文摘

在本文中,我们讨论一类多项初值问题的可解性涉及Caputo-Fabrizio分数导数通过拉普拉斯变换。我们获得必要和充分条件来保证解决问题的存在。我们还获得封闭形式的解决方案。我们提出两个例子来说明结果的有效性。

1。介绍

最近,有极大的兴趣开发新类型的部分衍生品的非奇异的内核。出于应用程序中,卡普托和法首先介绍这种类型的部分衍生品与外地和非奇异的内核(1]。Caputo-Fabrizio导数与各种应用程序连接(见[2- - - - - -6])。没有输入分数微分方程的稳定性分析研究(7),获得指数稳定性的Caputo-Fabrizio导数。因为他们的内核是外地,部分衍生品保存记忆,因此,他们被用来模拟几个(先生)流行病模型(见[8- - - - - -14])。已经实现了一些分析技术来研究各种分数方程与部分衍生品没有单一的内核,如拉普拉斯变换,减少初始值问题整数衍生品,最大的原则,和不动点定理(见[15- - - - - -21),只提到一些许多文学。下面的定义需要我们的问题。

定义1。一个函数 据说是绝对连续吗 ,如果存在一个函数 这样 在下面,我们将使用的符号 表示绝对连续函数的空间 。

定义2。一个函数 据说是指数阶,如果存在三个常量 这样 。
然后,我们定义以下空间。

定义3。的空间 被定义为 在本文中,我们考虑多项部分初始值问题: 在哪里 ,和 是卡普托的Caputo-Fabrizio分数阶导数的意义。在这里,我们假设 ,所以他们的拉普拉斯变换是定义良好的。

定义4。(见[1])。为 , 和 ,卡普托的Caputo-Fabrizio分数阶导数定义为感 在哪里 是一个归一化函数满足吗 。
相应的分数积分和导数的性质,我们读者指(1,5,22- - - - - -24]。在[15,17),部分初始值问题转化为等价的初始值问题整数衍生品。然而,多项技术无效的初始值的问题。单一的问题 讨论了在23,获得了问题的解决方案在一个封闭的形式。在本文中,我们应用拉普拉斯变换分析解决方案的部分初始值问题(3)和(4)。本文的组织结构如下:在部分2,我们提出一些初步结果Caputo-Fabrizio分数导数和得到充分必要条件保证解决问题的存在(3)和(4)。我们还获得使用拉普拉斯变换的封闭形式的精确解。节3,我们给出两个例子来说明我们的研究结果的有效性。最后,我们关闭了一些结束语部分4。

2。主要结果

我们从有关Caputo-Fabrizio导数的定义和主要结果。然后,我们现在的必要和充分条件解决问题(3)和(4)。自 ,方程(3)可以写成 在哪里 和 表示两个函数的卷积。

备注1。让 在哪里 和 与度多项式 和 ,分别,与真正的系数。如果 ,然后的拉普拉斯逆变换 存在,可以评估使用部分分式。

引理1。为 ,以下持有:(1) (2)

证明。(1)对于任何函数 , 是一个连续函数的卷积产品和 函数,是连续的(2)因为对于任何 , 是连续的;然后,

定义5。让空间 被定义为

引理2。以下适用于多项部分初始值问题(3)和(4)。(1)如果一个解决方案 存在这样 对于任何 ,然后 (2)如果 ,和 ,然后一个独特的解决方案 存在(3)如果一个解决方案 存在 和 ,然后

证明。(1)让 是一个解决多项部分初始值问题(3)和(4), 对于任何 。由引理1, 对于任何 然后,从方程(3),一个人 (2)让 , ,和 。然后,应用拉普拉斯变换方程(6)和使用卷积结果 在哪里 。上述方程收益率 我们有 在哪里 和 多项式的度 和 ,分别。用方程(11),我们有 或 现在,主要的多项式的系数 是 ,的首项系数多项式 是1。如果 ,然后 是一个多项式的学位 。让 这 是定义良好的。然后, 使用拉普拉斯逆变换的唯一性结果 这就完成了证明。(3)让一个解决方案 存在 和 。从方程(14),让我们定义 定义 承认一个逆变换 的程度 。此外,由于 ,也 也承认一个拉普拉斯逆变换,因此 (通过卷积规则)。一个可以重写方程(14), 然而,由于 的程度 和 ,右边不承认一个拉普拉斯逆变换,左边,这是一个矛盾。

引理3。让 ,是一个解决多项部分初始值问题(3), ,然后 。

证明。从引理1,因为 ,然后 。

备注2。如果 ,和 ,然后一个解决方案 存在由引理2。如果 ,即使存在一个解决方案 ,它可以评估使用拉普拉斯变换在以下方式。

引理4。让 是一个可能的解决方案多项部分初始值问题(3)和(4), , ,和 。如果 有一个拉普拉斯逆变换呢 ,在哪里 和 定义在方程(22)。

证明。替换 ,在方程(14),我们有 自 ,我们有 是一个多项式的学位 。让 这 是定义良好的。然后,方程(14)的收益率 如果 ,然后 在方程(23)可以写成 应用拉普拉斯逆变换,我们有 我们总结结果在以下主要定理。

定理1。考虑多项部分初始值问题(3)和(4)。(1)为 ,如果一个解决方案 ,存在,那么 (2)如果 ,和 ,然后一个解决方案 存在(3)如果 和 ,然后一个解决方案 当且仅当存在 (4)如果 ,和 ,然后一个解决方案 存在

3所示。说明性的例子

我们主要讨论两个例子。第一个是认为一个连任两届的问题 。我们展示的存在某一特定情况下的解决方案强加了额外的条件。第二个例子是,认为三任问题 。所以,存在的一个独特的解决方案是保证。我们提出的解决方案在一个封闭的形式,并讨论一些特殊情况。

例1。考虑两届部分初始值问题: 自 ,然后这个问题没有解决方案 。为 和 拉普拉斯逆,承认问题的解决方案。来验证,我们发现解决方案由方程(25)。我们有 在哪里 因此, 和解决方案 ,提供了吗 。
作为一种特殊的情况下,让我们考虑一下 。然后, , ,和 拉普拉斯逆。因此, 为 和 ,我们有 ,和

例2。第二个例子,我们考虑这位连任三届的初值问题: 自 和 ,问题有一个独特的解决方案由方程(17)提供 。我们有 让 然后 与 并给出解决方案 为 ,我们有 ,因此 为 ,我们有 ,因此 作为一个特定的情况下,如果我们考虑 ,我们有 在哪里 , ,和 。
为 ,我们有 。

4所示。结束语

我们获得了多项的解决方案类的部分初始值问题在封闭使用拉普拉斯变换形式。我们还讨论了几种必要和充分条件来保证解决问题的存在。结果是否可扩展更广泛类别的多项初始值问题或部分方程组是留给未来的工作。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

作者的贡献

第一作者已经发起了这个想法,获得分析结果。第二作者做了数值例子,共享的讨论和批准了最终稿的手稿。