四阶微分方程边值问题的非零解的非线性系统

文摘

本研究致力于调查四阶边值问题的非线性系统。即使用一些技术从矩阵分析和常微分方程,一个Lyapunov-type不平等提供了一个非零解的存在性的必要条件。接下来,估计涉及广义特征值作为我们的主要结果的一个应用程序。

1。介绍

在这项研究中,我们调查微分方程组 受到边界条件 在哪里 和 的连续函数 。很明显, 是一个简单的解决方案(1)和(2)。本研究的目的是获取必要的非零解的存在性条件考虑的问题。也就是说,我们建立新的Lyapunov-type不平等1)(1)和(2在合理的条件下)的非线性 和 。我们的方法基本上是基于矩阵分析和常微分方程的一些参数。

四阶微分方程是有用的在建模许多物理现象(2- - - - - -7)和引用其中),使得这些方程的研究特别有趣。在文献中,一些贡献一直致力于确保充分条件的调查的四阶微分方程边值问题的解的存在([2,8- - - - - -19),在其中的引用)。必要条件的研究四阶微分方程的非平凡解的存在性通过Lyapunov-type不平等已经被一些作者研究[20.- - - - - -22]。例如,在[20.),其他结果,它表明,如果是一个非平凡解 在哪里 是连续的,那么 在哪里 。

最近有关Lyapunov-type贡献的不平等,看到如(23- - - - - -29日)和引用。

本研究组织如下。下一节致力于一些开场白。节3、结果以及他们的证据。最后,给出了广义特征值问题的一些应用4。

2。一些预赛

首先,我们解决一些符号。我们表示欧几里得空间中的偏序定义为 对于每一个 。

我们表示的方阵有负的系数,也就是说,

为 ,的痕迹用 ,的行列式用 ,的谱半径用 ,也就是说, 在哪里复杂的特征值吗 。

我们装备与规范定义为 在哪里欧几里得范数的吗 。

下面的引理以后会有用的。

引理1。让 与 在哪里零向量在吗 。然后, 。

证明。结果遵循的事实 是一个正常的锥在吗与正常常数等于1(例如,30.])。

引理2(见例如,(31日])。让 。如果 ,然后

引理3(见[25])。让 。然后,

引理4(见[12])。让 是一个解决方案 在哪里 。然后, 在哪里

引理5。对所有 ,

证明。修复 。自在不减少的 ,我们推断出 同样,它可以很容易地显示在不减少的 ,的收益率 结合(17)和(18),为所有 ,我们获得 因此,(16)是证明。

在本研究中,我们表示的准则定义为

3所示。结果和证明

我们调查(1)和(2)以下假设:(A1) 是连续的(A2) 是连续的(A3) (0是零函数)(A4) , 在哪里 是连续函数。

解决方案(1)和(2),我们的意思是两个功能 , ,令人满意的(1)和初始条件(2)。一个解决方案 (1)和(2)被认为是重要的,如果 。

为 ,让

定理1。如果(1)和(2)有一个非平凡解

证明。让 是一个非平凡解(1)和(2)和假设 由引理4, 是一个非平凡解积分方程组: 使用(A4)和(16),为所有 ,我们获得 导致 同样,通过(A4)和(16),我们得到 结合(27)和(28),我们推断出 在哪里 和 接下来,使用引理3和(24),我们推断出 另一方面,利用引理1和(29日),我们得到 自 是重要的,那么 ,和上面的不平等导致 但是通过引理2和(31日),我们知道 这与(33)。这证明(23)。

接下来,我们将讨论一些特定情况下的定理1。

3.1。涉及三角函数的非线性

考虑微分方程组 在边界条件下(2), 。观察到(35()是一个特定的情况1),

很明显,和满足(A3)。此外,对所有 ,

然后,(A4)感到满意

因此,通过定理1,我们推断出以下。

推论1。如果(35)和(2)有一个非平凡解

3.2。非局部源条件

考虑微分方程组 根据边界条件(16), 和 。问题(40()是一个特定的情况1), 对所有 。很明显,和满足(A3)。此外,对所有 , 和类似的

然后,(A4)感到满意 然后,通过定理1,我们推断出以下。

推论2。如果(39)和(2)有一个非平凡解

例1。考虑到系统的微分方程(35), 和 对所有 。基本的计算表明, 因此,通过推论1,我们推断出(35)和(2)没有非平凡解。

4所示。广义特征值问题

我们说 是一个微分方程组的广义特征值 受到边界条件(2),如果2)和(44)承认一个非零的解决方案 。请注意,(44()是一个特定的情况1),

此外,(A2)——(A4)感到满意

因此,通过定理1,如果是一个广义特征值(2)和(44),然后

另一方面, ,我们有

因此,(50)减少 因此,以下结果。

推论3。如果 是一个广义特征值(43)和(2),然后

5。结论

使用一些技术从矩阵分析和常微分方程存在非零解的必要条件(1)和(2)获得(定理1)。特殊情况下的(1),我们讨论了涉及三角函数的非线性(推论1)和非局部源术语(推论2)。最后,我们应用我们的主要结果获得涉及广义特征值的估计(推论3)。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

第三作者是由研究人员支持项目数量,沙特国王大学,利雅得,沙特阿拉伯(RSP-2021/4)。