文摘
单基因半群的概念图首先引入了Das et al .(2013)基于零因子图。在这项研究中,我们主要讨论一些图形属性线图的 。在细节中,我们证明图参数的存在,即半径、直径、周长,最大程度上,最低程度,彩色数字,统治集团号码和数量 。
1。介绍
研究零因子图的历史开始了交换戒指,贝克的论文(1),然后,跟着在交换和非交换环的一些联合论文(cf。2- - - - - -4])。在那之后,DeMeyer et al。5,6]研究这些图在交换和非交换半群。因为零因子图已经如此多的关注,研究人员增加了大量的研究,以提高文学。在[7),作者介绍了单基因半群的图表基于零因子图。详细定义 ,作者首先认为是有限乘法单基因与零半群设置:
通过考虑在给出的定义5),获得一个无向图(零因子)关联到如以下。图的顶点由非零标记零因子(换句话说,所有非零元素) ,和任何两个不同的顶点和 ,在哪里 ,连接的边缘 与规则 当且仅当 。基本谱图的属性 ,如直径、周长、最大和最小程度,彩色数字,小团体,度序列,不规则指数,控制数量,介绍了(7]。此外,在[8),第一和第二萨格勒布指标,Randić指数,geometric-arithmetic指数和atom-bond连通性指数,维纳指数,Harary指数,第一和第二萨格勒布偏心指数,偏心连接索引和强调的程度距离图的重要性研究了。
众所周知,线图的是一个图的顶点的边缘吗 ,和任意两个顶点是事件当且仅当他们有一个共同的顶点 。尽管线图是首先提出的论文(9,10),这些研究的细节开始Harary [11),之后由Harary(第八章(12])。事实上线图是一个活跃的主题研究。例如,一些线图形的拓扑指数被认为是在13,14]。
节2,我们将主要处理特殊参数,即半径、直径、周长、最大和最小程度,控制数量,彩色和集团数字线图单基因的半群图与在(1)。我们注意到,15)将无法解释的术语和符号。
2。主要结果
在本部分中,我们的目标是达到前面提到的目标。在这一点上,我们提醒,任何简单的图 ,图形属性如半径、直径和周长计算任意两个顶点之间的距离或获得的所有顶点的总数。所以,我们的证明将基于这一想法。
的偏心的一个顶点 ,用 ,在一个连通图之间的最大距离是吗和任何其他顶点的(断开连接图,所有顶点定义无限古怪)。很明显,等于最大偏心在所有的顶点 。相反,最低偏心被称为半径(16,17的和用
定理1。让 是一个单基因半群图。然后,线形图的半径是由
证明。我们可以很容易地看到,结果是正确的
由图1。所以,让我们考虑
,让我们考虑两个顶点
和
从图
。的定义
,我们有
和
,自
。
如果
,然后
。
如果
,然后
自
。
所以,我们获得
对所有
。因此,是一个2-self-centered图
。
因此,获得的结果。
众所周知,直径的被定义为一组吗
定理2。让 是一个单基因半群图。然后,的直径是
证明。证明可以以类似的方式获得证明的定理1。
我们回想一下,周长的图是一个最短周期的长度包含在吗 。此外,周长是无穷如果定义的不包含任何周期。
定理3。单基因半群图 ,线形图的周长是3。
证明。自 为 ,我们有 。所以,我们假设 这意味着集 是一个完整的子图的 。因此, ,是必需的。
的最大程度上 的最大的程度的数量吗 ,和最低程度上 的是最小的学位的数量吗(见,例如,15])。根据这些提示,我们国家和能证明以下定理的线图。
定理4。让 是一个单基因半群图。然后, 。
证明。我们知道 为 。从单基因半群的定义,图 ,我们有 。因此,最大程度的顶点必须的顶点 。因此,我们有 是必需的。
定理5。让 是一个单基因半群图。然后, 。
证明。根据定义的单基因半群图的度序列研究[7,8),我们获得一组顶点与最低程度 因此,我们有 因此,我们得到了证明。
一个子集顶点集的的图被称为支配集如果每个顶点加入至少一个顶点吗由一个优势。此外,控制数量 是顶点的数目最小支配集(我们可以参考15]统治基础的数字)。
定理6。让 是一个单基因半群图。数量的控制是
证明。让我们考虑一组 ,在哪里 或 。事实上,支配集在吗 。案例1:假设 : 案例2:现在,假设 : 上述步骤完成证明。
基本上,任何图的着色是一个赋值的颜色(一些元素)的顶点 ,一种颜色,每个顶点,这样相邻顶点被分配不同的颜色。如果使用不同的颜色,颜色是称为一个 - - - - - -着色。如果存在一个 - - - - - -着色的 ,然后被称为 - - - - - -似是而非的。最低数量的是 - - - - - -似是而非的叫做彩色数字的和用 。
此外,存在另一个图参数,即集团的图 。事实上,根据顶点,每个极大完全子图称为一个小团体。此外,在任何小团体的最大数量的顶点被称为集团号和用 。一般来说,由[15),众所周知, 对于任何图 。对于每一个诱导子图的 ,如果 成立,那么被称为完美的图(18]。
定理7。让 是一个单基因半群图。然后, 。
证明。由于的定义 ,如果顶点 相邻顶点吗 ,然后 。因此,完整的图的顶点集一定的形式 所以,因为最大程度的顶点是 ,最大的完全子图子图的顶点集吗 ,在哪里 这样的元素数量 。因此, ,是必需的。
定理8。单基因半群图 ,线形图的色数是由 。
证明。自组 完全子图吗 ,我们必须油漆每个顶点在这个设置不同的颜色。这意味着我们需要使用颜色这组 。这个图至少有一个顶点吗 这不是毗邻 所有的顶点 ,在哪里 。因此,我们可以使用一个设置中使用的颜色的顶点 。因此, ,是必需的。
例1。图中给出的图2。
让我们考虑半群
现在,通过考虑图画的图2,我们可以列出以下结果为例:(我) (获得的定理1)(2) (获得的定理2)(3) (获得的定理3)(iv) (获得的定理4)(v) (获得的定理5)(vi) (获得的定理6)(七) (获得的定理7)(八) (获得的定理8)
3所示。结论
这项研究的目的是调查单基因半群的概念图 ,由Das首先介绍等。7基于零因子图)。我们检查一些图形属性线图的 。图形参数的存在,即半径、直径、周长,最大程度上,最低程度,彩色数字,统治集团号码和数量分别证明了。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。