文摘

由Chv韧性的概念,介绍了tal,已被广泛用作刀枪不入的一个重要参数。这个参数是广义加权图,提出了加权韧性的概念。一个多项式算法计算区间图的加权韧性。

1。介绍

刀枪不入的概念,提出了早期研究通信网络的连通性,这反映的能力从外部网络抵制故意伤害(1]。作为一种广泛使用的刀枪不入参数,韧性,Chv推出了tal在1973年。

定义1(见[2])。让是一个noncomplete图。的韧性被定义为 如果存在 这样 ,然后被称为 - - - - - -艰难的集合,表示 - - - - - -集。特别是,完全图 ,定义 。
在现实中,一个图的顶点有不同的角色。通常,vertex-weighted图是用来表示这样的网络模型,也就是说,每个顶点与一个实数区分这种差异。衡量网络的刀枪不入,我们引入了加权韧性的概念图。

定义2。让是一个noncomplete vertex-weighted图。加权的韧性被定义为 在哪里 是一个非负权重函数和 顶点的重量减少吗 。vertex-weighted完成图 ,定义 。
的定义,加权韧性越大,越强的刀枪不入vertex-weighted图。

定义3。让是一个vertex-weighted noncomplete图。如果存在 这样 ,然后被称为一个实现的 。
当所有顶点的权值是相等的,加权韧性相当于韧性。韧性计算的问题 - - - - - -努力(3]。然而,存在一个多项式算法韧性计算区间图(4]。区间图的定义如下所示。

定义4(见[5])。一个图表被称为一个区间图,如果 对应于一个闭区间 ,和 当且仅当 。我们称之为的区间表示 。
由于特殊的结构和性能,间隔图广泛应用于理论研究和工程实践。例如,考古出土物品的顺序(6),计算机科学的调度问题(7),和DNA序列的生物学模型的确定8]。许多学者研究了算法和区间图的结构。Kratsch等人做了一个多项式时间算法计算散射数字和韧性的区间图(4]。布罗尔斯玛等人做了一个线性时间算法计算散射数字区间图(9]。李等人给了一个多项式算法计算加权散射数量区间图(10]。
在这篇文章中,我们考虑区间图的算法计算加权的韧性。下面的工作是安排在两个部分。节2一些基本定义和符号,以及一些初步结果。一个算法给出了计算区间图的加权韧性调查的基础上实现削减削减和局部最小值的属性。节3我们总结工作,算法的复杂性分析。
本文只考虑了有限的简单无向图。这里的术语和符号未定义,我们参考读者(11]。

2。一个算法计算加权区间图的韧性

在本节中,我们首先调查的性质实现削减削减和局部最小值的区间图。图的顶点数的减少增加订单指数。幸运的是,没有必要时考虑削减所有顶点计算区间图的加权韧性。

定义5。(见[12])。让是一个区间图和是一个顶点。如果每一个适当的子集 和 ,然后被称为强切的 。

定理1。让是一个区间图与非负权重的函数 。然后,任何实现的是一个强有力的削减。

证明。让是一个实现的但不是一个强有力的削减。通过定义5必须存在一个顶点 这样 。自 , 这与,是一个实现的 。完成证明。

定义6(见[12])。让是一个区间图。考虑一个点这样 。如果终点立即的左边是正确的终点,终点立即的权利吗是一个终点,那么被称为最小本地的 。
图1是间隔图及其区间表示的一个例子。最小当地的削减是 , , , ,和 。

引理1(见[12])。任何强烈的一个区间图可以表示为一个联盟最少的地方。

由定理1和引理1,我们知道任何实现削减都可以表示为一个联盟最少的地方。因此,一个区间图可以计算的加权韧性最小当地工会的削减。2006年,雷等人提出了一个算法来计算最小间隔的地方削减图,证明了时间复杂度(12]。

定义7。让 都是一个区间图的最小的地方削减 ,在哪里 。然后,和被称为相邻, 。

定理2。让 都是加权区间图的最小的地方削减 。如果和是不相交的,那么

证明。自 , 。相反, 。不失一般性,假设 。然后, 因此, 完成证明。

备注1。定理的结论2是正确的情况下,最小的地方削减的数量大于2。

定理3。让 是三个连续的相邻最小间隔的地方削减图表 。如果 ,然后 。

证明。矛盾,如果 ,那么存在一个顶点 。让 , ,和的区间表示 是 , ,和 ,分别。
定义的区间表示, 。自 , ,和 。因此, 。这个矛盾 。完成证明。
定理3显示为一个区间图,不相邻最小的地方是不相交的。算法寻找最小的结合当地削减非空的十字路口如下所示。

定理4。算法的时间复杂度1是

证明。第三步需要比较确定 。第五步发现联盟的两个最小的地方削减非空的十字路口,这需要比较。同样,第七步的需要比较。很容易知道步骤2到步骤8不超过发行量,总计算 。因为区间图的顺序有最多最小的地方削减和每一个最小的地方减少包含最多顶点,算法的复杂性2是 。完成证明。
通过上面的讨论中,计算一个区间图的加权韧性,它能充分考虑当地最低限度削减的联盟与非空的交集,以及剩余的子图的连接组件的数量。

定理5。算法的时间复杂度2是 。

证明。的总计算步骤2 。在步骤3中,获取图像 需要操作。第四步需要 比较。第六步需要比较。第七步需要比较确定 。同样的,比较才能确定 。如果 和 ,然后步骤4的总计算步骤7不超过 。如果 ,发现顶点最大的下标 , 比较是必要的。如果有一个“既”邻居吗在 ,找到了你的邻居在需要最多比较。步骤9到13步的总发行量 ,所以总计算步骤13步骤8 。如果没有“既”邻居,第七步的计算步骤8吗 。因此,总计算步骤7步骤13 。自 ,算法的时间复杂度2是 。完成证明。
现在,我们给出一个算法计算区间图的加权韧性和实现削减。

例1。使用算法3计算加权的韧性和在图2。
考虑削减 , , , , ,和 。让 , 。
为 , , , , , ,和 。因此, ,和实现削减 。同样的, ,和实现削减 。
这个例子表明,加权韧性的价值不仅是相关的结构和权重图也相关的协会。

备注2。的重量和是随机生成的。

3所示。结论的话

最后,我们考虑算法的复杂性3。让 是一个区间图的邻接矩阵的订单 。在算法3、计算和 在步骤3中需要增加和1部。因为在大多数 削减被认为,操作步骤3是最多的 。第四步需要 的比较, 。结合定理4和定理5,算法的复杂性3是 。因此,它是一个很好的算法。

在本文中,我们引入一个新的参数,加权韧性,概括韧性加权图的概念。这个参数可以用来测量加权图的刀枪不入。一个多项式算法计算区间图的加权韧性。

然而,计算加权韧性一般图 - - - - - -困难的。算法和复杂性分析的加权韧性等图形树,弦齿图、排列图可能是有趣的。我们还可以使用其他参数测量加权图的刀枪不入。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金(1661066)、陕西省科学技术基金(2016 jm1035),青海省和科学技术基金(2017 - zj - 701)。