文摘
在本文中,我们使用估计的基本方法和特点总结证明以下结论。让是一个典型的足够大。然后,对任何正整数与 ,必须存在两个原始的根和模与 这样的方程 持有, 是一个固定的正数。换句话说,可以表示为两个原始的确切和根模吗 。
1。介绍
让是一个',是一个有限的领域( )元素特征 。Golomb猜想(见[1)可以概括如下:对于任何非零元素 ,存在两个基本元素和 这样的方程 成立。
如果我们假设表示所有原始根源的集合模与 ,然后Golomb猜想在降低残渣系统模可以被描述为,对于整数吗 ,存在两个原始的根和 这样的一致 成立。
这个猜想是不仅基本解决,还进行各种各样的概括。有兴趣的读者可以参考引用(2- - - - - -11]。例如,我们是一个奇怪的'足够大。然后,对任何整数 , ,和与 ,至少有两个原始的根和这样的一致 持有(见阳光(2])。
显然,如果整数 和原始的根 满足一致性 ,然后 或 。
一个自然的问题是固定的 ,有两个原始的根 的这样
当然,对于一些正整数 ,方程(1)没有解决方案。例如, , 和3。所以,我们认为的问题(1)是有意义的,这也是密切相关的最小原始根模 。
另一方面,我们也想知道有多大(相对于 ),因此,方程(1)必须有一个解决方案。
为了方便起见,任何奇怪的总理和整数 ,让 表示方程的所有解的数量 ,在哪里和是两个原始根模吗与 。
在这篇文章中,我们将使用估计的基本方法和特点总结研究的渐近性质 并证明以下。
定理1。让是一个奇质数。然后,对任何整数 ,我们有渐近公式: 像往常一样,表示和欧拉函数表示所有不同的主要因子的数量 。
很明显,对于任何正数 ,如果'足够大,那么我们的所有整数定理是重要的吗 。即主要术语比的误差项大定理。立即从我们的定理,我们可以推断出以下几点:
推论1。让是一个奇怪的'足够大, 是一个固定的正数。然后,对任何正整数与 ,必须存在两个原始的根和模这样
注意:首先,我们定理的结论也可以通用。也就是说,让是一个奇怪的和是一个固定的正整数。对于任何一个整数 ,如果 表示方程的所有解决方案的数量 , ,在哪里和所有( )原始的根模吗 ,然后我们有以下渐近公式:
如果 和 ,那么这个渐近公式也是不容忽视的。
其次,下界的在我们的推论很粗糙。如何提高常数 是一个有趣的开放问题。
猜想1。让 是一个固定的正数是一个典型的足够大。然后,对任何正整数 ,必须存在两个原始的根和模这样的方程 成立。
2。几个前题
为了完成主要结果的证明,我们需要几个简单的前题。为了简单起见,我们不重复一些初等数论和解析数论的结果,可以发现在引用(12- - - - - -14]。首先,我们有以下。
引理1。让是一个奇质数。然后,对任何整数与 ,我们有身份 在哪里 , 表示所有整数的总和 这样是coprime , 默比乌斯函数,表示指数相对于一些固定的原始的根 。
证明。看到命题2.2 (13]。
引理2。让是一个奇怪的和 是狄利克雷字符模 ,至少其中一个是nonprincipal性格。让是一个积分系数多项式的学位 。然后,两两不同的整数 ,我们的估计
证明。事实上,这个结果是引理17 (15]。一些相关的工作也可以发现在16- - - - - -19]。
引理3。让是一个奇质数。然后,对任何整数 和任何两个狄利克雷人物和(至少其中一个是nonprincipal字符)模 ,我们的估计
证明。很明显,对于任何整数 ,我们有三角恒等式 和估计 从(8),(9),引理2,我们有 这证明引理3。
3所示。这个定理的证明
现在,我们将完成我们的主要结果的证明。对于任何一个整数 ,定义的 和引理1,我们有
很明显, 狄利克雷字符模吗 。所以,从玻利亚和Vinogradov律的经典之作(见[12];定理8.21和定理13.15),我们的估计 在哪里任何nonprincipal字符模吗 。
现在,从(11),(12),引理3,我们有 我们使用单位在哪里 和表示所有不同的主要因子的数量 。
这就完成我们的定理的证明。
4所示。结论
本文的主要结果是定理,这Golomb密切相关的猜想。它描述了,当总理足够大,对于任何整数 ,必须存在两个原始的根和模这样的方程 持有, 是一个固定的正数。与此同时,我们也给一把锋利的渐近公式等所有的计数功能的解决方案 。事实上,我们的结论是强于Golomb猜想的减少渣系统 模 。注意的推论,我们还提出了一个开放的问题。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
作者的贡献
所有作者都同样导致了这项工作。所有作者阅读和批准最终的手稿。
确认
这项工作得到了中国p . r . NSF(没有。11771351)和河北省自然科学基金(没有。A2015410006)。