文摘
我们证明特征雅可比运营商接触指标三个歧管semiparallel当且仅当它消失了。我们确定三维李群承认了不变的接触指标结构,这样雅可比运营商pseudoparallel特征。
1。介绍
让 是一个规管汇和联系 是雅可比算子特征与特征向量场(或啤酒) ,在哪里表示曲率张量。历史上,雅可比运营商特点被许多作者调查,在接触指标集合管的研究中发挥了重要作用。在这里,我们参考读者(1- - - - - -7),在这个框架更详细的结果。其中,Koufogiorgos和Tsichlias [8)分类所有接触度规与消失的特点雅可比运营商三阀组。曹和猪在9)研究模型空间接触指标三阀组特征消失雅可比运营商和常数 。最近,赵和猪在9)分类指标三阀组,这样所有联系是一个特征向量场的里奇算子和雅可比特征算子沿着啤酒流是不变的,即 ,在哪里表示谎言分化。特别是,曹和猪在[11页。9)提出以下悬而未决的问题。
联系黎曼三阀组或分类单元切线与semiparallel球包 或者,更普遍的是,雅可比pseudoparallel特征算子 。
第二个问题是解决了秋、春(10和第一个尚未研究据我们所知。在本文中,我们的目标是探讨这样的问题和现在的雅可比运营商接触特征度量三阀组semiparallel当且仅当它们消失。我们分类左不变的联系单位模的上度量结构或nonunimodular李群的维度三个这样的雅可比运营商pseudoparallel特征。这表明存在没有重要的雅可比运营商semiparallel特点,但也有非平凡pseudoparallel雅可比运营商接触特征度量三阀组。
2。接触指标三阀组
让是一个可微流形的维度 配备一个几乎接触指标结构 这是定义为 对于任何 (定义为所有向量场的李代数 ),在哪里代表一个全球1的形式,2是一个形式, ,和代表一个 - - - - - -张量型。 ,配备一个 - - - - - -结构,称为一个几乎接触度规管汇,等多方面的,我们可以定义一个2形式 ,对于任何 。几乎接触度规管汇叫做度量(黎曼)歧管如果联系 。
在产品 一个几乎接触公制管汇和 ,我们定义一个复杂结构通过 在哪里 , 的坐标 ,和是一个 - - - - - -函数 。我们表示 Nijenhuis张量的 。如果 是真的,那么几乎接触度量结构被认为是正常的(见[2])。正常的接触度规歧管据说Sasakian歧管。众所周知,几乎接触度规歧管Sasakian当且仅当 对于任何 ,这是等价的 (见[2])。
几乎接触度规管汇,我们定义 (表示一般的谎言分化)。很容易检查是一个对称算子和满足 在哪里表示Levi-Civita连接相关的指标 。集合管都假定为连接。
3所示。Semiparallel特点雅可比运营商
定义1。在接触指标三总管,雅可比运营商是semiparallel特点是否满足 对于任何一个向量场 和表示微分作用。
在本节中,我们的目标是确定所有接触指标三个集合管有semiparallel雅可比运营商特征。一般来说,对于一个操作符定义在黎曼流形,semiparallelism远远弱于消失,但它并不一定适用于一些特殊的导管。首先,我们考虑Sasakian案例。
命题1。雅可比特点运营商不能semiparallel Sasakian三阀组。
证明。让Sasakian三总管,然后,我们有 对于任何一个向量场 (见7.3命题(2])。它遵循直接 。假设特征雅可比运营商semiparallel, 对于任何一个向量场 。的应用 在这个关系 上面的内积的关系意味着 正交于对于任何一个向量场 ,和 。应用这种收益率在上面的关系 对于任何一个向量场 ,因此, ,矛盾 。这就完成了证明。
接下来,我们考虑non-Sasakian案例。让non-Sasakian联系度量三总管,让开放的子集 ,在哪里 ,和开放的子集点组成的 这样 在一个社区 。然后, 是一个开放的密集的子集 。在 ,存在一个当地的标准正交基的类型 ,和 ,我们可以设置 ,因此, ,在哪里是一个积极的特征值函数(上是连续的和光滑的 )。在本文中,我们表示里奇张量和定义 对于任何 。应用一些基本关系(5)和(6)接触指标集合管部分所示2,我们有以下。
引理1(见引理2.1 [11])。在 ,我们有 在哪里是一个光滑函数。
命题2。特征雅可比运营商在接触指标三总管semiparallel当且仅当它是消失。
证明。的命题1,接下来,我们只需要考虑non-Sasakian案例。应用引理1通过直接计算,我们有 假设特征雅可比semiparallel算子;从定义1,我们有 ,这也相当于 的应用(12收益率)上面的方程 同样,因为雅可比特征算子semiparallel,从定义1,我们有 ,这也相当于 借助第二项(15)的应用(13收益率)上面的方程 比较(17)的第一项(15),我们得到 ,因此, 。现在,从(12)和(13),很明显看到雅可比算子特征消失。反过来是微不足道的。
所有接触指标三阀组的集合雅可比运营商消失的特点是相当大的,它一直在特征(5,8]。本地,均匀的例子联系度量三阀组局部对称或局部等距的李群提供啤酒的里奇曲率向量场是一个常数(见定理4.5 (8])。
4所示。Pseudoparallel特点雅可比运营商
因为雅可比semiparallel特征算子在接触指标三个歧管必须是微不足道的,在本节中,我们考虑一个条件比semiparallelism弱。
定义2。在接触指标三总管,雅可比运营商是pseudoparallel特点是否满足 对于任何一个向量场 和表示特定函数的微分作用 ,在哪里 表示定义的楔形运营商 。
显然,pseudoparallelism减少semiparallelism当 。但是,与雅可比semiparallel特征算子的情况下(在这种情况下,雅可比算子特征消失),Sasakian三总管,我们有以下。
命题3。雅可比特点运营商pseudoparallel Sasakian三阀组上 。
证明。下面的定义2特点,雅可比运营商在Sasakian三总管pseudoparallel当且仅当 对于任何一个向量场 。在任何Sasakian三总管, ,并利用它,我们可以看到,相当于上述关系 对于任何一个向量场 。现在,在前面的关系,更换通过并再次使用 ,我们获得 在上面的方程中,让 是两个单位向量正交 ;我们获得 。此外,在任何Sasakian三总管, 。针对这一点,我们检查雅可比运营商总是pseudoparallel与特征 。
接下来,我们表明,也存在一些重要的雅可比运营商pseudoparallel特征在某些non-Sasakian接触指标三阀组。见(8),存在许多非齐次接触指标与semiparallel三阀组,因此,pseudoparallel特点雅可比运营商(即使它们微不足道)。因为这样的类是相当大的,在本节中,我们只考虑pseudoparallel特征雅可比运营商均匀接触指标三阀组。应用米尔诺尔的分类(见[12]),Perrone [13]证明了齐次联系本地度量三总管等距李群配备了度量结构不变的联系。
让三、李群的维度是相应的李代数。众所周知,李群是幺模如果每个伴随变换 已无踪迹的任何 。针对这一点,接下来,我们将讨论两种情况。首先,我们有以下。(我)( ):从(25),可以清楚地看到这一点 ,在这种情况下,我们有 和 。根据米尔诺尔的分类,我们观察到是局部等距三组(或 )如果 ,或 (或 ),即。,group of 1如果真正的矩阵的行列式 ,或者是海森堡集团如果 。例(2)( 和 ):应用在(25)或(26),我们得到 如果 ,我们获得 。然而,在这种情况下,从之前的曲率张量,我们获得 。因此,雅可比算子特征消失完全相同,因此,pseudoparallelism是没有意义的。如果 ,然后 ,因此,这种情况下不存在的证据是一样的。最后,它遵循 。此外,如果 ,我们有 李群的签名 。廖现在局部等距三组(或 )。如果 或 ,李群的签名 ,根据小的分类、歧管是特殊线性群局部等距 (或 )。例(3)( 和 ):注意,在这种情况下,雅可比非零的操作符。现在,(27)成为 减去(25)(26)的收益率 援助的假设,把(29日)(30.)给 代数方程后,如果 和 (或等价, 和 ),然后李群的签名 ,因此,廖局部等距闵可夫斯基2-space群刚性运动 。特别是,(31日)(29日),我们观察到,在这种情况下, 。这就完成了证明。
定理1。让是一个三维幺模的李群承认左不变的接触指标结构,这样雅可比算子是pseudoparallel特征。然后,是局部等距 , , ,或海森堡组 。
证明。让是一个三维幺模的李群配备左不变的接触指标结构;然后,存在一组标准正交基
这样
在哪里和两个常数(见Perrone [13])。据曹,春14),的曲率张量是所描述的
假设特征雅可比pseudoparallel算子;从定义2我们有
对于任何一个向量场
。
在(24),考虑
和
(或等价,
,
)和曲率张量的帮助下,我们有
同样,在(24),应用
和
(或等价,
和
),我们获得
同样,在(24),应用
和
(或等价,
和
),我们获得
你可以检查没有其他有用的信息包含在(24除了()25)- (27),因为(24当我们设置)总是正确
,
,和
,
,
,和
,或
,
,和
。换句话说,雅可比算子的特点是pseudoparallel当且仅当(25)- (27)是正确的。关于(27),我们将讨论以下几例。
nonunimodular分类定理给出如下。
定理2。nonunimodular李群的维度3承认左不变的接触指标结构,雅可比算子的特点是pseudoparallel当且仅当相应的李代数是等距 Sasakian和结构。
证明。让是一个三维nonunimodular李群配备左不变的接触指标结构;然后,存在一组标准正交基 这样 在哪里非零常数和 (见[13])。据曹(14),的曲率张量是所描述的 假设特征雅可比pseudoparallel算子;从定义2,我们有(24)。替换 通过和通过在(24),分别得到 把 和 在(24),我们得到 把 , ,和 在(24),我们得到 把 和 在(24),我们得到 把 和 在(24),我们获得了(38)。把 , ,和 在(24),我们得到 把 和 在(24),我们得到 把 和 在(24),我们得到 最后,把 , ,和 在(24),我们获得一个身份。从(32),我们的评论 当且仅当Sasakian结构。因为我们已经考虑Sasakian命题3接下来,我们假设 。因此,根据(37), ,我们获得 。然而,在这种情况下,显然完全特征雅可比运营商消失的观察,因此,pseudoparallelism毫无意义(虽然35)- (41)都是正确的。从命题证明之前3。
联系度量结构也在洛伦兹被调查设置(cf。15,16])。洛伦兹总统和其他类型的几乎接触三阀组(cf。17- - - - - -19)的结果(cf定理1和2)将在我们未来的研究工作。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
本研究支持的基础研究重点科研项目的项目计划在河南高等教育机构(没有。20 zx003)。