文摘

这项工作提出了新的立方三角Bezier-type函数形状参数。基础功能和经典的贝塞尔曲线的曲线满足所有性能分区的团结,对称特性,线性独立的几何不变性,凸包性质和已被证明。的和连续性条件两个曲线段之间也已经实现。检查的适用性提出了功能,不同类型的开放和封闭曲线构造。形状参数和控制点的影响被观察到。可以看出,通过减少形状参数的值,曲线走向控制多边形,反之亦然。CT-Bezier曲线更接近三次贝塞尔曲线形状参数的固定值。提出CT-Bezier曲线可以用来表示椭圆。使用提出的基函数,我们构建了非常有用的构建公平的螺旋段曲线和理想设计轨迹的移动机器人,高速公路,铁路线路的设计。

1。介绍

样条曲线已经被认为是一个主要的工具计算机辅助几何设计的几何造型。在最近的过去,三角Bezier-like函数和曲线也获得注意力在计算机辅助几何设计中,计算机辅助设计,bio-modelling [1,2]。三角b样条的概念(TBS)是由(3],三角b样条的方案与递归关系的任意订单已在4]。基于三次贝塞尔曲线(CBC)技术协会提出的一个形状参数(5]。这种技术有助于建设刨床曲线和形状参数是用于控制曲线。汉et al。6)提出了三角三次贝塞尔曲线有两个形状参数。螺旋段被认为是有用的构建公平的曲线和理想的移动机器人的设计轨迹,高速公路,铁路线路的设计。该计划提出了(7适用于”年代”型曲线。螺旋和过渡曲线构造使用所有合适的条件(8]。这工作已经扩展到三次贝塞尔曲线和Bezier-like与指数函数曲线(9]。

技术,基于二次三角贝塞尔曲线(QTB)基函数使用一个形状参数,介绍了在10]。介绍了广义三角贝塞尔曲线有一个形状参数(11]。角切割算法,水手长和Rogina [12提出了摆线样条函数。文和王13)提出了统一的三角B样条的订单与形状参数。这些基函数非常适合设计圆形和椭圆型对象。类非均匀b样条基函数的局部形状参数提出了(14]。使用这些不均匀的基函数,一个人可以达到的对单结和连续性和连续性可以获得独特的形状参数。汉(15)展示了三角函数与指数函数形状参数三次b样条。三次b样条基函数与一个形状参数提出了统一的结(16]。Chouby和Ojha17提出了三角样条曲线。在这个方案中,形状参数是一个变量,有助于调节和控制曲线和表面局部。分母三角DT-B-spline基函数我提出了在18类似于三角b样条函数。这些函数分母形状参数。巨魔(19]介绍了三角三次贝塞尔曲线约束和两个形状参数。三角b样条基函数的程度2和许多形状参数的二次NUAT-B-spline曲线提出了(20.,21]。提出了立方三角b样条曲线(22,23]。谢和李24)提出了立方三角b样条曲线与实际形状参数称为基础 - - - - - -b样条曲线。挂et al。25)提出了三次b样条曲线的形状参数和主要集中在性b样条曲线。作者提出了曲线用于生成的分形曲线。胡锦涛et al。(26)提出了广义可展曲面形状参数。广义可展H贝塞尔曲线曲面设计利用基函数与广义H-Bezier控制飞机,和他们的形状可以通过改变形状参数的值调整。Kovcs和Vrady27]介绍了P贝塞尔曲线和P-B-spline曲线。三次b样条配置方法被用于(28]时间分数平流扩散方程的数值解。Crank-Nicolson与立方b样条被用于(29日抛物型偏微分方程的解决方案。

在这个工作中,新三角贝塞尔曲线基函数构造形状参数。该基地更高效的程度提出基地是两个,但是它与四个控制点。我们还构建了螺旋段使用该基地在文学,这不是普遍使用三角函数。提出了基函数和曲线满足所有基本性质如分区的团结,线性独立性,对称性质,凸包性质和几何不变性。使用提出了基函数构造不同的曲线段。的和连续性条件进行了讨论。曲线的形状可以重新安排不同的形状参数值。拟议中的CT-Bezier曲线像三次贝塞尔曲线形状参数的具体值。通过减少形状参数的值,曲线接近控制多边形。椭圆可以完全使用提出了立方三角贝塞尔曲线。为了说明提出三次贝塞尔曲线的应用,不同的开放和封闭曲线设计;所构造的曲线是非常灵活和容易处理。

目前的工作是组织如下。节2新提出的立方三角基函数和它们的属性。立方三角贝塞尔曲线,它们的属性,形状参数的影响,参数和几何连续性的部分3。节4,提出了曲线的应用进行了探讨。在部分5和6表示椭圆和近似立方三角贝塞尔曲线给出了普通的三次贝塞尔曲线。节7讨论了曲率和螺旋曲线,部分8就是结论。

2。立方三角贝塞尔函数

对于一个形状参数 ,提出了三角Bezier-like功能 , ,被定义为

提出了基函数的图形化行为中定义方程(1)可以观察到在图1。形状参数的影响也可以观察到在这个图。

2.1。基函数的属性

定理1。提出了三角基函数中定义方程(1)满足以下属性:积极性:三角函数都是正面的,也就是说, ,为 分区的团结:三角函数的总和是1,数学上, 对称:提出函数是对称的手段;就变成了取代,反之亦然通过 ;数学上, ,为 线性无关的:基本功能是线性无关的,因为他们彼此不能写成的线性组合为任何非零常数

证明。(一) 和 ,然后 这是观察到, ,我=0、1、2、3。
(b) 。
其余病例明显。

3所示。三角三次贝塞尔曲线

对于给定的控制点 在或 ,立方三角贝塞尔曲线形状参数被定义为

3.1。CT-Bezier曲线的性质

定理2。CT-Bezier曲线方程中定义(2)满足以下属性:端点插值:立方三角曲线总是通过第一个和最后一个控制点: 几何不变性:立方三角贝塞尔曲线的形状是独立坐标的选择;也就是说,equation (2)满足以下两个方程: 在哪里是任意的向量或和T是一个任意 矩阵, 或3。凸包性质:三次曲线总是位于控制多边形的凸包。独立坐标系统:该曲线坐标系统的独立就意味着通过改变协调曲线保持不变。

3.2。两个曲线段之间的连续性条件

在本节中,我们将推出两个曲线之间的不同参数和几何连续性条件下段。

3.2.1之上。参数连续性

(我) 连续性( )。很明显,这意味着连续性。

(2) 连续性。 作为 和 ,所以连续性。

(3) 连续性。 作为 , ,和 ,所以连续性。

(iv) 连续性。

和 作为 , ,和 ,所以连续性。

3.2.2。几何连续性

(我) 连续性( )。很明显,这意味着连续性。

(2) 连续性。

所有条件都被满足了。所以,连续性。

(3) 连续性。 ,和 ;同时, 也就是说, 。所以,连续性。

(iv) 连续性。 ,和 作为 ,和 ;同时,

所有条件都被满足了。所以,连续性。

4所示。提出了曲线的应用

在本节中,提出不同的开放和封闭曲线构造使用功能。形状参数的影响和控制点也将详细观察如图2;打开曲线构造使用不同的值作为 (绿色虚线虚线), (蓝色虚线), 固体(红色), (黑色虚线), (红色的破折号星星点点)。

控制点可以观察到的数据的影响3和4。在图3,我们建造了两段曲线使用七个控制点。第一个和最后一个控制点的效果是这个图中观察到。曲线遵循控制点,控制点的方向朝着外面曲线在同一方向移动,如图3(b)。同样,在图3(d),里面的曲线走向。图4代表第二个控制点和倒数第二名的效果。

另一种方法来控制曲线的形状参数。在这种情况下,没有必要改变控制点,如图5。在这个图中,4段曲线构造使用不同的值如 (绿色虚线), (黑冲点), 固体(红色), (蓝色dash虚线), (红色虚线)。为 ,曲线变成一条直线。

在图6,不同的价值观米是 (红色虚线), (黑冲点), 固体(红色), (蓝色dash虚线), (红色虚线)。当曲线成为直线 。可以看出,通过增加的价值 ,曲线走向控制多边形,和减少,它远离控制多边形。

检查方案的适用性,使用不同的形状参数不同的封闭曲线也被设计在这篇文章中,如图7和8。在图7, (红色虚线), (红冲点), (黑色固体), (蓝色虚线), (红色的破折号星星点点),在图8, (绿色虚线), (黑冲点), 固体(红色), (蓝色dash虚线), (红色虚线)已被用于设计。

5。椭圆的代表

定理3。让控制点与semiaxes椭圆”k”和“n;“合适的坐标,椭圆的坐标可以被写成以下形式:

然后,相应的CT-Bezier曲线形状参数 和当地的域 代表一个大道上的椭圆的弧

证明。如果我们把给定的点方程(2),CT-Bezier曲线的坐标 这给了本征方程: 它是椭圆方程和图9代表椭圆的图形化行为。

6。可近似性

曲线施工,控制多边形起着至关重要的作用。在本节中,我们将开发之间的关系的经典和三角贝塞尔曲线对应的控制多边形通过调整控制点和形状参数。

定理4。对于noncollinear控制点 ,和 ,古典和三角贝塞尔曲线之间的关系 , ,与控制点 如下: 在哪里 。

证明。经过计算, 和 。
自 所以 因此,它是证明。

推论1。CT-Bezier曲线方法来控制多边形的贝塞尔曲线

推论2。CT-Bezier曲线时将接近古典贝塞尔曲线 ,也就是说, 。
经典的三角贝塞尔曲线之间的关系图10。

7所示。曲率和螺旋曲线

刨床曲线是由点集定义 真实的 。的切向量是由 。如果 ,然后签署的曲率被定义为(11] 在哪里 。

微分方程(19): 在哪里 。

7.1。刨床立方三角贝塞尔曲线螺旋段

给定一个起点在起源,即 ,另一个点 在哪里 , ,和 。在这里,是一个积极的角度来 。切单位向量和单位法向量的开始点贝塞尔曲线,见图11,从4)

现在,方程(22)可以写成 在哪里

螺旋段现在的更一般的形式获得通过曲率的衍生品(12)。前三个方程的导数(23)和(24)

它遵循从方程(19),(25),(26),(28)和(29日)的曲率方程(23) 和 分别是, 并利用方程(20.),我们得到

从方程(32)和(33),我们得出结论,给出的曲线方程(22布劳斯曲线)不是因为它不满足条件。然而,如果我们把 ,然后曲率和它的导数值降至零;不是一个曲线,它是一条直线。因此,一个立方三角贝塞尔曲线布劳斯只不过是一条直线。

8。结论

提出了新的三角立方Bezier-like函数在这个工作。提出了基地的功能和曲线满足基本性质和已被证明。开放和封闭曲线不同的控制点和形状参数构造使用提出基础检查它的适用性和灵活性。此外,立方三角Bezier曲线表现得像一个经典的贝塞尔曲线和证明。最后,三角螺旋曲线段使用立方三角函数也被建造,这表明提出的基函数可用于CAD / CAM模型特别是公路和铁路轨道设计。

8.1。局限性和未来的工作

该基地的功能适合所有类型的曲线,如开放和关闭,文学是一个很好的补充;然而,功能可以提高通过增加free-shape参数的区间。在我们未来的工作中,我们将使用该为颅面断裂的建设工作,将开发。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称他们没有利益冲突或者人际关系可能出现影响工作报告。

作者的贡献

所有作者同样导致了这项工作。所有作者阅读和批准最终的手稿。