文摘
线性重心理性方法求解两点边值方程。的矩阵形式的搭配方法也得到了。的帮助下收敛速度插值、线性收敛速度的重心合理搭配方法证明了求解两点边值问题。提供了几个数值例子来验证理论分析。
1。介绍
许多物理现象的分析和解决工程问题可以减少到微分方程的边值问题,其中大部分由数值方法需要解决的。重心插值法是一种高精度的计算方法,和强大的搭配形式依赖于微分方程,这已被许多学者广泛的研究。线性重心rational method (LBRM) [1- - - - - -3)已被用于解决某些问题,如延迟沃尔泰拉积分微分方程(4),沃尔泰拉积分方程5- - - - - -7),双调和方程(8),梁强迫振动方程(9],边值问题[10],热传导问题[11[],平面弹性问题12[],不可压缩平面弹性问题13[],非线性问题14],等等1,15]。
在本文中,我们我们注意两点边值问题的数值解:
让时间间隔 被分割成统一的部分 和 与它相关的函数 。对于任何 ,与 ,插值函数在点 ,然后我们有 ,和 在哪里
改变多项式拉格朗日插值形式
然后我们得到 它的基函数在哪里吗
等距的点,它的权函数
第二类切比雪夫点 和它的权函数
考虑到重心插值函数 并给出数值方案
通过使用微分矩阵的符号,方程(13)表示为矩阵的形式 在哪里 。
方程(13)写成矩阵的形式 在哪里 和 。使用插值公式,可以离散边界条件
2。收敛性和误差分析
误差函数的差分公式 和 在哪里 。把数值方案
下面的引理证明了让·保罗·Berrut (13]。
引理1(见[13])。为中定义的(18),我们有 让的解决方案(1),是数值解,那么我们有什么 和
结果可以获得的参考14]。
基于以上引理,我们得到下面的定理。
定理1。让 ,和 ,我们有
证明。作为
,在哪里
和
把第二列,第三列,列n添加到列1,我们有
这意味着矩阵是奇异矩阵。
同样的我们有
然后我们假设
与
,
,在哪里。
。
通过
这意味着
在哪里矩阵的元素是什么
。
然后我们有
完成证明。
我们知道,中央差分法可以实现二次收敛和收敛的顺序是一样的d= 3。当d> 3,重心的理性方法的收敛优于中央差分法。
3所示。数值例子
例1。考虑到两点边值: 和分析解决方案 在这个例子中,我们考虑到两点边值方程与边界条件 。在表1,用不同的等距节点的收敛速度是 ;在表2的收敛速度与不同的第二类切比雪夫点是 。从定理1,收敛速度 ,和没有收敛率 。这里的收敛速度和在表中1和2为 ,分别在其他纸和我们将具体分析。
例2。考虑到两点边值。 与边界条件 和分析解决方案 在这个例子中,我们考虑两点边值的变系数方程的边界条件 。在表3,用不同的等距节点的收敛速度是 ;在表4的收敛速度的第二类切比雪夫点不同是 。
4所示。结束语
本文的数值近似线性重心合理搭配方法求解两点边值方程。的矩阵形式简单的计算算法;借助牛顿公式,误差函数的收敛速度也获得了。常系数和变系数的两点边值方程,数值结果表明,收敛速度可以达到等距节点和第二类切比雪夫点 。的特殊情况 ,还有收敛率 ,和这一现象的分析将在其他论文。
数据可用性
的数据支持本研究的发现可以从相应的作者在合理的请求。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
山东省自然科学基金的支持(没有。ZR2019PA021)。