文摘

在本文中,一种node_face摩擦接触FM-BEM罚函数方法提出了三维弹性摩擦接触非线性问题。根据最小势能原理,非穿透约束引入到弹性摩擦接触系统作为惩罚项。通过使用最小二乘法和罚函数方法,优化数学模型和数学规划模型建立了具有惩罚因子的node_face摩擦接触非线性系统。两个模型,一个点球优化IGMRES (m)算法,和不同惩罚的影响因素对整个系统的解决方案进行了分析。最后,数值模拟进行了两个弹性摩擦接触物体,和一些重要的结果包括位移、压力、摩擦力和摩擦滑动的接触面积。理论分析和数值实验表明,新提出的FM-BEM罚函数方法不仅是有效和实用的,也有很多优势。它很容易实现,它快速收敛和稳定性好。

1。介绍

弹性摩擦接触是一个多重非线性问题(1,2],有必要准确地跟踪运动对象的联系之前联系和之间的交互对象之后,包括正确的接触表面之间的摩擦和变形行为的模拟和分析可能的能量转换问题。接触的问题,只有很少的人可以通过分析解决方法,其中最需要模拟的数值方法,如有限元法(FEM) (3,4)和边界元法(BEM) [5,6]。有限元法是相对成熟和广泛使用7- - - - - -10]。然而,本已经降维的优势,奇点适应,精度高,等等11- - - - - -14]。

罚函数方法(15,16)是一种常见的方法来解决优化问题,也是一个有效的方法来解决一个弹性接触问题[17- - - - - -19]。在不增加系统的自由度(自由度),这种方法可以用来直接约束应用到两个接触的物体。许多学者用它来解决摩擦接触问题在不同的领域20.- - - - - -23]。基于工程、梯度优化算法,例如,现有的有限元如拉格朗日乘子法和罚函数法,常用于解决接触问题。nonfrictional接触的情况下,可以获得足够稳定的结果。对摩擦接触的情况下,可能发生严重的数值振荡与负载的变化或网格,并将很难获得一个稳定的结果,除非特殊治疗。此外,现有的数值算法的程序通常是复杂的,需要多少内存空间和计算时间,因此需要进行反复的检查和修正获得合适的结果。目前,各种各样的商业计算软件经常未能提供准确、可靠的结果分析摩擦接触。因此,它是非常迫切需要发展一些稳定和有效的数值算法24- - - - - -27]。

近年来,快速多极边界元法(FM-BEM) [28,29日)吸引了太多的关注作为一种新的、有效的数值方法(30.- - - - - -34]。我们的研究小组研究了数学和力学理论FM-BEM从基本的角度解决方案。利用优势等FM-BEM精度高、计算效率高,适用于大规模计算,我们已经成功地应用到弹性摩擦接触问题的数值分析和完成一些模拟(35- - - - - -38),例如,之间的过盈配合的油膜轴承锥套与辊颈和螺丝的表面力场对轧机。

研究弹性摩擦接触问题,现有文献中的罚函数方法被用来解决一些优化问题与node_node联系模式。BEM和FM-BEM关注非穿透接触的建模和数值分析模式,往往未能给出数值结果渗透联系模式。根据上述分析,我们将提出一种FM-BEM罚函数法解决弹性node_face摩擦接触问题。同一时间,我们将建立一个数学规划模型与一个惩罚因子并提出一个点球优化算法。在这种方法中,一些重要的因素将会综合考虑,其中包括接触过程中的变形和应力状态,边界条件的非线性的接触表面,接触面积的大小和相互位置,接触状态的变化,等等。研究工作将涉及一些数学、机械和物理问题密切相关的摩擦接触。目的是提供新的想法和解决弹性摩擦接触问题的数值方法。

本文组织如下。节1的基本思想,引入罚函数方法。在第二节、基本公式和三维弹性摩擦接触摩擦接触条件FM-BEM。在第三节插值约束node_face摩擦接触非线性系统进行了分析。然后,优化数学模型和数学规划模型建立了一个惩罚因子通过使用最小二乘法和罚函数方法。在第四节一个点球优化IGMRES (m)算法。在第五节,模拟两个弹性物体的摩擦接触过程和数值分析完成后提供。最后,提出了结论。

2。罚函数方法的基本思想

的优化问题 我们引入一个参数并定义一个增广目标函数如下: 在哪里 被称为罚函数和参数被称为一个惩罚因子,是一个很大的正数。当 ,的罚函数 就等于目标函数在方程(1);否则,它的价值将会非常大,方程(1)将转化为无约束问题如下:

3所示。FM-BEM三维弹性摩擦接触

3.1。基本的公式

三维弹性摩擦接触问题的边界积分方程没有考虑体力表示如下(6]: 在哪里表示源节点,表示任意节点边界 , 表示一个边界形状系数, 和 表明表面位移和力的内核函数基本解决方案,分别。FM-BEM,方程(4)可以离散如下29日]: 在哪里表示源节点,显示多个中央节点,表示一个元素节点积分,表明加权函数的积分 ,和表明雅可比行列式。

用给定的边界条件方程(5)可以转化为系统方程如下: 在哪里表明一个未知的列向量位移和表面力。

3.2。摩擦接触条件

当两个物体互相接触,以确保平衡与稳定,接触系统必须满足于非穿透约束,如图1。

即满足以下表达式: 在哪里表示节点的位移矢量增量 , 表示单位法向量,表示距离接触的宽容。否则,一旦渗透发生在接触区域,系统解决方案将不会正常进行。

4所示。建模和优化Node_Face摩擦接触系统使用FM-BEM罚函数方法

4.1。分析Node_Face摩擦接触

我们认为两个对象和互相接触。我们假设对象(固定位移约束)是被动的和对象是活跃的。表示为离散节点的数量和 ,分别。同时,接触表示为节点的数量和 ,分别。的传统边界元方程的最终系统的景深 为每个联系人节点位移和表面力是未知的。因此,每个接触节点、三必须建立补充方程。

为每个节点对象的联系 ,接触一些元素的对象 ,及其位移可以通过接触单元的插值节点的位移。然后,建立了位移约束。根据库仑摩擦定律,如果发生相对滑移接触节点及其接触表面之间的切向位移约束可以取而代之的是切向摩擦的。所示的node_face摩擦接触约束以下表达式:

贴状态:

单状态:

为每个节点对象的联系 ,接触一些元素的对象 ,和它的表面力可以通过接触单元的插值节点的力量。然后,建立了表面力约束。同样,如果发生相对滑移接触节点及其之间的接触表面,表面切向力约束可以取而代之的是切向摩擦的。所示的node_face摩擦接触约束以下表达式:

贴状态:

单状态:

在方程(8)- (11),表明 - - - - - -在每个节点对象的方向位移 , 表明 - - - - - -方向位移的节点在对象 , 表明 - - - - - -方向在每个节点对象的表面力 , 表明接触单元的节点数,表明插值函数,显示的摩擦的时刻, 表示当地协调,表明偏离角。在这里, 由最小二乘法可以预定。根据方程(8)- (11),三个补充方程可以为每个联系人建立节点。然后,总接触系统的景深 。为了方便起见,可以写成 。

4.2。优化数学模型Node_Face摩擦接触

Node_face摩擦接触约束显示高非线性,这导致一个非常困难且耗时的过程解决方案。加快迭代收敛,将线性化非线性接触约束。首先,将最小二乘法应用于方程(8)- (11)获得 而正是模拟接触行为。数学规划是在摩擦接触系统,建立优化数学模型。详细过程如下:

的对象 ,传统形成的方程组可以表示为本 ,在哪里 。让

在方程(8)和(9)线性化,根据方程(12),他们可以写成

的对象 ,传统形成的方程组可以表示为本 ,在哪里 。让

在方程(10)和(11)线性化,根据方程(15),他们可以写成

根据方程(12)- (17),让 ,我们定义一个目标函数的非线性分析node_face摩擦接触如下:

根据方程(12)- (18),一个node_face摩擦接触系统优化数学模型可以建立如下:

4.3。惩罚因子的编程模型为Node_Face摩擦接触

从上述分析,当接触系统是稳定的,涉及对象满足非穿透约束方程所示(7);否则,可以使用罚函数方法应用接触约束。我们假设有一个“春天”之间的可能联系节点及其接触表面及其抗压刚度很大,而抗拉刚度为零。刚度是作为一个惩罚因子和写成 。根据最小势能原理,当两个物体互相接触,如果方程(7)是满意,工作执行的春天将是零,即惩罚因子 ,和接触系统将稳定最小势能(写成 )。否则,春天将防止对象联系工作,所以势能(写成 )将大幅增加。node_face摩擦接触系统,让

我们构建一个能量目标函数如下: 在哪里 在哪里表示节点及其接触表面之间的距离。

node_face摩擦接触系统,我们假设接触表面是光滑和变形很小。根据方程(3)和(19)- (21),可以建立一个惩罚因子的编程模型如下:

所以,解决node_face摩擦接触转化为一个无约束最优化问题。

4.4。惩罚因子的选择

从方程(3)和(23),我们知道惩罚因子的优化是非常重要的。为每一个因素 ,可以获得相应的目标函数值,它会随着的增加而增加 。当 ,方程(23)具有相同的解决方案为方程(6)。而 ,方程解(23)将收敛于解析解,异常可能发生太大的因素 。因此,惩罚因子不应该作为一个太大的价值。从能量的角度,惩罚因子相当于弹簧刚度。当一个对象被固定负载,因素将弹性范围内的变形增量成反比。例如,如果两个弹性物体相互接触,因子之间的关系,目标函数的值,如图2。

根据图2当惩罚因子10和10之间范围内的变化⁸,目标函数值接近于零,即表达的非穿透约束方程(7)可以满足,该系统将是稳定的。因此,惩罚因子可以采取10吗⁸。虽然惩罚因子大于10⁸,目标函数值将大幅增加,即方程(7)不能满足,“春天”将在接触进行惩罚。然后,系统无法妥善解决。

5。点球优化IGMRES (m)算法

求解方程(23),一个点球优化IGMRES (m)算法。详细过程如下:(1)初始化:一个固定的参数 ,我们设定一个适当的精度和一个参数( )。我们需要一个初始值和计算 (2)迭代: ,我们有(1)不完整的正交化: (2)标准化: (3)升级的和 : 在哪里表明一个上层Hessenberg矩阵。然后,我们有 当 ,第一列就会被忽略掉。(3)我们解决以下最小平方问题来获得 : (4)我们构造近似解: (5)残余向量的模块和能量目标函数计算的价值。 (6)重新启动判断:如果 和 ,然后让 和停止。否则,重置 并返回到初始化步骤。

6。数值例子

我们认为两个弹性对象和互相接触。是一个支持的宽度W= 50 mm,高度H= 30毫米,长度l1 = 50毫米。是半圆柱半径R= 15毫米,长度l2 = 60毫米。两个物体是各向同性的杨氏模量E= 210 Gpa,泊松比= 0.3,摩擦系数f= 0.1。的对象受到一个统一的负载。总负载分为六个步骤,宽容是接触的距离= 0.0001毫米。计算模型和离散网格如图3和离散数据如表所示1。

当对象受到一个统一的负载不超过1 GPa,惩罚因子作为一个值,范围从10到10⁸,获得的结果与理论分析吻合较好。解决方案过程非常稳定。当= 100 MPa,接触位移的分布,压力和摩擦力,和摩擦滑动字段,如图4- - - - - -7。这些结果与实验分析吻合较好。此外,接触位移和压力在不同负载下进行比较,如图8,9,这表明,边缘效应越来越明显的负荷增加。

当= 1 GPa和惩罚因子被认为是10⁹,解决方案过程异常和一些接触的摩擦方向节点变化,如图10 ()。当= 10 GPa和惩罚因子被认为是10¹⁰,解决方案过程更不正常,如图10 (b)。当≥100 GPa和惩罚因子作为一个值从吗 来 ,该解决方案将是不可能的。解决方案是不可能的或不正常的原因是,渗透发生在两个物体互相接触,即方程(7)是不满意。此外,数值实验结果表明,当负载逐渐增加时,如果惩罚因子作为一个不合适的值,计算时间将大幅增加,如图11。

7所示。结论

基于FM-BEM, node_face摩擦接触模式进行了分析和非穿透约束提出了三维弹性摩擦接触问题。摩擦接触不渗透的情况下,非线性接触约束被使用最小二乘法和线性化的优化数学模型node_face摩擦接触模式成立。对摩擦接触渗透的情况下,根据最小势能原理,用罚函数方法应用接触约束和能量目标函数构造;然后,node_face摩擦接触分析转化为一个无约束最优化问题。FM-BEM弹性摩擦接触问题,非穿透约束引入系统作为一个惩罚项。在不增加系统变量,一个惩罚因子的数学编程模型建立了罚函数的方法。惩罚因子的影响解决方案过程进行了分析,和一个点球优化IGMRES (m)算法。两个弹性物体在不同负载下的摩擦接触,皮江法和位移的结果,压力、摩擦力和摩擦滑动的接触面积。理论分析和数值实验表明,新方法有很多优势在效率、适用性、简单的数值实现,收敛快,稳定,等。该FM-BEM惩罚函数方法可以提供新的思想和方法对摩擦接触问题的解决方案和相关的数学、力学和物理问题。

数据可用性

使用的数据来支持这项研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

本研究工作得到了国家自然科学基金(11301459)。作者也欣然承认金教授的有益的建议和推荐李从北中国科技大学。