文摘

传统的径向基函数参数控制这些函数的平面度和近似解的精度和稳定性的影响。耦合径向基函数,这是基于无限光滑径向基函数和锥形花键,达到准确和稳定的数值解,而形状参数值几乎是独立的。在本文中,我们给出一个最优圆锥样条可以改善计算结果。此外,我们考虑搭配点Chebyshev-type中提高解决方案的准确性没有额外的方法计算成本。

1。介绍

multiquadric (MQ)径向基函数(RBF)搭配方法,也称为监察的方法(1),是一种很有前途的解决各种问题的高效数值方法由偏微分方程。众所周知,在传统MQ-RBF形状参数的选择是非常重要的在处理偏微分方程,和它的小变化可能引起严重的分歧的解决方案(2]。选择最优形状参数的RBF方法一直是一个具有挑战性的任务(3- - - - - -7]。几次和已经取得相当大的进展文献[8- - - - - -11),但这个问题仍然是一个瓶颈MQ方法应用于实际问题。

耦合的rbf (CRBFs) [12)是由multiquadric构造(MQ)和逆multiquadric (IMQ)伴随着圆锥样条。进一步的调查,准锥形花键直接用于CRBF Chebyshev-type下搭配点方案。Chebyshev-type方案的新颖性在于计算成本是相同的传统方法有了更精确的解决方案,而不需要考虑使用的虚拟点其他方法(13- - - - - -16]。

部分2给CRBF的基本理论伴随着一个准锥形花键及搭配点Chebyshev-type下计划。其次是部分3,数值结果对两个指标的例子是用来说明解决方案提高精度以及稳定性。

2。CRBF方法

为简便起见,我们考虑为椭圆边值问题的二阶偏微分方程: 在哪里 规定的系数, 是一个二维物理领域, 狄利克雷边界上的已知边界数据吗 ,和 诺伊曼边界上的已知边界数据吗 ,与 和 。

CRBF的基本理论方法在于边值问题数值解的方程(1)- (3)可以给出以下通用配方: 在哪里 源点的总数吗 在整个物理域 , 所需的系数, MQ, 是圆锥样条 欧几里得范数距离点 和 。在这里,不同的圆锥曲线( , , )在方程(4)被认为是比较,和下面的数值结果将显示 是最优选择,而不是 ,更准确的结果以及稳定性。

我们表示 域内的搭配点 , 搭配狄利克雷边界上的点 ,和 诺伊曼边界上的搭配点 总数量搭配 。

在这里,我们考虑搭配分Chebyshev-type计划,生成的时间间隔 ,而不是传统的均匀分布的源点。新奇的想法在于,计算成本是相同的传统方法更准确的解决方案,不需要考虑虚拟点使用的其他方法(13- - - - - -16]。定代搭配点每个方向的物理域Chebyshev-type显示如下:

对二维点,配置如图1。


图1
点Chebyshev-type方案的配置。

在任意时间间隔 ,一个仿射变换可以用:

通过强迫方程(4)满足方程(1)- (3)搭配点这是相同的源点 ,我们有一个 系统 ,在哪里 , ,和 是转置向量。

3所示。数值结果

在本节中,三个例子被认为验证DRBF。公平的比较与其他数值方法,我们使用的最大绝对误差(MAE)、绝对误差和均方根误差(RMSE)。RMSE定义如下(17,18]: 在哪里 在测试点则是分析的解决方案吗 ,和 测试点的数值解决方案吗 。 测试点的数量在物理领域。

3.1。示例1

我们考虑相同的例子所9];方程的精确解(1)- (3)是 和域 ,方程的系数(1)- (3) , , , , ,和

在这里,我们使用缩写词与不同的圆锥曲线作为CMQ5 MQ ,CMQ7为 ,CMQ9为 ,和CMQ11 。选择搭配点数量 和 。CMQ与Chebyshev-type搭配,点是CMQC的缩写。自下搭配Chebyshev-type不是均匀分布,选择搭配点数量 和 。众所周知,在角点解精度通常比内部振荡更严重点。计算点的数量 选择均匀分布在吗 而不是 用于(9]。

图2下的数值结果显示了rms值不同 。从图可以看出2消失了,形状参数的影响 。此外,搭配数量对计算结果的影响也调查了如图3,在那里 对于CMQ,, CMQC, 。从数据2和3,我们发现CMQ9 CMQC9执行比其他情况下更稳定的形状参数和搭配数量,而CMQC9精度最好的解决方案。


图2
rms领域解决方案和参数的值c。

图3
rms领域解决方案和数量搭配米。

固定搭配点数量( 对于CMQ和, CMQC)图4提供了领域的绝对误差表面对整个解决方案域的解决方案。从中我们发现角落里的绝对错误点CMQ5和CMQ9振荡,但CMQC9案例可以缓解这一现象。


图4
绝对误差表面领域解决方案整个解决方案域。

进一步的调查,我们建议使用准锥形花键 伴随着搭配点Chebyshev-type下计划。这可以提高解决方案的准确性CRBF以及稳定,没有额外的计算成本。

3.2。示例2

我们考虑一个传热问题与温度分布由以下方程: 和在相同的领域如示例1部分,材料的电导矩阵 在以下表达式:

更具体地说,

根据给定的边界条件是分析解决方案 ,和相应的源函数 。

图5下的数值结果显示了rms值不同 。从图可以看出5消失了,形状参数的影响 。与此同时,我们发现原来的MQ方法拥有比其他CMQ方法,更准确的结果。


图5
rms领域解决方案和参数的值c。

4所示。结论

耦合径向基函数,这是基于无限光滑径向基函数和锥形花键,达到准确和稳定的数值解,而形状参数值几乎是独立的。摘要准锥形花键径向基函数,可以改善计算结果,调查。搭配分Chebyshev-type计划被认为是在整个解决方案过程;这可以提高最优解精度的锥形花键径向基函数方法,没有额外的计算成本。

见两个例子,准锥形花键径向基函数方法保持几乎不变的准确性和稳定的形状参数范围广泛的范围。这是承诺在处理许多实际问题在工程应用中包括逆问题[19]。作为一个全球搭配方案,大规模的稠密矩阵是另一个问题的问题。局部径向基函数方法或其他方法将被认为是在未来进行进一步的调查20.- - - - - -22]。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称他们没有利益冲突的报告对于本研究。

确认

这项工作得到了安徽省自然科学基金(项目号1908085 qa09),山东省自然科学基金(项目号ZR2020ME194),聪明的开放基金(201812029),和安徽的大学自然科学研究项目(项目号KJ2018A0396和KJ2020ZD008)。