文摘
循环triangle-free过程(CTFP)是triangle-free循环模拟的过程。它始于一个空图并生成一个循环图通过迭代添加参数,选择随机均匀,受到的约束,没有形成三角形循环图,直到没有更多的参数可以被添加。循环的结构triangle-free图的主要订单不同于复合整数秩序。循环图的顺序有更好的性能比合成数的顺序,使更有效地生成循环triangle-free图。在本文中,一种新颖的方法,以生成循环triangle-free图'秩序提出了。循环图的基础上'命令,通过CTFP及其变体,许多新的下界 计算,包括 , , , , 。我们的实验结果证明,所有这些相关的最著名的下界,除了绑定 ,提高了5或更多。
1。介绍
拉姆齐理论(1在组合)扮演了一个重要分支,横跨许多不同的数学领域。许多研究工作都投入到计算拉姆齐数字和他们的概括2- - - - - -5]。
让是一组整数 ( 和 ),一个图的顶点集 和边集 是一个循环图的顺序 ,即 。 参数设置的 。让和两个正整数,拉姆塞数和 ,用 ,最小的正整数吗这样,每一个图包含一个 - - - - - -集团或 - - - - - -独立集。有许多结果拉姆齐和开放问题的理论计算下界拉姆齐的数量(见[6])。
拉姆齐数量 在拉姆齐理论是一个重要的话题。在[7],鞋底铁掌等人给理论动机寻找下界拉姆齐数字循环图的基础上'命令,并提供额外的计算证明了素数比复合材料往往表现得更好。分析(7并不关注拉姆齐数字的形式 。为 ,在[7)结果表明,标准参数期望值不能用来给界限 指数在 ,但在(8阿龙和Orlitsky证明了更复杂的参数随机循环图还是给界限 的订单 。
triangle-free过程是一个重要的工具在研究渐近下界 。triangle-free过程被用于研究渐近下界 在[9,10]。循环triangle-free过程(CTFP)是triangle-free循环模拟的过程,用于产生一定的顺序的循环图。生成一个循环图 ,这个过程始于一个空图和迭代添加随机参数,选择随机均匀,符合约束,没有获得循环图中形成三角形,直到没有可以添加多个参数(11]。
在我们以前的工作(11),CTFP应用研究上下界 。由于循环图的对称性,更容易计算循环图的独立数比非循环图和边缘密度相同的订单。本文之前的工作由包括一个扩展方法生成循环triangle-free图'秩序。实验结果证明代循环triangle-free图是更有效的比以前的工作11]。
采用我们的方法,它是可行的生成大量的循环triangle-free图和改善以前一些最著名的上下界 ,包括 , , , 和 。
本文的其余部分组织如下。节2拉姆塞数的定义,以及在循环triangle-free图和一些已知的结果 ,介绍了。循环的参数集的大小triangle-free图CTFP '订单获得的研究部分3。此外,新的下界 对小给出了部分4。部分5总结了论文,循环triangle-free图和讨论一个问题 。
2。预赛
在本节中,我们首先介绍一些基本概念和符号用于本文。然后,一些基本的已知结果 提出了。最后,循环triangle-free流程(CTFP)中讨论细节。
2.1。定义和符号
所有图表认为本文是有限的和无向图。完全图的顺序( )用 。 代表一个三角形。对于一个正整数 ,如果每个顶点是相邻的顶点,然后被称为 - - - - - -常规。小团体的图 ,用 ,基数最大的集团吗 。独立的图 ,用 ,最大独立集的基数吗 。的订单被称为 - - - - - -小团体,一组独立的秩序被称为 - - - - - -独立设置。
让和两个正整数,拉姆塞数 是最小的正整数吗这样,每一个图包含一个 - - - - - -集团或 - - - - - -按照著名的独立集。拉姆齐定理(12),众所周知, 是有限的。一个 - - - - - -图是一个图,其中包含一个 - - - - - -集团,也不是 - - - - - -独立集,因此有一个 - - - - - -图的顺序 ,但这不是一个 - - - - - -图的顺序 。
triangle-free过程开始 ,一个空图 ,和迭代增加了边缘均匀随机选择的约束,没有形成三角形,可以添加,直到没有更多的优势。triangle-free过程以最大triangle-free图。循环triangle-free过程,即。、CTFP开始 ,并生成一个循环图通过迭代添加参数,选择随机均匀,受到的约束,没有形成三角形循环图,直到没有更多的参数可以被添加。
对于任何一个实数 ,我们使用指定最大的整数,小于或等于 。同样的,用于指定最小的整数大于或等于 。给定一个整数 ,假设 ,,让是一个图的顶点集 和边集 ,一个图表被称为循环图的顺序 ,即 。 被称为参数集的 。
2.2。一些基本的已知结果 和Triangle-Free过程
虽然 很简单在拉姆齐数字 ,时是很困难的变得大。最著名的渐近下界 是 ,通过Bohman表示和Keevash9),2013年由Pontiveros et al。10同时、独立。在2020年的工作10]更新和发布13]。triangle-free过程用于(9,10]。这渐近下界 被证明了以下定理。
定理1 ([9,10])。让的最大triangle-free图顺序triangle-free过程终止。有高概率,有独立号码最多 。
最著名的渐近下界 ,在[9,10),最著名的上界 ,在[证明希勒14]。的确切值 只知道是正整数吗 。对于更大的小的正整数 ,最著名的下界 不晚于2017年获得的,所描述的调查15]。大多数这些下界在小而闻名 通过发现循环吗 - - - - - -图表。最著名的下界 对于任何一个整数 (引用15)获得了在16基于循环triangle-free图表)。
在[17), 被证明为整数和 ,在哪里 。子用例 , ,被证明在181989年)。这一般约束较弱,但很难得到改善。
2.3。循环Triangle-Free过程
上最知名下界小 是通过循环图的订单组合整数。可以找到一些相关的结果(16,19,20.]。'订单在120年至260年之间,只有一个最著名的下界了循环图的主要顺序,这是 (即。,the lower bound on224)中给出16]。
仍然没有有趣的通用下界 由随机循环图,比所有线性的。因此,有趣的是知道我们可以获得更好的下界拉姆齐的数字形式 通过计算多triangle-free循环CTFP生成的图表。特别是,它将会是很有趣的研究上下界 基于循环图'秩序。循环triangle-free图的结构可以完全不同'秩序和复合整数之间的订单情况。例如,如果是一个奇质数,然后循环图吗和任何 ,将会有一个循环图这是同构的这样 。
在我们以前的工作,新的下界一些小拉姆齐的形式 ,包括 , , 和 ,获得了在11CTFP],这提高了(最出名的下界15]。获得了更多的下界CTFP (11),包括 , , , 和 。
很难给有趣的下界 由triangle-free过程。例如,我们已经生成图triangle-free订300的过程中,如果没有困难,我们发现它们包含45-independent集。另一方面,我们发现一个循环triangle-free图订单307和独立数字CTFP 40。更多的讨论,这将是在一节4。
在[9,10),这是证明有高概率,每个顶点有学位 ,的最大triangle-free图的订单triangle-free过程终止。所示的计算结果(11),当并不大,生成的图表CTFP,相比triangle-free生成的过程中,有更多的边缘和较小的独立数字有高概率。当大,边缘的数量之间的差异CTFP生成的图表,以及边缘图triangle-free生成的过程中,可能会更小。
我们专注于改善小最著名的下界 基于循环triangle-free图'秩序。特别是,我们在寻找有趣的triangle-free图小独立数字。自循环triangle-free图的程度密切相关,其独立性,我们研究循环图的大小的参数设置下一节CTFP获得的。
3所示。参数集的大小循环Triangle-Free图'秩序
类似的证据进行triangle-free过程(9,10)(包括定理1节2.1),证明定理CTFP是很困难的。由于循环triangle-free图不是很清楚现在,更多细节图的结构是必要的。
3.1。小的参数集的循环Triangle-Free图'命令
因为所有triangle-free图表的顺序考虑奇怪'命令,程度等于参数的数量的两倍,这是一个下界的独立数字。当生成循环triangle-free图'订单范围从223年到401年,我们发现最大循环triangle-free图与不同的参数设置。数据大小的参数设置计算实验设计中是有用的。一些最大循环triangle-free的图表的大小用小参数设置表中列出1。(即只有一个例外。,151),the results on prime orders ranging from 127 to 211 are the same to those in [11]。
3.2。通过一个例子计算时间
独立的最大问题是np困难即使数量限制循环图(21]。很难计算大型循环图的独立数的边缘密度很低。例如,很难计算随机循环triangle-free图的独立数当订单大于500。
假设在所有最大循环triangle-free图表 ,图表的比例与独立数小于是 。假设不是太小,这样 成立。如果我们产生最大循环triangle-free随机图,那么至少有一个的概率图数量小于其中已经独立是 。当 和接近无限,概率趋向于1。当 和积极的的概率是非常小的,是吗 ,在哪里是自然对数的基础。找到一个循环triangle-free图和独立数字小于大概率,足够的循环triangle-free图应该生成。因此,为了使处理大量的图表,计算图表应该足够快。
对于任何一个整数在121年至401年之间,产生了循环图的顺序CTFP成本约1秒的平均水平。然而,生成一个循环triangle-free图用小参数设置,可以在平均花费更多的时间。订单变大时,生成一个CTFP需要长时间循环图的平均水平。另一方面,找到一个 - - - - - -独立集在给定循环triangle-free图时可以更容易吗更小。
下面我们通过一个例子讨论了计算时间。通过使用CTFP,很容易找到一个循环triangle-free图订单313这样 。然而,在15000年循环图表生成,只有一个循环图订单313 是发现。所有的循环图表包含20个或更少的参数。triangle-free图表的订购313,其参数的数量是最多20日平均计算时间约为1分钟。另一方面,几乎对任何图表,可以找到一组42-independent在一秒钟,我们知道,它们不能用来证明 。
生成随机循环triangle-free CTFP图或类似的方法快速计算的新下界小是很重要的 。我们的实验结果表明,该订单时并不困难是一个奇质数。
3.3。一个方法产生随机循环Triangle-Free图'秩序
假设是一个奇怪的', 。让 ( )是一个循环triangle-free图, 和 和 , 是一个triangle-free图。
基于CTFP生成的图表上的数据,我们发现,在循环图 的订单生成的,参数,参数的数量 等于或 有高概率的。这可以通过定理证明2。
定理2。假设是一个典型的, ,,让 是一个循环triangle-free图, 。让 ,在哪里 和 ,有一个参数集这样 是同构的 ,和 。
证明。让
和表示
这样
,也就是说,
(是一个整数)。让
,和
对于任何
,
和
对于任何
。对于任何
,
是同构的
。对于任何
,如果运行在
,然后运行在
。因此,对于任何
,有集在
包含
。根据抽屉原理,有这样
。让是
,我们可以得出结论,
。
我们也可以证明
在定理2类似的证明。根据定理的方法2,不过,我们可以生成循环triangle-free CTFP生成的图表更类似的分布参数。
CTFP生成和在定理2的概率
。基于结果由Muzychuk同构循环图(22),所有循环图同构后,能以同样的方式得到的顺序是一个奇质数。
基于定理2,一个新颖的方法类似于CTFP可以设计,可更有效地产生循环图的主要顺序。我们选择整数的随机,并生成一个循环图通过迭代添加参数。首先,我们选择添加参数一致
随机并受其约束,没有形成三角形循环图,直到没有更多的参数
可以添加。然后,我们选择统一的迭代添加参数
随机和符合约束,没有三角形形成的循环图,直到没有参数,不同于那些整数中选择早些时候。
这种方法类似于CTFP。连同其他改进,新方法可以生成循环triangle-free图比CTFP更快。在循环图有使用这种方法生成参数,在很多情况下,参数的个数
等于或
。
如果我们产生100循环triangle-free图订313的这种方法,参数的数量是最多20个,然后计算平均花费大约28秒。这允许生成图表。我们已经生成的多图订313的参数的数量是最多20日,发现triangle-free图313和独立号码41。我们也产生许多循环triangle-free图订317,其中参数的数量是最多20日,发现triangle-free图317和独立号码41。
从计算结果的新方法,我们可以看到,在学习上下界
,新方法可以实现派生的结果类似于CTFP更有效率。
4所示。新的下界
以拉姆齐数量作为一个例子,下界 获得了在11]。如果我们能改进它 基于循环triangle-free图订单257,那么拥有最多18个参数。它很容易找到一组大型独立在某些情况下,附近的一个顶点是一套36-independent包含在一个更大的独立集。因此 在这些情况下,图形不能用于获得改善 。
这个方法是强大的计算图当循环图是大的订单。虽然有用,这种方法在提高效率的重要方法产生随机循环triangle-free图形、一节中讨论的。
我们进行了很多计算改善最著名的上下界 ,基于图表的主要顺序 ,生成的CTFP和最后一节中描述的新方法。对于每一个'范围从127年到401年,我们有超过10000循环图的生成订单 ,参数的数量是足够小,使提高最著名的上下界 。
在[11),提出了一个问题为例在200年至230年之间,即。,whether additional computation using the CTFP can improve the best known lower bounds on 。对任何'我们已经进行了计算在 ,和发现循环triangle-free图229和独立数字33。因此 ,可以改善前最著名的下界吗1。
表2提出了一种最小的独立数字列表生成图表 。在大多数情况下,结果基于CTFP生成的图表,以及在某些情况下得到基于图形生成的新方法提出了在上一节。一些之前并不知道小'命令的结果,包括 , , , , , 和 。尽管提高下界 在表2是困难的,通过新方法生成随机循环triangle-free图,获得相同的下界吗 更容易。
我们也生成的多图订197的参数的数量是最多14的新方法,和独立的数字都比29。请注意, 是最著名的上下限在[16]。我们还没有找到一个循环triangle-free图的数量订购389和独立47岁之间生成图形的参数的数量是最多23日,使用新方法来生成的。
定理3。 , , , , , , , , , , , , , , 和 可以通过循环triangle-free图表。
在给出的结果相比11),除了第一个(即 ),最著名的下界都提高了5或更多。我们列出一些图表的参数设置和独立数字CTFP或类似的方法获得的表3基于结果的定理3是获得。
例表3在订单 ,下界时更好的独立数是偶数。下面给出的理由是:如果预期独立号码甚至,我们可以生成循环triangle-free图形参数的数量是没有比 很快,它允许处理许多图表;如果更多的随机循环triangle-free生成图表,我们可以改善一些形式的最著名的下界 在这情况下,预期独立号码是奇数。
5。结论和讨论
在这篇文章中,我们已经改善了最著名的下界 基于某种循环图的' CTFP或类似的方法获得的。为这不是小,下界的工作 。基于循环triangle-free图比(11)没有有效找到良好的参数集。CTFP可以作为一个很好的工具研究的下界 对于大型 。
我们提出一个问题'订单循环triangle-free图。
问题1。假设是一个整数, 。让是独立之间的最小数量的循环triangle-free图表 。有一个整数 这样对质数和 , 当 吗?
我们提出这个问题基于表中的数据2。例如,我们知道 和 ,而是否 是未知的。请注意,在本文中,我们已经获得了下界 通过计算小上界 。
对于一个正整数 ,没有循环 - - - - - -图的顺序可以用来改善最著名的上下界 在[15](见[23])。很可能对任何整数在121年至200年之间,没有一个循环triangle-free图,可用于改善最著名的上下界 。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
研究支持部分由中国国家自然科学基金(11361008)。