文摘
让与拉普拉斯算子矩阵图 。表示由的永久 。在这项研究中,我们调查的问题计算nonbipartite图的拉普拉斯算子矩阵的永久。我们表明,永久nonbipartite图的拉普拉斯算子矩阵的类可以作为复合制定相关的两个矩阵的行列式的拉普拉斯算子矩阵。此外,一些递归公式推导出。
1。介绍
所有图表摘要限制很简单。让 是一个连接简单图的顶点集 和边集 。用 ,或短如果没有混乱的程度 。让是一个图 。的邻接矩阵 有关被定义为 当且仅当和否则是相邻和0。让 的对角矩阵图谁的 条目 。拉普拉斯算子矩阵有关被定义为 ,已被广泛研究了很长一段时间。拉普拉斯算子矩阵的属性图,读者可以参考书籍(1,2),调查(3- - - - - -5),其中的引用。
行列式和永久的 方阵 被定义为 对所有排列分别求和的延伸的 和 如果是偶数的互换和的产品吗 否则。
永久的公式相似,甚至比,简单的公式行列式。然而,有一个多项式算法计算行列式,而计算永磁 - - - - - -在勇敢的[完成如图所示6]。因此,它是合理的要求或者计算矩阵的永久可以以某种方式转换为计算相关矩阵的行列式。读者可以参考(7- - - - - -9)和引用有关这个问题的更多信息。
有许多结果永久或永久多项式 ,一式两份的图的邻接矩阵,看到的,例如,(10,11),而很少有公式化的结果相关矩阵的永久nonbipartite图表。
麦里斯et al。12)首先研究了永久的拉普拉斯算子矩阵,多项式建议区分nonisomorphic树,和下界的永久 , ,推测。之后,几个下界被Brualdi证明,金水酒(13和麦里斯11]。更多结果永久的拉普拉斯算子矩阵,我们参考读者11- - - - - -15),其中包含的引用。
聚(永久性的问题是众所周知的,它有许多相同的版本,例如,给定一个矩阵 ,是可能改变的一些条目的迹象给一个新的矩阵这样的相应条款和都是平等的。Plya永久的问题仍然是开放的。我们参考读者调查16)的历史和不同版本的Plya是永久的问题。
一般来说,Plya永久的问题,我们只考虑一个目标矩阵,也就是说,对于一个给定的矩阵 ,我们想要找到一个目标矩阵有关这样 。当然,以下问题,可以认为是P广义版本lya永久性的问题,很有趣。
对于一个给定的矩阵 ,我们可以找到两个矩阵吗和有关这样的复合和 吗?
在本文中,我们继续调查的问题计算图的拉普拉斯算子矩阵的永久。节2,我们给出一些初步结果,包括组合的描述和(goldman Sachs)的子图,下面是一个有向图中定义 与 。节3,我们首先推导公式的永久拉普拉斯算子矩阵的一类由两部分构成的图形。然后,我们表明,永久nonbipartite图的拉普拉斯算子的矩阵类的可以作为复合制定相关的两个矩阵的行列式的拉普拉斯算子矩阵。此外,一些递归公式获得,可以简化计算的永久nonbipartite图的拉普拉斯算子矩阵更一般的类。
2。初步
让是一个连通图的顶点集和边集 。一条边 被称为桥,如果合成图获得的吗通过删除边有两个组件。对于一个非空的子集的 ,子图的顶点集和边组成的双边缘的顶点被称为诱导子图的 ,用 。表示由 ,在哪里 ,图为获得通过移除的顶点连同所有边缘事件。让 ,在哪里和被定义为上 。
让是一个图的顶点集 。矩阵 被称为图形矩阵的如果 , ,当且仅当 是一个边缘 。然后,邻接矩阵 ,拉普拉斯算子的矩阵 ,和矩阵都是对给定的图形矩阵图吗 。让是一个图,是一个图形化的矩阵 。假设 是一个边缘和的子图 。表示由从获得的矩阵通过替换条目和零和的原理子矩阵对应的子图 。然后,(职责。 )是一个图形化矩阵的(职责。 )当且仅当是一个图形化矩阵的 。
对于一个无向图 ,的子图的被称为(goldman Sachs)子图的如果每个组成部分是一个边缘或周期;见,例如,(16]。对于一个萨克斯子图 ,表示,和 ,奇怪的周期和周期中包含的数量 ,分别。
一个有向图是一个图获得从一个无向图吗定向的每条边一个方向。然后,被称为基本图的 。我们应该指出,我们有向图考虑其基本图的定义匹配,学位,路径和连通性。一个面向甚至周期在面向叫做奇怪(分别地。均匀的),如果选择方向的遍历 ,边的数量指示的方向遍历是奇数(分别地。甚至)。显然,这是独立于遍历的最初选择的方向。一个有向图是面向普法夫甚至如果每个周期是奇怪的 。图叫做普法夫如果这样的图有一个普法夫取向,看到16]。
让是一个有向图的顶点集 。的邻接矩阵 的被定义为 如果是一个边缘带尾和头部和 ,否则。拉普拉斯算子的矩阵的被定义为 ,在哪里是相应的学位对角矩阵基本图吗 。很明显,是一个图形化矩阵的 ,以及 。我们指的是(17,18)和引用其中更多的光谱属性定向图的邻接矩阵。
子图,用 ,给定的有向图被称为面向(goldman Sachs)的子图的如果每个组成部分要么是一个边缘甚至周期长度;看例子18]。对于一个给定的面向(goldman Sachs)的子图 ,表示由和均匀的数量甚至包含在周期和周期 ,分别。
对于一个给定的图 ,一个论点相似给出了定理2.1的证明在(276 - 277页。11收益率的组合描述 ;出于完整性的考虑,我们给一个简单的证明。
定理1。让是一个图和拉普拉斯算子的矩阵。然后, 首先总结结束诱导子图在哪里的 ,第二个求和是所有(goldman Sachs)生成子图的 ,和和被定义为。
证明。请注意,
;然后,通过拉普拉斯公式扩张,
在所有的诱导子图求和在哪里的
。类似于定理2.3的证明18),
在所有(goldman Sachs)生成子图求和在哪里的和和被定义为。因此,证据就完成了。
表示由中包含的组件的数量
。同样的,我们可以获得以下结果。
定理2。让是一个图和 。然后, 第一个求和是所有子图在哪里的 ,第二个求和是所有塞奇生成子图的 ,和表示数量的周期中 。
3所示。永久的拉普拉斯算子矩阵图
从Brualdi和项13),永久的一个公式给出了图的拉普拉斯算子矩阵如下所示。
引理1(见引理2.1 [13])。让是一个图和拉普拉斯算子的矩阵。然后, 首先总结结束诱导子图在哪里的 ,第二个求和是所有(goldman Sachs)生成子图的 ,和和表示奇怪的周期和周期中包含的数量 ,分别。
定理3。让是一个由两部分构成的普法夫图,让是一个方向这样是一个面向普法夫图。让和的拉普拉斯算子矩阵和 ,分别。然后,
证明。让是任何(goldman Sachs)的子图和相应的面向(goldman Sachs)的子图是用
。自是由两部分构成的,的顺序甚至和
。因此,
自普法夫,那么普法夫,
。因此,
在哪里表示中包含的所有甚至周期的数量
。因此,结果如下。
定理3无效图含有奇数周期。大致说来,任何奇怪的周期没有贡献有向图的拉普拉斯算子矩阵的行列式。然而,对于无向图的拉普拉斯算子矩阵的永久,奇怪的周期的影响是完全不同的。从今以后,这是难以计算的永久nonbipartite图的拉普拉斯算子矩阵。
在下面,我们将表明,存在一类nonpartite图表的永久的拉普拉斯算子矩阵图可以作为复合制定相关的两个矩阵的行列式
。
让是所有普法夫图中每个元素的集合的满足以下几点:(1)每一个奇怪的循环中长度(2)
不包含不相交的奇怪的周期,即两个任意的奇数周期至少有一个共同的顶点(3)对于任何奇怪的循环
,
不包含周期长度
定理4。让有一个图表 。然后, 第一个求和所有边缘事件吗第二个求和是所有周期包含顶点 。
证明。所有(goldman Sachs)的子图可分为三种类型:包含边缘 ,事件的顶点 ,作为一个单一的边缘,那些包含作为一个周期的顶点,和那些不。一个发现,前者是加式的总和 ,第二类加式的总和 ,第三类和加式的总和 。因此,结果如下。
定理5。让有一个图表 。然后, 在所有循环求和在哪里包含边缘 。
证明。所有(goldman Sachs)的子图可分为三种类型:包含边缘作为一个单一的边缘,那些包含作为一个周期的边缘,和那些不。一个发现,前者是加式的总和
,第二类加式的总和
,第三类和加式的总和
。因此,结果如下。
由于定理5,我们有下面的结果。
推论1。让和是两个不相交的图表 和 ,和图得到和通过添加一条边之间和 。然后,
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称他们没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是支持的中国浙江省自然科学基金(没有。LY20A010005)和中国国家自然科学基金(11801512和11801512号)。