文摘
在本文中,我们执行一个高斯加权平均的资金进一步调查。利用余切函数的一些性质和伯努利方程的多项式,我们明确评估高斯的加权平均求和的狄利克雷的特殊值 - - - - - -在正整数的函数。
1。介绍
让是一个正整数,并让狄利克雷字符模 。与相关的高斯求和被定义为一个任意整数吗(见,例如,8.5节(1])。 在哪里虚数单位。尤其如此 在(1)通常是用
众所周知,各种属性和应用出现在许多书籍和论文。例如,一个重要的结果如下(见,例如,定理8.15 (1): 如果是一种原始狄利克雷角色模 。我们在这里提到2- - - - - -5为进一步探索(3)。此外,它也表明,加权平均的有良好的分布属性什么时候是一个nonprimitive狄利克雷角色模 。例如,我们是一个正整数,让是一个正实数,易和张6估计用于字符数目和三角函数的方法总结研究的平均值反转的重量 ,在哪里 表示狄利克雷 - - - - - -函数定义一个复数和狄利克雷字符模的系列如下: 并给出一个更清晰的渐近公式。之后,刘和张7)使用原始的狄利克雷字符的一些性质和一些狄利克雷的均值公式 - - - - - -函数来研究产品的高阶中值和广义伯努利数,得到一个有趣的渐近公式。我们也请参考[8)的进一步调查产品的高阶中值和广义伯努利数。最近,Alkan [9一个特殊的评价方法用于狄利克雷 - - - - - -函数来考虑高斯加权平均后的金额: 在哪里是一个实值函数定义在区间和描述高斯求和的加权平均和和字符值在正整数可以近似的线性组合的狄利克雷的代数部分特殊值吗 - - - - - -函数在正确的平价条件下(见,例如,定理1、2和3 (9])。狄利克雷的特殊评价方法 - - - - - -Alkan构成的函数(见定理4 (9),如果 对于一个正整数 ,然后nonprincipal甚至狄利克雷的性格模 , 和一个奇怪的狄利克雷的性格模 , 的系数 对于一个正整数与 和系数 对于一个非负整数与 可以递归地计算利用伯努利数。
工作的激励与鼓舞的Alkan [9),在本文中,我们使用余切函数的一些性质和伯努利多项式研究上面的加权平均高斯金额并确定系数出现在(6)和(7),可以明确评估的二项式系数。的精确陈述我们的结果如下。
定理1。让 对于一个正整数 。然后,nonprincipal甚至狄利克雷的性格模 , 和一个奇怪的狄利克雷的性格模 , 在哪里表示最大的整数小于或等于实数 ,和右边之和(8)消失 。
显而易见,定理1给以下明确评估系数出现在Alkan的(9公式(6)和(7)。
推论1。让是正整数,我们是一个非负整数。假设是相同的(6), 是相同的(7)。然后,
本文组织如下。在第二部分中,我们介绍一些辅助的结果。第三部分集中于贡献的特征定理的证明1。
2。一些辅助的结果
之前给的证明定理1,我们需要以下辅助效果。
引理1。让是正整数 ,,让是一个nonprincipal狄利克雷字符模 。然后, 在哪里 是正整数吗 与 通过 与 第一类是斯特林数字。
证明。(见定理2.2 (10]详情)。
备注1。值得注意的是,有限的三角和左边的11张)也研究了和林11),一个漂亮的狄利克雷之间的连接 - - - - - -功能甚至正整数和有限三角和左边的11),和一些有趣的身份数额有限三角推导,和一个新的证据均方值公式的狄利克雷L-functions显示在[12,13]。
引理2。让是一个正整数,并让是一个真正的函数定义在一个正整数 。然后, 在哪里克罗内克符号由吗 或者0 或 ,分别为, 是周期性ζ函数给出了一个真正的号码吗和一个复数通过
证明。(见方程(2.28)(10]详情)。
引理3。让是一个正整数。然后,如果是一个偶狄利克雷角色模 ,然后一个正整数 , 如果是一个奇怪的狄利克雷角色模 ,对于一个非负整数 , 在哪里是伯努利方程定义的多项式生成函数(见,例如,1,14])
证明。很明显(4), 在哪里 赫维茨ζ函数给出了一个真实的号码吗 和一个复数通过 通过 在(18),我们得到一个正整数 , 自从赫维茨ζ函数在正整数满足反射公式(见,例如,第四节(15]或方程(25)(16]), 从(20.)和(21),我们得到一个正整数 ,如果 ,然后 应用引理2的右边(22),我们认为对于一个正整数 ,如果 ,然后 我们知道从定理12.131),对于一个非负整数 , 这意味着 因此,通过插入(25)(23),鉴于(1),我们得到一个正整数 ,如果 ,然后 它遵循从(26),(15)和(16)适用于一个正整数 。我们下一个证明 在(16)完成。事实上,自 (见,例如,p。266年(1),熟悉的几何定理8.1中规定的(1)和字符的财产金额定理6.10中描述(1),我们发现了一个奇怪的狄利克雷的性格模 , 另一方面,通过 在引理1根据 对于一个非负整数(见,例如,p。214年(17]),我们得到一个奇怪的狄利克雷的性格模 , 因此,梳理(27)和(28)给一个奇怪的狄利克雷字符模 , 这意味着(16)适用于这种情况 。这就完成了引理的证明3。
备注2。自伯努利伯努利数的多项式可以表达以下方式(见,例如,定理12.12 (1]), 在哪里是 - - - - - -th伯努利数;通过应用(30.)引理3,一个人可以很容易的得到,如果是一个正整数, 这样r和n有相同的奇偶校验,如果 , 在哪里 给出了非负整数吗通过 公式(31日)首先发现了Alkan定理1在[18)利用伯努利周期函数的傅里叶扩张和一些性质的性格总结,也是一个关键因素公式的证明(6)和(7)。我们这里指的定理2 (19一个扩展的(31日)。对于不同的引理的证明3,你可以咨询定理1.3 (20.),作者使用了函数方程赫维茨ζ函数给证明。
3所示。定理1的证明
我们现在能够提供定理的详细证明1。众所周知,伯努利多项式满足下列差分方程(见,例如,定理12.14 (1): 和下面的加法公式(见,例如,p。275年(1):
自 对于一个nonprincipal狄利克雷的性格模 ,如果是一个nonprincipal狄利克雷角色模 ,我们有 我们使用对称关系的伯努利多项式(见,例如,p . 274 [1])如下:
此外,熟悉的几何和暗示
它遵循从(1),(36),(37)和(39),如果甚至是一个nonprincipal狄利克雷角色模 ,然后 如果是一个奇怪的狄利克雷角色模 ,然后
应用引理3右手边的(40)和(41),我们得到,如果甚至是一个nonprincipal狄利克雷角色模 ,然后 如果是一个奇怪的狄利克雷角色模 ,然后
现在,(8)和(9)根据(42)和(43),分别。这个结论的证明定理1。
数据可用性
没有数据被用来支持这个研究的发现。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。