文摘
在本文中,我们使用同伦的概念,拉普拉斯变换,他多项式,提出辅助拉普拉斯同伦参数方法(ALHPM)。我们构造同伦方程包含两个辅助参数求解非线性微分方程,该开关非线性多项式与他。两个辅助参数同伦方程的存在使我们能够保证获得收敛的级数。与数值方法相比,该方法解决非线性问题没有任何离散化并能减少计算工作。我们使用不同类型的奇异Emden-Fowler方程的方法。构造的解决方案,在收敛级数的形式,是在良好的协议与现有的解决方案。
1。介绍
初始值问题与奇点和Lane-Emden类型的微分方程, 被用来模拟一个大类别各科学现象,如数学物理和天体物理学。第一个研究在1870年发表了这些方程巷(1]。被大白鹅继续进一步研究[2]。然后,这个方程被用于建模的一些问题,如球形的气体的热行为。
在天体物理学和引力球对称多变流体的研究,这个方程是其引力泊松方程。有一些现象,如天体物理、空气动力学、恒星结构,化学,生物化学,和许多其他人可以通过Lane-Emden方程建模(3- - - - - -5]。福勒(6,7]Emden-Fowler方程广义Lane-Emden方程: 对于一些给定的函数和 。在这一点上,我们注意以下热方程, 在哪里 ,和 ,出现在建模的热扩散垂直于表面平行的平面。为 和 对于稳态,方程(3)是Emden-Fowler方程。奇点的行为发生 是一个困难的元素分析的这种类型的方程,由于这个问题,常用的方法需要审查。例如,Wazwaz [8]Adomian分解方法用于解决这些方程;然而,适当的选择算子必须克服奇点行为在原点。本文在我们提出的方法,从双方的拉普拉斯变换方程解决了这个困难。实际上,在大多数情况下与变系数微分方程,我们无法得到一个确切的解决方案,因此我们必须寻找近似解,如渐近方法(9,10)、分析(11- - - - - -14),和数值方法15- - - - - -19]。使用Adomian Emden-Fowler-type方程解决了多项式(20.Wazwaz]的[8),使用同伦摄动方法Chowdhury和Hashim [21),使用变分迭代方法Wazwaz (22]。在本文中,我们使用一个新的辅助同伦参数方法使用他的多项式,称为辅助拉普拉斯同伦参数方法(ALHPM)求解Emden-Fowler方程。
2。主要结果
在本节中,我们提出新的辅助拉普拉斯同伦参数方法(ALHPM)。为此,让我们考虑以下非线性非齐次PDE: 这话题 在哪里 , 是一个通用的非线性项,其中可能包括非线性微分算子,然后呢 表示源项。利用拉普拉斯变换(23),由双方的申请(4),我们推断
这个很快的收益率
现在,我们使用同伦概念推导出以下同伦方程两个参数: 在哪里和非零辅助参数,拉普拉斯变换,是一个解决方案的初始猜测。应用拉普拉斯逆两边的结果(8)如下: 在哪里
现在,我们使用同伦摄动法的基础有一系列扩张 如下: 在哪里是一个嵌入参数。切换非线性算子 ,我们使用他的多项式24)获得 在哪里
用(11)和(12)(9)和系数的比较喜欢的权力 ,我们获得
3所示。Emden-Fowler方程
由于奇点行为在原点,以及其他各种线性和非线性奇异ivp、Emden-Fowler方程的数值解是一个具有挑战性的问题。数值处理,一些作者被迫提出替代方法。这些技术通常关注这个方程的奇点。例如,通过扩大未知函数作为基函数不同,这个问题可以减少一组代数方程用矩阵运算。然而,很明显,更需要大量的计算等效数值技术。所以,经常分析方法被认为是。在本节中,为了显示辅助拉普拉斯的效率同伦参数的方法,提出了在前面的小节中,在这里,我们使用这个方法来解决初始值与二阶奇异Emden-Fowler微分方程相关的问题。这些例子表明,我们的方法会导致问题的精确解系列,在这种情况下,可以猜的封闭形式的解决方案。
例3.1。让我们考虑以下非线性奇异Lane-Emden方程: 与 利用拉普拉斯变换和双方的申请(15),我们推断 在哪里 。随着ALHPM技术,利用同伦摄动法的概念和他对非线性项的多项式和建设两个参数同伦方程(17),我们得到以下: 和他的头几个组件的多项式 使用(12),通过比较相同的权力 ,很明显,递归关系 因此,我们有 等等。因此,使用数学符号代码,该系列解决方案(13)和(14)是由 通过将 ,我们得到了一系列提供一个封闭形式的精确解:
例3.2。现在,在这个例子中,我们考虑以下Emden-Fowler方程:
与
已进行一些研究从不同的观点,因为它有趣的数学和物理性质。
利用拉普拉斯变换和双方的申请(24),我们推断
在哪里
。通过构造两个参数的同伦方程(26),应用上述方法,我们得到了以下几点:
在哪里是他的多项式。他是多项式的头几个组件如下:
比较类似的权力
,我们推断
因此,使用拉普拉斯逆,我们获得
替换
在方程(30.),有
这是一样的,在获得8]。我们可以很容易地证明
,人们可以获得的精确解(24)(31日)。作为一个例子,替换
和
到(31日),我们得到
的精确解下列方程:
同样的,对
和
,我们获得一系列的封闭形式的模式
这是方程的精确解:
更多的选择的和可以很容易地检查。然而,的值和获得系列(31日)没有定义的解决方案(21)必须单独研究。如果
和
,方程(24)是著名的欧拉方程和解决方案可以很容易获得。为
,
,
(和一般
),确切的解决方案(21)可以用贝塞尔函数的第一和第二种。
例3.3。现在,让我们假设
和
,所以我们考虑
与
类似于前面的例子,利用拉普拉斯变换和其应用的双方(36),我们推断
以类似的方式如上所述,一个写道
将的权力
,一个可以获得
因此,我们有以下系列解决方案:
把
在方程(41)恢复得到的解决方案8]。然后,
的方向方法效率,我们考虑的情况
和
。数值结果与解决方案获得通过搭配方案表1。相反,它可以改善的结果利用Pade逼近的级数解。我们应用Pade”近似(ALHPMP[获得的系列解决方案11])。
准确性得到当我们的方法的计算成本远低于比较方法。
4所示。结论
提出了新的辅助拉普拉斯同伦参数的方法。利用同伦和拉普拉斯变换的概念,两个参数不同构造了同伦方程。他是多项式非线性条款处理。使用两个辅助参数的同伦方程使我们更可靠的解决方案。我们使用这个方法来解决初始值问题二阶奇异Emden-Fowler微分方程。这些方程的奇异行为在原点阻止我们使用通常的方法,要解决这个问题,这些方法必须改变。在我们的方法,轻松除去这个限制。获得解决方案,建于收敛级数的形式,是在良好的协议与现有的解决方案。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
所有作者的贡献同样在写这篇文章。所有作者阅读和批准最终的手稿。