文摘
在本文中,我们集中我们的注意力研究pseudo-Ricci对称时空在灰色的子空间分解。这是证明时空在琐碎,里奇平 ,和子空间,而理想流体在子空间 , ,和 ,零曲率标量子空间 。最后,它证明pseudo-Ricci对称GRW时空是真空,由于这个结果,我们解决几个推论。
1。介绍
pseudo-Ricci对称流形(短暂 )是一个nonflat pseudo-Riemannian歧管里奇张量满足谁的 在哪里是一个非零 - - - - - -形式和表明协变微分法对指标(1]。
pseudo-Ricci对称阀组的类的一个子类弱里奇对称阀组由Tamassy槟首次引入和研究[2]。有很多关注的概念集合管;例如,一个充分条件集合管被德介绍了quasi-Einstein导管和Gazi3]。集合管曲率满足的标量 零曲率标量(1]。pseudo-Ricci对称阀组中的一个具体的例子给出了在4]。有许多的概括阀组,例如,看到5,6]。
一个不变的正交分解的里奇张量的协变导数是创造和研究了灰色7)(参见[8- - - - - -10])。琐碎的子空间的集合管并行里奇张量;也就是说, 。子空间包含集合管的里奇张量是杀害;也就是说,
下一子空间用 。集合管的里奇张量Codazzi;也就是说,
子空间 特点是方程吗 。集合管与 躺在 。在 ,张 是死亡,而在吗 ,张 是一个Codazzi张量。这样的集合管被称为Einstein-like集合管(11]。最近,已经有越来越多的兴趣在这个分解。例如,广义罗伯森沃克时空爱因斯坦或理想流体在灰色的正交的子空间,只有一个除外里奇张量是不受限制(12]。
一个 - - - - - -维洛伦兹流形据说pseudo-Ricci对称时空如果里奇张量满足方程(1)。在这里,我们假设相关的向量是一个单位类时向量( )。
在标准的引力理论,时空的问题之间的关系和时空的几何形状是由爱因斯坦场方程(EFE): 在哪里 , , ,和里奇张量,标量曲率张量,牛顿常数,分别和能量-动量张量。EFE意味着动量张量divergence-free。如果这个需求直接满意 。
本文的组织结构如下:在部分2,一般的属性时空。节3,时空了格雷的正交的子空间。这是证明在琐碎的时空, ,和里奇平子空间,在子空间 , ,和 完美流畅的时空,在吗 有一个零曲率标量。在第四节,我们证明pseudo-Ricci对称GRW时空是真空,因此,我们解决一些推论。
2。在时空
在本节中,主要的属性时空。方程(1)意味着
的使用 收益率
不同的收缩方程(1),给了
引理1。在时空,曲率标量的协变导数 。此外,里奇张量是一个特征向量零特征值。
假设标量曲率是恒定的。方程(10)直接导致 。
引理2。(PRS)时空曲率标量是常数当且仅当吗 。
这导致我们下面的引理。
引理3。在与非零时空曲率标量,里奇张量的协变导数形式 提供 。
张量的新形式的类型的形式(13] 和它的散度是
假设divergence-free韦尔保形曲率张量,也就是说, ;然后,
合同与和使用方程(9),我们得到
一个乘法给了 ,因此,
因此,我们可以得出以下定理:
定理1。一个利玛窦与新形式divergence-free时空曲率张量是平的。
使用这个结果( )保形曲率张量的定义属性的需要
因此,我们有以下推论。
推论1。Semisymmetric共形Semisymmetric pseudo-Ricci对称时空是等价的。
的协变微分方程(1)给
互换指数和在过去的方程,我们有
减去两个方程,我们得到
利用方程(1)和简化,我们得到
现在,假设是里奇semisymmetric, ;我们有
合同与和使用方程(9),我们推断
再次,承包利用方程(9),我们得到
因此,我们有如下定理:
定理2。里奇semisymmetric时空是里奇持平。
3所示。在格雷的时空分解子空间
本节是致力于研究时空在灰色的七子空间。三个主要的结果是获得了在这一节中。一个洛伦兹流形据说是理想流体如果里奇张量满足吗 在哪里标量场和是一个类时向量场(14]。
定理3。 在琐碎的时空, ,和子空间是里奇持平。
证明。灰色的琐碎的子空间分解包含里奇张量的时空平行和标量曲率是常数。因此,方程(10)很容易让
。因此,方程(1)成为
收缩方程(28),收益率
因此,
这意味着时空平行里奇张量是里奇持平。
在子空间
时空杀死里奇张量;也就是说,
众所周知,在这个子空间,标量曲率是协变常数。方程(10)意味着
。使用方程(1在方程()31日),我们有
收缩方程(32),和使用方程(9),我们得到
这意味着时空的子空间里奇是平的。
接下来,让我们考虑子空间在这有一种Codazzi里奇张量(15]。Codazzi偏差张量的是由
一个收缩意味着
但是,在这个子空间中,时空Codazzi-type里奇张量(即,
);然后,
乘用利用方程(9),我们得到
收缩方程(36)给了
这意味着时空在灰色的子空间里奇是平的。
定理4。 时空的 , ,和 子空间是理想流体的时空。
证明。在子空间
,pseudo-Ricci对称流形的里奇张量满足以下属性:
应用方程(1),我们得到
由此可见,
合同与意味着
这意味着时空的子空间理想流体。
在子空间
,里奇曲率张量满足
使用方程(1),我们推断
现在,方程(10)意味着
一个收缩收益率
这意味着时空的子空间
理想流体。
假设在灰色的子空间吗
;也就是说,
方程(1)意味着
使用方程(10)给
合同与
,我们获得
这意味着时空在灰色的子空间
理想流体。
定理5。 时空的 子零曲率标量。
证明。在子空间 ,标量曲率,因此协变不变方程(10)意味着 这意味着时空在灰色的子空间 零曲率标量。
4所示。Pseudo-Ricci对称GRW时空
广义时空罗伯森沃克(为简单起见,用GRW时空)是扭曲的产品 一个开放的连接时间间隔 和一个黎曼流形 ,在哪里 是一个积极的光滑函数。一个洛伦兹流形是一个广义罗伯森沃克时空当且仅当吗拥有一个单元类时向量场与(16,17] 在哪里和标量函数。向量场满足方程(52)被称为torse-forming。
现在,假设是一个广义罗伯森沃克时空;也就是说,
一个收缩收益率
使用方程(1),一个人
因此,
然而,
因此,
众所周知 ,在哪里 (见[12]);因此,
自是 ,方程(9)表明,
双方都乘了 ,也就是说,
使用方程(53),一个人
现在,有两种不同的可能情况。第一个 因此不会消失。然后,方程(59)成为
的收缩意味着 这是一个矛盾。第二个病例是 。然后,方程(60)导致
因此,要么 或 。
定理6。pseudo-Ricci对称GRW时空是真空提供了一种形式不是同一方向的向量场与torse-forming吗
。
假设
。然后,利玛窦所考虑的时空是平的,也就是说,
,这意味着
。众所周知,
在哪里是保形曲率张量(13]。
因此,使用 和 ,方程(67年)的收益率 ,也就是说, 。在[18),Mantica等人证明了一个 - - - - - -维GRW时空满足 当且仅当时空是理想流体。因此,我们得出以下。
推论2。pseudo-Ricci对称GRW时空是一个完美的流体时空 。
自 和 ,从保形曲率张量的定义,它遵循 。因此,semisymmetric共形semisymmetric导管是等价的。埃里克森和Senovilla19)认为semisymmetric彼得罗夫类型的时空和证明 , ,和 。因此,我们有以下。
推论3。一个形semisymmetric pseudo-Ricci对称GRW时空彼得罗夫类型 , ,和 。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作得到了沙特国王大学,科研、学院的院长职位或任期的科学研究中心。