文摘

在这篇文章中,我们更新的著名的不动点定理,利用插值Kannan非对称度量空间的概念。我们考虑一些不对称的版本。我们还将展示一些说明性的例子支持的结果。

1。介绍和预赛

2018年,Karapinar [1)出版的一种新型的收缩来自Kannan收缩通过插值的定义如下。

定理1(见[11,定理2.2])。让 是一个完备度量空间 是一种Kannan添入的收缩,即。self-map这样存在 这 对所有 与 。然后, 有一个独特的定点在吗 。

这个定理已经于2019年广义Gaba et al。2]介绍的概念 - - - - - -添入的宫缩Kannan如下。

定义1。让 是一个度量空间 self-map。我们称他为 一个轻松的 - - - - - -添入的Kannan收缩(如果存在) 与 这样

插值方法已经成功地应用于不同范围的收缩(见[3- - - - - -8])。

1982年,莱利等。9)获得度量版本的庆祝巴拿赫收缩原则。从那时起,特别是在过去的十年中,一些作者造成了不动点理论的发展(见[非对称度量空间的框架10,11])。在同样的精神,我们在这里提供度量版本的Kannan添入的不动点定理。

我们的基本参考资料(非对称度量空间12]。

定义2。(见[13])。让 是一个函数, 是一个非空的。这个函数被称为quasi-pseudometric(分别 拟度量) 如果 和 (分别 和 )持有,

的条件 被称为 - - - - - -条件。此外,quasi-pseudometric 在 ,有一个自然的功能 ,定义为 对所有 。这是命名的共轭的 。对于一个 - - - - - -非对称度量 在 ,距离函数 定义为 对所有 是一个规 。

经典的例子 - - - - - -非对称度量是截断的区别。

例1。(截断的区别)。集 。鉴于 作为 在这种情况下, 形成一个 - - - - - -非对称度量。此外,对 变成了一个 - - - - - -非对称度量空间。

每一个度量 在 导致一个 拓扑结构 在 已为基础的家庭开放球 在哪里 。

如果 满足分离公理 (职责。 ) ,我们说 是一个 (职责。豪斯多夫)度量空间。请注意, - - - - - -度量空间 是 当且仅当对每个 ,的条件 意味着 。

一个度量空间 如果度量空间叫做bicomplete 就完成了。

定义3。(收敛quasi-pseudometric空间,看到12])。
让 是一个quasi-pseudometric空间。我们说的序列 是收敛的来 ,或left-converges来 ,如果 我们表示通过 。更准确地说, 收敛于 关于 。
以类似的方式,一个序列 是收敛的来 或right-converges来 关于 ,如果 我们表示通过 。一个序列 设置的quasi-pseudometric空间 是收敛的来 如果序列收敛于 从左和右, 此外,它是表示 (或者, ,如果没有混淆)。

备注1。定义的 - - - - - -收敛,我们有

1.7在[7例。),相反的含义并不一般。

定义4。(比较13])。(1)一个序列 在一个quasi-pseudometric 被称为左 柯西如果对于每一个 ,存在 这样 (2)同样,我们定义正确的 -Cauchyness。一个序列 在度量空间 就是正确的 - - - - - -柯西如果是离开了 - - - - - -柯西序列的非对称度量空间 。(3)非对称度量空间 被称为左(右) - - - - - -按顺序完成如果每个左(右) - - - - - -柯西序列收敛拓扑 。(4) 被称为 - - - - - -按顺序完成如果每个度量空间中的柯西序列 收敛拓扑 。

备注2。一个很容易相信bicompleteness和左(右) - - - - - -连续完整性意味着 - - - - - -连续的完整性。然而,其余的影响并不一般。更多细节,读者可以参考(12]。

2。回顾Kannan添入的映射

让我们回想一下,一个度量空间插值Kannan收缩 是一个self-mapping 这样存在 的 对所有 与 。

本文的主要结果之前,我们想要纠正一个错误出现在定理2.2的证明论文Karapinar [1]。

定理2。(见[11,定理2.2])。
让 是一个完备度量空间 是一种Kannan添入的收缩,即。self-map这样存在 这 对所有 与 。然后, 有一个独特的定点在吗 。

证明。Karapinar所呈现的证据后,让 ,和构造序列 通过 对所有正整数 。采取 和 在(10),我们得到 的收益率 不难看到,不平等(10)是不对称的,为了填补这个差距,我们也考虑的情况 和 在(10)。所以采取 和 在(10),我们有 的收益率 自 ,很明显, ;因此,这是例行检查 是一个收敛的柯西序列唯一定点 的 。

这种差距是显示在例2.3的(1]。事实上,根据[11例2.3],让 是一组具有一个度量 这样 , 。定义self-mapping 在 通过 和 。作者声称 和 ,的self-mapping 形成一种Kannan添入的收缩。然而,考虑到对 ,请注意, 。我们有

也就是说,不平等(10)失败 。

然而,考虑到对 ,请注意, 。我们有

这表明所谓的修改Kannan添入的收缩在以下方式。

定义5。让 是一个度量空间。一个self-mapping 被称为广义插值如果存在Kannan收缩 的 对所有 与 和 。

备注3。的观察, 在(17收缩Kannan),广义插值实际上只是一个插值Kannan萎缩Karapinar的意识和精神。

使用这个定义,我们得到以下。

定理3(比较[11,定理2.2])。让 是一个完备度量空间 是一个广义插值Kannan收缩。然后, 有一个独特的定点在吗 。

证明。的仅仅是一份证明(11,定理2.2。),不需要重复。一个观察,右边的不平等(17)是对称的 。这实际上已被抓获的定理的证明2。此外,[11例2.3。)满足定理的假设3。

3所示。Kannan添入的映射和固定的非对称度量空间上的点

讨论我们在前一节中指出,在一个自然的方式,下面的概念。

定义6。让 是一个度量空间。
一个 - - - - - -添入的Kannan收缩在 是一个映射 这样存在 的 对所有 与 和 。
一个 - - - - - -添入的Kannan收缩在 是一个映射 这样存在 的 对所有 与 。

然后,我们有以下容易,但是有用,度量空间插值Kannan收缩的结果。

命题1。让 是一个 - - - - - -非对称度量空间。如果 是一个 - - - - - -添入的Kannan或收缩 - - - - - -添入的Kannan收缩在 ,然后持有下列条件:(1) 是一个度量空间上广义插值Kannan收缩 。(2)对于任何 , 在度量空间是一个柯西序列 。

证明。(1)假设 是一个 - - - - - -添入的Kannan收缩在 。所以存在 和 的 对所有 与 和 。同样,鉴于 ,我们也有 对所有 与 和 。
因此,鉴于 , 然后, 是一个度量空间上广义插值Kannan收缩 。
(1),(2)自 是一个度量空间上广义插值Kannan收缩 ,它遵循从修改后的经典Kannan添入的收缩原理的证明 在度量空间是一个柯西序列 。

通过使用前面的命题,三个度量Kannan版本的广义插值原理很容易推导出。

定理4。每一个 - - - - - -(职责。每一个 -)bicomplete Kannan添入的收缩 - - - - - -非对称度量空间 有一个独特的定点。

证明。让 是一个 或者一个 Kannan添入的收缩。自 是一个完整的度量空间,通过命题1(1), 是一个广义Kannan添入的 ,我们推断出一个修改经典Kannan添入的收缩原理的证明 有一个独特的定点。

定理5。每一个 - - - - - -豪斯多夫Kannan添入的收缩 - - - - - -按顺序完成 - - - - - -度量空间 有一个独特的定点。

证明。让 是一个 - - - - - -添入的豪斯多夫Kannan收缩 - - - - - -按顺序完成 - - - - - -准度量空间 。解决一个 。由命题1(2)序列 在度量空间是一个柯西序列 。因此,有 这样 收敛于 关于 ,也就是说, 作为 。自 是一个 - - - - - -收缩,Kannan添入的存在 的 因此, 作为 。从Hausdorffness ,我们推断出 。最后,假设 是一个不动点的 。从(10),我们有 因此 自空间 是 。这个结论的证明。

推论1。每一个 - - - - - -在Kannan添入的收缩 - - - - - -度量空间 这样 豪斯多夫和 - - - - - -按顺序完成有一个独特的定点。

证明。让 是一个 - - - - - -添入的Kannan收缩在 。把 ;然后, 是一个 - - - - - -豪斯多夫Kannan添入的收缩 - - - - - -按顺序完成 - - - - - -度量空间 。从定理5,我们推断出 有一个独特的定点。

定理6。每一个 - - - - - -在Kannan添入的收缩 - - - - - -按顺序完成 - - - - - -度量空间 有一个独特的定点。

证明。让 是一个 - - - - - -在Kannan添入的收缩 - - - - - -按顺序完成 - - - - - -度量空间 。修复 。在定理的证明5(见命题1), 在度量空间是一个柯西序列 。因此,有 这样 收敛于 关于 ,也就是说, 作为 。自 是一个 - - - - - -收缩,Kannan添入的存在 的 对所有 。因此, 作为 。从三角不等式, 我们推断 。因此, 因为 是一个 - - - - - -度量空间, 。最后,假设 是一个不动点的 。然后, 因此 。这个结论的证明。

推论2。每一个 - - - - - -收缩在 - - - - - -度量空间 这是 这样 是 - - - - - -按顺序完成有一个独特的定点。

证明。让 是一个 - - - - - -添入的Kannan收缩在 。把 。然后, 是一个 - - - - - -在Kannan添入的收缩 - - - - - -按顺序完成 - - - - - -度量空间 。从定理6,我们推断出 有一个独特的定点。

备注4。请注意,定理5和6保持有效的如果” - - - - - -按顺序完成”被替换为“左 - - - - - -按顺序完成”或“正确的K按顺序完成。”

我们得出结论本文用一个例子说明定理5不能推广到 - - - - - -按顺序完成 - - - - - -非对称度量空间。

例2。让 ,让 是 - - - - - -非对称度量上 给出的 对所有 ,和 否则。很明显, 是向左走还是向右走 - - - - - -按顺序完成,所以它是 - - - - - -按顺序完成。现在,定义 作为 对所有 。当然, 没有固定的点。然而,这是一个 - - - - - -Kannan添入的收缩与 和 因为每一个 与 ,一个人

根据上面的例子中,一个问题。

悬而未决的问题1。能定理6被推广到 - - - - - -按顺序完成 - - - - - -非对称度量空间?这是我们认为答案是“不”;然而,到目前为止,我们并没有提供一个反例。

4所示。结论

在介绍中提到的,有趣的概念 - - - - - -在介绍了Kannan添入的宫缩2]。作者计划,在一个不同的手稿,讨论不对称版本的这样一个概念,首先概述了这一概念的不对称性质,即使对于一个经典插值Kannan收缩在度量空间。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

信息披露

我们的证据是最近的工作的启发,Daǧet al。14]。手稿的演示程序。

的利益冲突

作者宣称他们没有利益冲突有关这篇文章的出版。

作者的贡献

所有作者的贡献同样显著,在写这篇文章。

确认

第一作者(Y.U.G.)希望承认这项工作进行的援助拨款卡耐基基金会通过非洲数学科学研究所提供。