文摘
分组函数是一种特殊的聚合函数衡量的证据支持的两种选择。最近,复杂的模糊集在许多领域得到成功应用。本文扩展了分组函数的复数的概念。我们引入复数的概念分组、复数0-grouping,复数1-grouping和一般复值分组功能。我们提出一些有趣的结果和施工方法一般复数分组功能。
1。介绍
2012年,Bustince et al。1]介绍了分组的概念,作为一种特殊类型的聚合函数(2]。分组函数措施的证据支持两种选择决策。它起着重要的作用在许多方面的应用,如图像处理(1,3)、分类(4,5),和决策(6,7]。
在本文中,我们考虑复值分组函数,它既是一个一代的实值分组函数和一种特殊的复杂的模糊聚合算子。在文献中,我们可以找到很多工作实值分组功能。通用分组函数的概念(8)和分组区间值函数(9,10提出了。有些属性包括migrativity,同质性、幂等性和分布性分组函数的研究(1,11- - - - - -14]。乘法发电机(15)和添加剂生成器(16分组的功能进行了研究。(G, N)的影响(17]和QL-implications [18)来自分组函数构造。
与此同时,我们还可以找到一些适用于复杂的模糊聚合运营商和相关概念。2002年,Ramot et al。19,20.]介绍了复杂的模糊集的概念和复杂的模糊聚合运营商,已被成功地用于信号处理(20.- - - - - -22),时间序列预测23- - - - - -25),和决策(26,27]。距离和熵措施提出了复杂的模糊集及其扩展(28- - - - - -30.]。此外,一些新概念,如正交性和旋转不变性提出了复杂复杂的模糊集和模糊集合运算符(31日- - - - - -33]。
最近,陈等人。34]介绍了复数的概念重叠函数,该措施两个对象之间的重叠度与复值信息。为了测量的证据支持两种选择与复值信息,本文扩展了传统的实值分组功能复值分组功能。(所34),一些功能复杂的模糊集可能导致为复数的特殊属性重叠功能。
实值函数和分组复杂模糊聚合运营商获得了快速发展应用和理论。然而,据我们所知,如今,没有相应的讨论提出了复数的分组功能。因此,在这篇文章中,我们介绍了复数的概念分组功能。本文组织如下。节2,我们回忆起分组函数的概念。节3介绍复值分组功能和它们的属性。节4介绍施工方法一般复值分组功能。结论给出了部分5。
2。预赛
在本节中,我们回忆起二元分组函数和n维分组函数的概念(1,8,12,16]。
2.1。重叠的功能
定义1(见[1])。一个映射 是一个分组函数如果是对称的,不减少的,连续的,并具有以下属性:(G1) 当且仅当 (G2) 当且仅当 或 介绍了(16),一个映射 是一个0-grouping函数如果我们取代房地产(G1)以下:(G1”) 在不改变别人。同样,一个映射 是一个1-grouping函数如果我们取代房地产(G2)以下:(G2) 在不改变别人。
定义2(见[12])。一个n必要映射 是一个 - - - - - -维分组函数如果是交换,不减少的,连续的,并具有以下属性: 当且仅当 对所有 当且仅当存在 这样 类似地,一个n必要映射 是一个n如果我们更换属性维0-grouping函数通过以下:(Gn1)如果 对所有 ,然后 在不改变别人。一个n必要映射 是一个n如果我们更换属性维1-grouping函数通过以下:(Gn2)如果存在 这样 ,然后 在不改变别人。基于的概念n维0-grouping和1-grouping功能,一般的分组功能定义如下。
定义3(见[8])。一个映射 是一个 - - - - - -维通用分组函数如果是交换,不减少的,连续的,并具有以下属性: 如果 然后 如果存在 这样 ,然后
3所示。N维复数分组函数
让 ,每一个 的形式 ,在哪里 ,振幅的术语 和相 。
我们定义n维复数的分组功能。
定义4。一个n必要映射 是一个 - - - - - -维复值分组函数如果是可交换的,连续的,并具有以下属性: 当且仅当 对所有 当且仅当存在 这样 在第一个变量:振幅单调 当 自交换,这也是振幅单调在任何其他变量基于第三财产吗 。显然,这些属性类似于定义1。当域仅限于[0,1],它可以减少到一个 - - - - - -维实值分组定义的函数2。
例1。然而,存在映射,这样是一个分组函数域[0,1]但不是复值分组功能。给定的函数如下:
是一个分组函数而不是复值分组功能;例如,
,然后不持有。
传统的实值分组功能的双重概念重叠功能。
是一个重叠函数在[0,1],然后呢
是一个分组函数。然而,这并不适用于复值函数重叠。例如,
复值函数重叠吗在[34),但
不是一个复数的分组功能。
同样,我们介绍一些类型的分组功能,比如n维复数0-overlap和1-overlap分组功能。
一个n必要映射
是一个n维复数0-grouping函数如果我们取代房地产通过以下:(Cgn1)如果
对所有
,然后
在不改变别人。一个n必要映射
是一个n维复数1-grouping函数如果我们取代房地产通过以下:(Cgn2)如果存在
这样
然后
在不改变别人。基于这些概念,我们定义的概念n维一般复值分组功能。
定义5。一个n必要映射 是一个 - - - - - -维一般复数分组函数如果是可交换的,连续的,并具有以下属性: 如果 对所有 ,然后 如果存在 这样 然后 在第一个变量:振幅单调 当 之间的关系 - - - - - -维复值分组功能,当0-grouping功能,复数1-grouping函数,和一般的复值分组函数给出如下。
命题1。让 是一个n必要映射,然后(1)如果这是一个n维复数的分组功能,那么这是一个n维复数0-grouping和1-grouping功能(2)如果这是一个n维复数0-grouping(或1-grouping)函数,那么它也是一个通用复值分组功能这关系复值分组函数区间值重叠之间的相似函数(9]。
现在,我们举几个例子来展示他们的关系的复值分组功能。
例2。二元函数 给出的 是复值函数重叠。
例3。二元函数 给出的 是一个通用的复值分组功能和复数1-grouping函数,但是复值分组函数和复值0-grouping功能;例如, ,然后属性不持有。
例4。二元函数
给出的
是一个通用的复值分组功能和复数0-grouping功能。然而,不是一个复数1-grouping函数;例如,
,然后属性不持有。
关闭操作负(-)D但不是在[0,1]关闭。然后,我们只有以下财产上的复值函数D。
定义6。的n必要的功能 是对称的点(0,如果 适用于任何 。
例5。的n必要的功能 给出的 是复值分组函数,它是对称的点(0。
4所示。建设一般复数重叠功能
命题2。如果一个n必要映射 是n维复数的分组(0-grouping、1-grouping或通用分组)函数表示为 然后函数是一个n维分组(0-grouping、1-grouping或通用分组)函数在[0,1]。
定理1。如果n必要的功能 是一个n维1-grouping函数,该函数 满足以下属性:(我) 是交换(2)存在 这样 当且仅当 (3) 是连续的然后,该函数 由方程(7)是一个n维复数1-grouping函数。
证明。它是直接是交换、振幅单调和连续的。现在,我们证明了属性和(Cgn2”)。 : 如果 ,然后 。然后, 对所有 自是一个1-grouping函数。然后, 对所有 。 : 如果 对所有 ,这意味着 对所有 ,然后 自是一个1-grouping函数。然后, 。(Cgn2》):如果存在 这样 ,也就是说, 和 ,然后 自是一个1-grouping函数,然后呢 自满足(ii)。然后, 。
推论1。如果n必要的功能 是一个n维通用分组函数,函数 满足以下属性:(我) 是交换(2)存在 这样 当且仅当 (3) 是连续的然后,该函数 由方程(7)是一个n维一般复值分组功能。
然而,这种方法不能获得复值分组功能。例如,我们得到的 从分组功能和吗 从房地产(ii),但是 ;因此,我们不能得到 。因此,我们考虑一般复数重叠的建筑功能。如果n维复值函数 由方程(定义7),那么我们可以很容易地看到它构造函数是一个关键的一步 ,满足条件(2)的推论1。
现在,我们给出二元函数的例子 满足条件(2)的推论1。
例6。的n必要的功能
给出的
满足条件(2)的推论1。
的n必要的功能
给出的
满足条件(2)的推论1。
基于这些功能,我们给一般的复值分组功能。
这个函数
给出的
是一个通用的复值分组功能。
这个函数
给出的
是一个通用的复值分组功能。
现在,我们考虑构建新的复数分组函数的方法从给定的复数的分组功能。对于实值分组功能,可以使用一些聚合操作来获得一个新的分组函数从一些给定分组功能。不幸的是,这种方法对于复杂的模糊算术聚合失败,因为它不满足振幅单调性的属性(35]。这意味着不能使用加权和来构造新的复值分组功能。
例7。从例子2和3,
和
复数的一般分组功能。然而,
不是一个复数通用分组函数,因为它不满足
。我们给一个这样的例子
但
;让
,
,和
,然后
因此,
。
然而,可以使用产品操作来获得一个新的分组函数从给定分组功能。的产物
非正式的定义
定理2。让 是两个n维一般复值分组功能th的力量 也是一个n维一般复值分组功能。
证明。它是直接是可交换的,连续的。现在,我们证明了属性 , ,和 。 :如果 对所有 ,然后 和 自 是n维一般复值分组功能。然后, 。 :如果存在 这样 ,然后 自 n维一般复值分组功能。然后, 。 :如果 ,然后 和 自 n维一般复值分组功能。然后, 。同样,我们可以得到下面的结果。
定理3。让 两个n维一般复数1-grouping函数,那么他们的产品 也是一个n维复数1-grouping函数。
证明。从定理2和的定义n维复数1-grouping函数,我们只需要证明以下属性: : 如果 ,然后 或 。如果 ,然后 对所有 自是一个n维一般复数1-grouping函数。我们有相同的结果 。现在,我们考虑复数分组函数的力量。首先,为正整数 ,的th的力量 非正式的定义
定理4。让是一个n维一般复值分组函数,然后th的力量也是一个n维一般复值分组功能。
证明。它是直接是可交换的,连续的。现在,我们证明了属性 , ,和 。 :如果 对所有 ,然后 自是一个n维一般复值分组功能。然后, 。 :如果存在 这样 ,然后 自是一个n维一般复值分组功能。然后, 。 :如果 ,然后 自是一个n维一般复值分组功能。然后, 。同样,我们可以得到下面的结果。
定理5。让是一个n维一般复数1-grouping函数th的力量也是一个n维复数1-grouping函数。
证明。从定理4和的定义n维复数1-grouping函数,我们只需要证明以下属性: : 如果 ,然后 。然后, 对所有 自是一个n维一般复数1-grouping函数
备注1。在单位区间[0,1], 当且仅当 。然而,这是不正确的复杂的单位圆盘自 。我们不能建立类似于定理的定理2或定理4为n维复数的分组(或0-grouping)功能。
5。结论
介绍了复数的概念分组、复数0-grouping,复数1-grouping和一般复值分组功能。然后,我们提出了一些施工方法对于一般复值分组功能。我们的方法包括建设一个一般化分组函数和一个连续的,交换的功能 满足以下属性:(我)存在 这样 当且仅当
当然,复数的重叠/分组函数的应用和性能需要进一步调查。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项研究是由美国国家科学基金会批准号下的中国62006168和浙江省自然科学基金批准号LQ21A010001。