文摘
本文旨在演绎的关系类别的拓扑几何和代数的观点和动力系统。我们介绍和定义一个动态廖廖与时间相关参数。我们获得的诱导拓扑链动力学基本组动力链的动态多方面的地图。对于许多添加在这种背景下,我们推导出限制拓扑动力和条件基本拓扑动态组。我们使用交换图的类别作为动力链集合管上推断出链基本组。同时,我们描述的多方面的变化的动力系统的基本组织。
1。介绍和定义
动力系统可能是一个生长在安排时间通过迭代动态规则的应用。进化规则显示真实状态下的变换条件以及早些时候可能条件。这一事实状态演进必须基于系统的状态表明,动力学是递归的。尤其是一个动力系统,不是一个简单的输入输出变换;相反,真正的国家是由系统的历史。输入不需要给系统不断,也许足够如果输入只是给出一个初始状态,然后系统根据其内部动态规则,允许发展,这将正常的动力系统模型的特点。动力系统的转换规则通常是由一组参数。探索这种依赖性的定性性质是动力系统理论的一个重要方面1,2]。
动力系统与组件、状态空间 ,一组时间 ,作为一个加法半群,和一个算子的进化 满足集团财产, 和 和 (3]。如果每当每一点有一个社区,是一个开放的同胚的包含在哪个 ,然后我们说一个拓扑空间局部欧几里得的尺寸吗 。然而,第二个可数豪斯多夫空间局部欧几里得的维度被称为一个 - - - - - -维拓扑流形。事实上,唯一拓扑流形被认为,在大多数情况下,调用它们 - - - - - -维流形或集合管。歧管的子流形是一个子集这本身已经歧管的结构(4]。表面(或2-manifold)是一个非空的空间是同胚的子集的有限维欧氏空间,每一个点都有一个附近的同胚的(5,6]。给定一个拓扑空间和子空间 ,我们说收回的如果有一个持续的地图 的 (5,7]。考虑到空间和与 , ,和 ,然后楔和的商 在识别 (8,9]。给定一个封闭连接的二维流形和 ,我们定义-打开磁盘删除内部的的结果不相交的封闭的磁盘。结果是一个紧凑,连接 - - - - - -维流形与边界组件,我们写 属表面的-开放的磁盘, (10,11]。之间的关系和连接拓扑动力系统的分支和代数与证据和适应症进行了讨论(12- - - - - -15]。庞加莱提出的基本组通过分析曲线表面;他分类这个小组通过研究分析多值函数的延续还有一个封闭的路径在一个歧管(11]。给定一个拓扑空间与 。然后,所有同伦的集合类的循环 与操作 被称为基本组和用吗 (9,16- - - - - -18]。
2。限制条件动态拓扑的动态多方面的
在本节中,我们首先定义拓扑动力,动力箱,限制拓扑动态,并限制条件动态拓扑动力箱,和我们获得诱导限制拓扑动态函子类别的一个动力管汇到一个类别的基本组织。
定义1。让 的间隔时间;然后,它可以写成 在哪里 。对所有 如果一个歧管交往一段时间 ,我们称之为一个动力箱和表示的 。同样,如果一个映射与时间相关 ,我们称之为动态地图,表示 。为了简单,我们表示它 。
定义2。假设 和 是两个动态集合管。一个连续的动态图 被称为拓扑动态,如果每一个动态路径在动力箱 ,诱导路径 在动力箱 是一个动态路径变化曲率和扭(如果需要)。
定义3。让 是一个拓扑链动力学动态集合管;然后,我们定义的极限拓扑动态 。同样,如果限制拓扑动态降低了动力箱的尺寸,我们叫它限制条件拓扑动力和用 在哪里 是一个 - - - - - -维动力箱。
定理1。给定一个动力箱 。然后,有一个链拓扑动态变化的动态集合管 导致 的 。
证明。拓扑链动力学 诱发 的 。
定理2。让 是一个紧凑的连接没有边界动态维流形。然后,(我)有条件的拓扑链动态 引发一连串的条件动态拓扑 的 (2)拓扑链动力学 引发一连串的拓扑动态 的
证明。(我)我们知道 ,紧凑的连接动力维流形没有边界,是同胚的 ,所以,我们获得以下条件拓扑链动力学 的 是一个点,如图1,导致 的 。因此, 。(2)考虑拓扑链动力学 ,的 ,如图2,导致 ,在这 。因此, 。
定理3。考虑到 - - - - - -表面 。然后,两个拓扑链动力学 诱导两个拓扑链动力学 的排名 是一个免费的阿贝尔群等级两个或两个身份的群体。
证明。首先,让
是一个链的拓扑动态
,如数据所示3和4,导致链
,
,
这样
,所以,
。
此外,其他拓扑链动力学
的
,如图5,导致链
,
,
这样
,所以,
。因此,
是一个免费的阿贝尔群的等级2。因此,
是一个免费的阿贝尔群等级两个或两个身份的群体。
定理4。(我)给定一个紧凑的连接与边界维拓扑动力箱和 。然后,有一个链的拓扑动态等级 (2)让 ;然后,有一个拓扑链动力学 ,导致一个链 这样
证明。(我)让是一个紧凑的连接维拓扑流形边界;然后, ,所以, 。现在,考虑以下的拓扑链动力学 的 ,如图6;因此, 因此,排名 。(2)让 和 。此外,考虑以下拓扑链动力学 ,的 ,如图7,导致 : , : : 的 因此, 。
定理5。如果 在给定的 ,我们确定了 与 。然后, ,和拓扑动态 诱发 的 。
证明。假设 此外,考虑以下拓扑链动力学 ,的 ,如图8,导致 : : ,的 。自 和是相同的同伦类型,它遵循了吗 。
3所示。一个限制条件动态拓扑n维动力箱
我们现在广义条件拓扑动态变化的结果 - - - - - -维动力箱和描述交换图诱导同态。
定理6。假设 是一个 - - - - - -维动力箱和 是一个subdynamical管汇的 ,,让 有条件的拓扑序列动力学和动力学的论文。然后,链交换图的动态集合管和subdynamical歧管诱发连锁交换图的基本组织。
证明。考虑交换的连锁图,如表所示1。
由于基本群是一个函子,我们得到的诱导链交换图,如表所示2。
4所示。结论
之间的关系引起极限条件拓扑动态和诱导极限动力被撤销的基本群从的角度推导出限制条件拓扑动态和限制动态动力学的论文集合管。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。