文摘

反问题的研究(IP)基于拓扑指数(TIs)处理这的数值关系。数学上,IP可以表达如下:给定一个图参数/ TI分配一个非负整数的值每一个图在一个给定的家庭图,找到一些 的 。是由Zefirov集团在莫斯科和后来古特曼等人提出。在本文中,我们建立了IP的 - - - - - -指数,Gourava指标,第二hyper-Zagreb指数,新配方第一萨格勒布指数,新配方 - - - - - -指数,因为他们彼此是密切相关的。我们还研究了相同的分子,树,单循环的,二环图表。

1。介绍

在本文,我们考虑 作为一个简单的(没有循环和多个边缘循环)有限的图,其中包含 顶点, 分别的边缘。的符号 表示程度的一个顶点 。所有其他的符号和术语使用但不明确表示在随后本文可能从[1]。

在化学图论,TI,通常被称为一个分子描述符,可以由一个实数表示计算从化学/分子图所表示的化合物取代原子与顶点与边和债券。TI计算评估的信息分子的原子宪法和债券特点/化合物。分子的TI图形是一个数值的数字,使我们能够收集信息相关的化学结构。它能帮助我们知道它的隐藏属性,而无需进行实验(2- - - - - -4]。这也关联和预测一些物理、化学、生物、制药、药理活性/性质的分子结构图形对应于现实生活中。IP被定义为寻找/建模的可行性的化学结构由图表示索引值等于一个给定的非负整数的整数值的问题。定量构效关系和分子结构的研究(5),一个方法,可以预测一个给定的属性称为分子结构提出问题。反问题担心,一个人可以设计精确的分子结构,满足给定的目标属性通过应用提出问题的解决方案。

最受欢迎和最古老的mba图指标是第一和第二萨格勒布指标。古特曼等人介绍了第一个萨格勒布指数在[6)和第二萨格勒布指数在[7]。他们定义,分别为

2016年,Farahani et al。8]第二hyper-Zagreb指数定义如下:

Kulli [9]介绍了第一和第二Gourava指标,定义,分别

Milicevic首先提出新配方萨格勒布指数在[10),定义为

刘等人。11)提出了新配方 - - - - - -指数,定义如下:

Alameri et al。12]介绍了 - - - - - -指数,它被定义为

图论,数学的一个分支,为解决问题提供了工具的信息理论,计算机科学,物理学,化学(13- - - - - -15]。研究科学的各领域遇到IP,特别是在数学和化学。TI的IP被定义如下:对于一个给定的TI和一个非负整数的值 ,找到(化学)图的 。同时,逆存在的问题(16)的一对 可以问如下:鉴于一个类图和功能 ,的 有 与 吗?基于IP的概念是在莫斯科发起Zefirov组(5,17,18),首次提出了古特曼等人在19]。维纳指数解决的IP (20.]。在[21),研究了IPσ指数以及无环,单循环的,二环图表。施泰纳维纳指数相同的问题也解决了在22]。萨格勒布的这种类型的问题指标,忘记萨格勒布指数,hyper-Zagreb指数研究[23]。Tavakoli et al。24)解决IP第一萨格勒布指数。此外,一些图指数调查的IP (25]。在[26),Czabarka树等人解决了IP对某些参数。学习更多关于逆问题和图操作的拓扑指数,可以看到这些引用(27- - - - - -32]。

有很多IP解决方案的好处。它有助于组合库的设计在组合化学(药物发现33]。这可能有助于加速铅化合物的发现与所需的属性(34]。同时,树的IP应用程序中扮演它的重要性(35)等领域的算法,化学图论、信号处理、电路。

2。预赛

研究的IP - - - - - -指数中,我们将使用以下关键的观察。

让Ł图表和是彼此相邻的顶点。我们细分每条边通过引入一个新的顶点(2)构造一个新的图形Ł^∗(见图1)。

在这里, - - - - - -Ł新指数图^∗将16比图Ł。

引理1。通过应用转换 ,的 - - - - - -索引值将增加16。也就是说, 。

证明。让我们考虑图Ł顶点和度和 ,分别。Ł以来新构造图^∗,一个新的顶点之间插入和 ,

引理2。如果任何一 或 (或两者),然后由上述转换的手段 ,第一个Gourava指数的价值增加8。也就是说, 类似的,第二个Gourava指数的价值增加16。因此,

引理3。如果任何一 或 (或两者),然后通过上面的转换 ,第二个hyper-Zagreb指数的价值增加16。也就是说,

引理4。如果任何一 或 (或两者),然后通过应用转换 ,新配方的价值首先萨格勒布指数和新配方 - - - - - -指数图的Ł增加4和8,分别。因此,

3所示。主要结果和讨论

在图论中,知识产权的基础上,这是一个有趣的人在与不同图的不变量的评估相关的问题/如彩色号码,连接,周长,独立设置的数量。IP在许多科学领域中扮演着重要的角色,尤其是数学。在本节中,我们调查了IP - - - - - -指数,Gourava指标,第二hyper-Zagreb指数,新配方第一萨格勒布指数,新配方 - - - - - -索引。此外,我们已经开发出分子相同的问题,树,无环,单循环的,二环的图表。

3.1。的知识产权 - - - - - -指数

这里我们将讨论的IP - - - - - -索引。

定理1。的 - - - - - -指数连接图甚至可以采取一切积极的整数,除了 在哪里 ;和 。

证明。证明。为了证明这个定理,我们建立一组图形 谁的 - - - - - -索引值是48,2,84,166,248,330,412,和494年,分别。这些数字是相等的到0、2、4、6、8、10、12、14 (mod 16),分别。
考虑到循环图为 。显然,在图2(一), , , ,和 为 。现在我们申请引理1为每个图在图2。因此,需要所有这些甚至正整数的值是16整除,除了16和32。
在图2(b), 。通过应用转换引理1,我们到达图的 - - - - - -索引值 ,等等。有图形的路径。因此,需要所有积极甚至整数值相等的2 (mod 16)。
现在考虑的图在图2(c)与 。通过引理1,我们可以获得图形 - - - - - -索引值 。在这里,包含所有积极甚至整数值4 (mod 16),除了整数 。
图为描绘在图2(d)与 ,然后利用引理1,我们可以带图表 - - - - - -索引值 ,等等。因此,涵盖所有积极甚至整数值6 (mod 16) 。显然,整数 不受施工。
在图2(e) ,然后利用引理1,我们可以带图表 - - - - - -索引值 ,等等。所以,需要所有积极甚至整数值8 (mod 16) 。显然,整数 不受施工。
图在图2(f)包含 。再通过引理1,甚至那些积极的整数值10 (mod 16)给330、348、364、380…等等。
从图2(g),我们有 。通过引理1,需要所有积极甚至整数值12 (mod 16)也有412、428、444、460…等等。
图在图2(h) 。通过引理1,需要所有积极甚至整数值14 (mod 16)也以494、510、526、542…等等。存在没有连接图 - - - - - -指标表中提到的1。

推论1。的 - - - - - -图索引树(或分子)甚至可以采取一切积极的整数,除了 在哪里 ;和 。

推论2。让Ł单循环的连接或双环图。然后,存在 - - - - - -指数的形式 对于所有的非负整数 和 。

证明。证明。让是一个单循环的图是通过添加一个路径长度的两个顶点的循环图为 。因此, 。同样,单循环的图通过添加另一个路径长度两到两个相邻的顶点,躺在(见图3)。我们得到了 。
二环的图通过粘合两个循环图的一侧,我们有吗 也可以表示的表示形式。同样,另一个双环图通过添加一个路径长度两个顶点吗的 。因此, 的形式 为 。

3.2。Gourava指数的IP

这里我们研究IP Gourava指数。

定理2。连通图的第一个Gourava指数可以采取任何正整数除1,2,4,5,6,7,8,9,11、12、13、14、15、16、17日,19日,20日,22日,23日,25日,27日,28日,29日,31日,33岁,35岁,41岁,44岁,49岁的57和73。

证明。通过引理2,我们构造八个系列的图表 包含至少一个顶点的度2的 - - - - - -值的形式 为 。这些图表绘制在图4(一)- - - - - -4 (h)。
考虑一个周期图与 。很明显, 。因此,可以把所有这些正整数的值被8整除。从图(图4)和引理2,我们获得的图形 - - - - - -值 。因此,需要所有正整数(mod 8) 。
考虑到图在图4与 ,也就是说,意味着所有正整数的值(国防部8)。然后,由引理2,得到图= 89,97,105,113,121,…。再一次的图 , 。因此,我们可以得出图的值是18岁,26岁,34,42岁,50岁,今年58岁,66,74,82,…。同样,通过应用引理2的图 , , , ,和 ,我们得到的图形= 59,67,75,83,91,99,107,115,…,60岁,68,76,84,92,100,108,…,45岁,53岁,61年,69年,77年,85年…,38岁,46岁,54岁,62,70,78,…,47岁,55岁,63年,71年,79年,87年,分别…。明星图 , 和示例中描述数据2(d)和5 (b)表明存在图21日,36岁,43岁,到65年,分别。存在没有连接图与第一Gourava索引表中列出2。

推论3。第一Gourava树(或分子)指数图可以采取任何正整数,除了1,2,4,5,6,7,8,9,11,12日,13日,14日,15日,16日,17日,19日,20日,22日,23日,25日,27日,28日,29日,31日,33岁,35岁,41岁,44岁,49岁的57和73。

现在我们研究解决IP第二Gourava指数。

定理3。连通图的第二个Gourava指数可以采取任何积极的偶数除了4、6、8、10、14、16、20、22、24、26日,30日,32岁的34岁,38岁,40岁,42岁,46岁,50岁,52岁,54岁,56岁,今年58岁,62,66,68,70,72,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,118,122,134。

证明。首先考虑路径图为 。很明显, 和 。由引理2,因为 为 ,我们获得的图形 - - - - - -值是28日,44岁,60岁,76年,92年,108年…全等12 (mod 16)。如果我们考虑循环图与顶点,然后 为 。显然,我们得到的图形 - - - - - -值48、64、80、96、112,…。现在的图画在图4有 。因此,通过应用引理2,我们得到图与第二Gourava索引值100,116,132,148,164,…。图表和在图4包含 和 ,分别。因此,通过引理2,获得所有这些甚至整数值126,142,158,174,190,206,222,…到104年,120年,136年,152年,分别…。在相同的步骤,从图4,我们得到的图与 。所以,它遵循了 - - - - - -值154,170,186,202,218,…。
在图6通过引理2,我们有去₂( )= 150,去₂( )= 114。然后利用引理2,我们可以把图166,182,198,214,…到130年,146年,162年,178年,194年,分别…。不受上述变换的整数第二Gourava索引表中列出3。

推论4。第二Gourava索引树(或分子)图甚至可以采取任何积极的整数,除了4、6、8、10、14、16、20、22、24、26日,30日,32岁的34岁,38岁,40岁,42岁,46岁,50岁,52岁,54岁,56岁,今年58岁,62,66,68,70,72,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,118,122,134。

3.3。第二个Hyper-Zagreb指数的IP

定理4。连通图的第二个hyper-Zagreb指数可以是任何正整数,除了2,3,4,5,6,7,9,10,11,12日,13日,14日,15日,16日,17日,18日,19日,20日,21日,22日,23日,25日,26日,28日,29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、41、42、43、44、45、46岁,47岁,49岁,50岁,51岁,52岁,53岁,54岁,55岁,57岁,59岁,60岁,61,62,63,65,66,67,68,69,70,71,73,75,76,77,78,79,81,82,83,84,85,86,87,91,92,93,94,95,98,99,100,101,102,103,107,109,110,111,114,115,118,119,123,126,127,130,131,133,134,135,141,142,143,146,147,149,150,151,157,158,159,163,165,167,173,174,175,181,183,190,191,199,206,215,222,223,231,239,255,271。

证明。我们构建的一系列16图等 。的这些图的值可以表示形式 为 。在图7,我们构造图为 和 。注意,图 数据是相似的4(一),4 (f),4 (c),4 (h),4 (g)分别。我们有( )= 48。然后利用引理3,我们可以带图表值64,80,96,112,…这全等为0 (mod 16)。其次,考虑图而产生的 - - - - - -值 ,和所有这些全等1 (mod 16)。
自()= 162,的意思是施工方法在图H₂引理3,我们得到的图形嗯₂值178,194,210226,…这全等2 (mod 16)。为 ,的 - - - - - -值的整数 这是(国防部16)。类似地,值图覆盖所有的整数 ,和所有这些数字是相等的到4 (mod 16)。为 ,它提供了值 这是(国防部16)。为存在值 这是(国防部16)。它遵循 的图 ,这些整数全等7 (mod 16)。同样的引理3,我们得到的图形 现在,使用引理3的施工方法 ,和 ,我们可以生成图表值8,24岁,40岁…全等8 (mod 16);89,105,121,…全等9 (mod 16);58、74、90,…全等10 (mod 16);139,155,171,…全等11 (mod 16);108,124,140,…全等12 (mod 16);189,205,221,…全等13 (mod 16);238,254,270,…全等14 (mod 16);和257,303,319,…全等15 (mod 16),分别。
画的示例数据2(c),2(d),5(一个),5 (b)有值 ,和207年,分别。这些数字是相等的 ,和15 (mod 16),按时间顺序。存在没有连接图 - - - - - -指标表中提到的4。

推论5。第二hyper-Zagreb索引树(或分子)图可以是任何正整数,除了2,3,4,5,6,7,9,10,11,12日,13日,14日,15日,16日,17日,18日,19日,20日,21日,22日,23日,25日,26日,28日,29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、41、42、43、44、45、46岁,47岁,49岁,50岁,51岁,52岁,53岁,54岁,55岁,57岁,59岁,60岁,61,62,63,65,66,67,68,69,70,71,73,75,76,77,78,79,81,82,83,84,85,86,87,91,92,93,94,95,98,99,100,101,102,103,107,109,110,111,114,115,118,119,123,126,127,130,131,133,134,135,141,142,143,146,147,149,150,151,157,158,159,163,165,167,173,174,175,181,183,190,191,199,206,215,222,223,231,239,255,271。

3.4。IP新配方第一萨格勒布指数

定理5。连通图的第一个新配方萨格勒布指数甚至可以采取一切积极的整数值,除了4和8。

证明。首先,我们考虑的路径与 。的 - - - - - -值等于2。由引理4,得到图 - - - - - -值6、10、14、18…等等。而且,由于 ,通过引理中描述的建设4,我们的图表 - - - - - -20个值是16日,24日,28日,32岁,36岁,40岁,…。因此,涵盖所有积极的偶数除了4和8。

推论6。的第一个新配方萨格勒布索引树(或分子)图可以采取一切积极的甚至是整数值,除了4和8。

3.5。新配方的IP - - - - - -指数

定理6。这种改进的 - - - - - -指数的连通图可以是任何积极的偶数,除了4、6、8、12、14、16、20、22日,28日,30日,36岁,38岁,46岁,54和62。

证明。的路径图 ,我们得到了 。因此,通过应用引理4,得到图 - - - - - -值等于10,18岁,26岁,34岁,…。同样,循环图 ,我们有 和明年获得图形 - - - - - -值32、40、48、56…。以类似的方式,开始和在图4,我们获得的图形 - - - - - -值78,86,94,102,…,52岁,60岁,68年,76年,分别…。

推论7。这种改进的 - - - - - -索引树(或分子)图可以是任何积极的偶数,除了4、6、8、12、14、16、20、22日,28日,30日,36岁,38岁,46岁,54和62。

4所示。结论

最近的反问题是图论相关应用领域的问题。在这里,我们研究了IP基于一些图拓扑指数等 - - - - - -指数,Gourava指标,第二hyper-Zagreb指数,新配方第一萨格勒布指数,新配方 - - - - - -索引。我们已经研究了逆问题上述指标,因为他们彼此是密切相关的。我们也调查的结果树,分子、单循环的,二环图表。反问题仍然需要其他图指数和分子结构。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关这篇文章的出版。