文摘

假设我们有一组约束的数据并希望使用一个合适的函数近似。人们很自然地要求近似式保护的约束。在这项工作中,我们国家一个插值的问题设置,提出一个基于参数方法和使用著名的三次埃尔米特样条函数插值数据的约束花键来提供的interpolant。然后,更多的平滑约束添加到获得连续性。此外,提出了一种最小化准则作为理论支持拟议的研究;这是使用线性规划执行。拟议的方法演示了杰出的例子。

1。介绍

在工业设计中,经常需要产生一个光滑函数逼近给定的数据集保存特定形状的属性数据,如积极性,单调性,或凸性,也就是说,一个平滑的一种保形近似(1]。

一种保形近似是计算机辅助设计(CAD)的一个分支,它已经广泛应用于各种工程领域如船舶设计、车身设计、和航空航天工业;它还在气象学中起着至关重要的作用,甚至在动画和游戏。现在,一些新兴的研究领域,如现代数据分析、数理金融、图像处理、可视化、和数字水印技术,提出了更高的标准曲线和表面一种保形建模系统(2]。

这里,通常假设给定的数据足够准确的保证插值,所以我们关注的一种保形插值技术;然而,对于更多的振动数据,你可能更喜欢使用最小二乘法等其他近似方法。

在一种保形插值问题,我们寻求一个平滑的曲线/曲面通过给定的数据集,我们顺德知道里面是一个形状特性和一个愿望interpolant继承这些特性(1,3- - - - - -9]。积极性、单调性和凸性的基本形状特征通常出现在日常的科学现象。

在过去的三十年中,提出了一种保形插值方法。在这个问题中,样条函数起到至关重要的作用,每一种保形插值方法,或多或少,用样条函数作为基石。

一种保形问题可以使用不同的基地,处理和创新技术已经用来应付这通常研究的不同方面的问题(10,11]。

好不同的方法的调查中可以发现一种保形插值技术(2)和引用。

隐藏的特性之一在一个数据集可能是其有界性。这一切发生的时候,例如,当一个有界函数的数据来自一个抽样或者他们反映的概率或过程的效率。实际上,任何量表示为一个百分比的另一个量必然会介于0和100;在这种情况下,数据满足 ,对已知的界限和 。然而,边界可以由函数(曲线),即为已知函数和 ,数据满足 。当我们创建底层实体的插值采样值,我们需要确保插值曲线遵循这些已知的属性,所以我们希望找到一个函数接近(适合)的数据,也有界 ;此外,由于每一种保形建模,我们需要一个合理的程度的平滑。这样的问题可能会有很多应用,例如,在工程和数据可视化。有一个很好的回顾文学(12),Asim和Brodlie已经提到了不同方法的优缺点;他们也修改了结插入算法(13]。谢泼德插值家族(14)已经被Brodlie等人在使用15)来研究这个问题。

本文研究的问题,利用三次样条函数插值设置数据可视化。它提出了一个基于参数方法和使用著名的三次埃尔米特样条函数来插入数据的约束三次样条,保留所需的范围。它另外提出了获得工作样条通过添加更多的平滑约束。此外,用于提供一个能量最小化技术和插值函数。这是使用线性规划技术执行。

研究的结构如下。节2,三次埃尔米特花键与未知参数的导数是用来提供一个interpolant;然后,添加更多的平滑约束第三节获得连续性。第四节处理更一般的约束和约束二次多项式的研究情况。提出了最小化准则第五节,部分6是专门为示范与杰出的例子。

2。有界的三次埃尔米特样条

考虑作为一个数据集,实线和不同的点吗是有界值,说什么 。不失一般性,我们假设 和 ,所以我们希望找到interpolant光滑在 与 。为每个子区间 , ,我们定义 , ,和 。我们国家有界的插值问题(C1BIP)如下。

问题1 (C1BIP)。对于一个有界集 ,在哪里 ,有一个interpolant在 和是有界的 。

要回答这个问题,我们使用一个三次埃尔米特样条(CHS) ,这是定义在 如下: 在哪里 是未知值。它们的形状参数,我们用它们来迫使interpolant满足边界条件,即: 。施密特和赫斯(16)的必要和充分条件,对于一个三次多项式,看好一个区间。我们使用一个充分条件,以确保从他们的研究成果 和 。

我们假设 为 。

引理1(见[16])。这个函数在 是正的,如果 ,在哪里

推论1。如果 ,在哪里 然后 在 。

证明。只要应用引理1在 。

定理1。三次埃尔米特样条的一个充分条件为了满足 这组值吗满足以下的不平等制度:

证明。约束导致引理1和推论1必须应用到每个子区间。的价值只有第一个区间约束影响,所以它可以满足(4)。对于每一个 ,连续两个小区间的一个必须考虑的限制,即, 和 。所以,有4限制如下:(我)应用引理1在 部队 (2)应用推论1在 部队 (3)应用推论1在 部队 (iv)应用引理1在 部队 同时必须满足这些不平等现象,所以不平等(5)是这些约束的自然表现。的情况下类似于 。

定义1。所有点的集合满足不等式(4)- (6)定义的可行域三次埃尔米特C1BIP样条方法。

引理2。可行域的定义1非空的。

证明。为每一个 ,我们应该确认相应的下限约束,不平等(4)- (6),实际上是低于上限。这很明显由于假设 。在不平等(4)- (6),每一个下界是一个负值的价值,虽然每个上界是负的。

下面的定理引理的直接结果2。

定理2。对于任何数据集 ,存在一个三次埃尔米特花键interpolant,方程的形式(1),它提供了一个解决方案的问题1。

备注1。任何时候在可行域,提出了由不平等(4)- (6),为问题提供解决方案1。一个可以选择是相应的可行区间的中点。在下一节中,我们寻求最佳解决方案,提供曲线更平滑和视觉上赏心悦目的解决方案。

3所示。有界的三次埃尔米特样条

三次埃尔米特样条(1)提供了一个解决问题的家庭1。任何一组从可行域的结果有界interpolant。我们可以施加更多限制值获得interpolants所需的属性。实施的连续性的二阶导数在每个室内点必须是连续的吗 , :

线性方程的系统(7)与不平等(4)- (6)形成一组约束。找到一个可行的解决方案,可以解决线性规划问题受到这些约束。所以,一个可行性的问题就出现了:“解决系统(7)满足(4)- (6)?“这是依赖值;在这里,我们国家一个充分条件。

引理3。如果形成一个统一的分区和 对所有 (或者,分别 ),然后解决线性系统(5)满足不等式(4)- (6)。

证明。使用符号 ,一个可以重写方程(7), 一个人应该验证方程(8)是可行的受约束(4)- (6)。我们假设满足(4)- (6)。利用方程 一个人可以代表 为 ,方程(5)会导致以下限制: 这将导致 现在,对于方程(的可行性8),还有待验证 在这里,我们添加的假设 对所有 ,导致 后者明显不平等是由于我们的假设值。类似的计算可以用于验证(14)。使用不平等(4)和(6),分别一个容易处理的可行性 和 。

4所示。限制三次埃尔米特插值

问题2。对于受限的数据集 ,在哪里是有界的两条曲线和 ,也就是说, ,有一个插值函数这也限制了吗和 ,也就是说,

我们认为的情况和最多,二次多项式和三次埃尔米特样条(设置一些充分条件1)满足条件(16)。

表示 你可以重写约束条件 在两个积极性的条件:

应用引理1,我们有以下结果:

定理3。插值三次埃尔米特样条的一个充分条件(1限制)和(16)是满足下列条件:

获得更平滑,可以很容易地添加一个连续性条件,推理是一样的有界的情况。

5。能量最小化方法

到目前为止,我们已经解决了有界和约束插值问题,我们知道那里确实存在以及解决这些问题的办法。然而,在这两种情况下,可能存在大量的解决方案;所以,选择“最优解”的问题出现在这里。此外,得到一个明确的结果,必须解决线性规划问题。

使用的能量最小化方法已成功被Burmeister et al。17)获得的插值样条最小能量。它通常是基于最小化花键的曲率为代表

Wolberg和阿飞18)提出了不同,但密切相关,大量表达花键的能量。他们引入了能量测量基于二阶导数间断点:

他们已经简化了不连续能量测量, ,与一阶导数是线性的,因此可以应用线性规划过程。简化是由使用不连续的绝对值:

对于每一个间断点,他们定义一个松弛变量, ,其价值是被迫的绝对值不连续,使用下面的不等式约束:

可以写成

在这里,我们使用相同的技术和努力达到合适的样条函数在两个阶段。我们国家的想法有界的情况下,然后,它可以很容易地扩展到一个受限的情况。首先,我们把作为一个目标函数,尽量减少其受到以下限制。(我)约束:绝对值方程(23)(2)有界性约束:方程(4)- (6)

线性规划(LP)提到的问题可以由任何LP-solver处理。这个LP的解是一个向量的值 ,现在,我们有一个解决方案的问题1(C1BIP)。

在这一点上,我们可以切换到第二个阶段。反映了二阶导数不连续的总和;所以,每当它有一个相对较小的价值,我们希望是接近的解决方案。有解决方案提到LP的手,我们试图达成解决方案。为此,我们添加的连续性约束,即。方程(7)的一组约束。这次,我们使用从方程(21)作为一个客观,尽量减少其受到以下限制:(我)有界性约束:方程(4)- (6)(2) 条件:连续性方程(7)

这是一个非线性规划问题,需要开始猜;我们使用的解决方案提到LP的起点。

6。例子和插图

在前面部分,有界和约束三次埃尔米特样条问题(问题1和2)已被转换为线性规划问题,可以很容易地在MATLAB处理。达到更顺畅的解决方案,连续性约束是一个非线性规划问题,也可以通过MATLAB解决使用“fmincon”功能。MATLAB的最大向量范数的离散化是用来比较的错误。我们通过一些例子说明这些结果:第一组的例子局限在有限的插值和第二组提出了限制。

6.1。有界CHS的例子

例1。我们考虑表中的数据集1。
这是一个均匀采样的半圆所描述的功能 在 。的解决方案以及原始曲线见图1。看到,最大误差为0.0551。的解决方案是更令人愉悦的,报道在图2。本例中的最大误差降低到0.0531。表2代表了两种解决方案在每个子区间的最大误差。

例2。表3提出了一种数据采样功能 这些数据是振荡和不满足条件的引理3;然而,三次埃尔米特足够令人信服的解决方案。的解决方案以及原始曲线如图3。这是见过的情况下,最大误差为0.0193。表4介绍了为每个间隔两个错误和用例。
在解决方案,最大误差为0.0195,是描绘在图4。

例3。考虑到数据表中给出5,来自煤的燃烧炉:值的百分比在烟气氧时间的范围。如果我们想象这些数据通过三次样条,它将使一个令人愉快的光滑曲线,但不幸的是身体上的废话,因为它产生消极的百分比。这个问题已经在处理12埃尔米特和理性的样条函数,他们有报道积极的interpolants。秦和徐19)利用三角样条提出了积极保持近似。在这里,该方法提供的interpolant其曲线所在完全最大和最小值之间的比例(图5)。

6.2。限制CHS的例子

例4。数据表6的抽样 在一个统一的分区 。我们希望找到相应的interpolant位于两者之间 和 。的结果0.1733解曲线的最大误差,如图6。的解决方案是通过能量最小化技术和最大误差为0.0120,这是非常令人信服,表明这种技术提供了一个平稳的解决方案与较小的错误。图7是解决方案;在这两种数据,实线是指interpolant,虚线是原始的函数,虚线是约束函数。
普通的三次样条曲线也可以用来解决这个插值问题,但它可能不满足约束条件。然而,在这个例子中,样条解决方案满足约束。在这里,和埃尔米特可以比普通花键立方解决方案通过MATLAB解决方案。表7在小区间提供相应的错误。根据这份报告,解决方案提供了一个更令人满意的结果。此外,解决方案充分竞争。然而,在更严格的约束的情况,埃尔米特花键的解决方案,和 ,相对比普通花键的解决方案。

例5。在本例中,我们打算赚更多的限制条件。考虑到功能 在这一期间 ,我们有一个样品的这个函数表8。它的目的是找到一个有界的interpolant曲线 和 上下约束。
这些曲线,以及最初的功能和CHS的解决方案是如图8和9,分别。

7所示。结束语

一种特殊的一种保形近似处理边界约束已经解决;虽然部分研究在文献[12),我们提出一个线性规划方法和使用能源最小化技术来获得连续性。二次约束的处理方式,这给积极性和线性约束的一个特例。

应该是这里提到的有界插值问题可能被视为一个分段单调插值。在每个子区间,我们可以选择一个合适的函数单调性的保护。这是一个问题,有广泛的研究(18]。但一个单调的解决方案可能不是一个合适的近似为一个有界的现象,和单调interpolant无法达到最小和最大以外的抽样值。这个缺点是我们寻找的动机非常近似。

值得说明的是两个实验结果:(我)限制/界三次埃尔米特插值样条是一种很有前途的技术分散数据(2)能量最小化技术是一个令人信服的工具来获得更多的平滑度和减少近似误差

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。