的周期解决方案等7(b)和7(c),他们的周期是平滑周期解图的一半7(一)。

备注2。注意,平滑周期解(18)和(21)KP-MEW(2, 2)方程中不相同的方法得到的参考。

4所示。结论

在本文中,动力系统的分岔理论方法用于调查KP-MEW方程。我们获得peakon的参数表示,周期性peakon,光滑周期波解。对应的行波系统的相图分岔方程所示。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究得到了国家自然科学基金的广西(2020 jjb110007)和广西大学加强青年项目(2020 ky16019和2020 ky16020)能力。