文摘

本文正算子解算子方程 (t> 1)研究无限维希尔伯特空间。首先,规范的范围和解决方程的谱半径。其次,通过构建有效的迭代序列,它给一些条件存在的积极操作算子方程的解决方案 (t> 1)。这些操作符的关系给出了算子方程。

1。介绍

算子代数中发挥了重要作用的功能分析;它已经被许多作者认为。与此同时,算子方程算子理论最热门的话题之一。算子方程正解的研究开始于1990年代;它被应用于许多领域,如动态规划(1),随机筛选,控制理论2,3),和统计(4]。近年来,算子方程获得一个伟大的发展和许多学者投入研究不同的算子方程(见[5- - - - - -11])。

在本文中,我们H是无限维希尔伯特空间和B (H)表示所有有界的线性算子的集合H;我们将考虑非线性算子方程。 在H;在这里, 与问> 0,一个 的伴随一个。

在过去的几年中,许多作者不同的迭代方法用于计算正定解的方程(1在有限维空间中)。在本文中,我们扩展算子方程的研究(1)从有限维空间无限维希尔伯特空间。存在的一些必要条件正算子解算子方程(1)。此外,条件算子方程(1)积极运营商解决方案。

为 , 表示伴随,光谱,和规范一个,分别。如果 对所有 ,然后一个据说是一个积极的运营商和用吗 。为积极的运营商 ,以下的结论是显而易见的:(1)为P≥问> 0, 。(2)积极操作符P, ,在哪里

2。主要结果和证明

引理1(见[12])。让 。如果 ,然后 。

引理2(见[12])。让一个和B是自伴的运营商 。如果 ,然后对任何 ,我们有 。

命题1(见[12])。如果 是正常的,然后呢代数生成的一个是可交换的。

定理1。如果算子方程(1)有一个积极的运营商解决方案X,然后

证明。如果算子方程(1)有一个积极的运营商解决方案X,从 ,我们可以获得 。从引理2,很容易看到的 。从方程(1), 我们可以获得 。也就是说, 。这个定理证明。

定理2。如果是可逆的,则方程(1)有一个积极的运营商解决方案。

证明。让 ,然后是连续的 。很明显, 对于任何X结合定理的证明1,我们有 ,也就是说, ;这意味着是一个映射本身 。不动点定理,有一个固定的点在 这样 ,也就是说, ,也就是说,是一个积极的方程(运营商解决方案1)。

定理3。让 。算子方程 有一个积极的可逆的运营商解决方案吗X当且仅当一个有因素分解 ,在哪里W B满足 和W是可逆的。

证明。如果算子方程(1)有一个积极的运营商解决方案X,让 ,然后 和W是可逆的,所以 。根据方程(1),我们有 让 ,然后 。从平等(5),我们得到 。相反,如果一个有因素分解 ,W B满足 和W是可逆的。让 ,然后 也就是说,X是一个积极的方程(运营商解决方案1)。
在[6),它证明了,如果一个不可逆的X是一个积极的解决办法吗 ,然后 。在有限维空间中,如果一个是不可逆的,呢 ,但在无穷维空间,如果一个不可逆的,也许一个零空间;的引理6)不是在无穷维空间,但下面的结论。

定理4。如果 有积极运营商解决方案X,然后 当且仅当一个下面是没有边界的。

证明。从定理1,我们知道 对于任何积极的方程(运营商解决方案1)。
必要的。如果 有积极运营商解决方案X和 ,然后 ,因此存在单元序列这样 。对于任何一个单位向量 ,我们有 因此 。另一方面, 。
因此, ,因此一个下面是没有边界的。
足够了。假设 对于任何积极的运营商解决方案X,然后是负的,可逆的,那么任何单位向量 ,存在常数 这样 。自 和 ,我们可以得出结论, 也就是说, ;这说明一个下面有界;这是一个矛盾 。

定理5。如果X是一个积极的方程(运营商解决方案1),然后

证明。从 ,我们有 ,也就是说, 从第一个不平等的10),我们有 ,也就是说, 。
从第二个不平等的10),我们有 ,也就是说, 。因此, 。

定理6。如果是正常的, 和一个Q t满足 ,然后方程(1)积极运营商解决方案,米是正整数吗 。

证明。考虑积极的序列操作符 , 根据迭代序列(11),是在代数生成的一个和Q。因为一个是正常的,按照命题吗1,对于任何 ,我们有 。自 和 ,很容易看到的 ;这意味着 。连续的比喻:我们可以证明 因此,子序列和都收敛于积极的运营商。同时,对所有非负整数我,我们有 。
。表示 ,然后 同样,我们有 连续的类比: 因此, 。结合条件 ,我们可以知道子序列和收敛于相同的积极的运营商,运营商正解的方程(1)。

数据可用性

本文是一个没有数据的理论分析。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金(11301318)和陕西的自然科学基础教育委员会授予(18 jk0162)。这项工作也支持了中国的NSF。