文摘

本文用一种新的功能 介绍了我们使用证明新的有趣的定点结果控制指标类型空间。同时,我们现在的例子来说明我们的工作。

1。介绍

不动点理论是最有趣的一个话题,介绍了巴拿赫(11922年)。从那时起,在过去的几十年里,这一领域的研究已经成为许多研究者的灵感在非线性领域的分析及其应用。我们参考读者检查这些扩展的巴拿赫定理在不同的度量空间;例如,在[2),作者证明self-mapping的不动点的存在 度量空间,满足更一般的收缩。

1989年,巴赫金3]介绍了度量空间的延伸, 度量空间,许多有趣的定点一些收缩映射的结果 度量空间进行了研究。同样,1993年,Czerwik [4扩展的结果b度量空间。2018年,Shatanawi et al。5]介绍了 - - - - - -收缩的扩展 度量空间。最近,许多研究b-metric空间不同收缩条件下进行。在那之后,许多作者使用 - - - - - -收缩映射在不同的度量空间(见[6,7])。2017年,Kamran et al。8)提出了一个非常有趣的泛化 度量空间,称为扩展b-metric空间。扩展b-metric的扩展空间,称为控制指标类型空间,引入了Mlaiki et al。9]。

在本文中,我们概括的结果穆罕默德(10]和Mukheimer [11)通过引入 - - - - - -收缩映射在控制指标类型空间。

2。预赛

扩展的概念 - - - - - -度量空间是由Kamran et al。82017年],他们的工作广义文学的许多结果(见,例如,12- - - - - -16])。

定义1。(见[8])。让 是一个非空的设置和定义映射 和 ,这样 ,(1) 。(2) 。(3) 。然后,我们说对 是一个扩展 度量空间。
一般的延伸 度量空间被认为是由Mlaiki等人在9)控制指标类型空间的概念定义如下。

定义2。(见[9])。在一个非空的设置 ,定义的映射 和 ,这样 ,持有下列条件:(d1) 当且仅当 。(d2) 。(d3) 。然后,两人 被称为控制指标类型空间。
为了说明上述定义,我们提出以下的例子。

例1。(见[9])。选择 。取 这样 考虑 作为 很明显,条件 和 感到满意。现在,我们调查情况 。

案例1。如果 或 , 是满意的。

例2。如果 和 , 拥有时 。现在,我们可以假定 。然后,我们有 。很明显, 拥有在所有可能的子用例:(1) 甚至和 。(2) 和 是奇数。(3) 奇怪的, 。(4) 甚至和 。(5) 甚至。(6) 甚至和 。(7) 奇怪的, 。(8) 是奇数。因此, 是一种控制指标。
此外,对于 ,我们有 因此, 不是一个扩展 - - - - - -指标。

例2。(见[9])。取 。考虑到功能 作为 定义一个对称函数 这样 一个很容易验证 是一种控制指标。
自 不是一个扩展 - - - - - -指标。
柯西和收敛序列的概念在控制指标类型空间定义如下。

定义3。让 是一个度量空间类型和控制 是一个序列 。(1)序列 收敛一些 ,如果 , 这样 。我们写 。(2)我们说 是柯西,如果 , 这样 。(3)如果每一个柯西序列收敛,那么空间 就是完整的。

定义4。(见[9])。让 是一个控制指标类型空间。让 和 。(我)开放的球 被定义为 (2)一个self-mapping 在 据说是连续的吗 ,如果 , 这样 。

备注1。如果对所有 在 , ,然后 是一个 度量空间。因此,我们得出这样的结论:每一个 度量空间是一种控制度量空间。然而,反过来并不总是正确。
很明显,如果一个映射 是连续的 在控制指标类型空间 ,然后 意味着 作为 。
让 表示所有功能的集合 这样(1) 不减少的。(2) 对所有 ,在哪里 是 - - - - - -th迭代的 。现在,我们记得下面的引理。

引理1。(见[5])。如果 ,然后 ,对所有 。
接下来,我们介绍下面的类的功能。

定义5。(见[5])。让 是一个非空的并集 是一个映射。一个函数 据说是比较函数如果控制吗 满足下列条件:(1) 不减少的。(2) ,和 对于任何序列 在 ,对所有 和非负整数 在哪里 是 - - - - - -th迭代的 。所有控制的集合用比较函数 这是一个扩展的 比较Berinde的函数。
注意,如果 ,然后我们有 ,自 ,对所有 。因此,由引理1,我们有 。
显示家庭 是一个非空的集合,我们下面的例子。

例3。考虑到控制b-metric空间 定义的例子吗2。定义的映射 ,在哪里 。请注意, 。然后,我们有 。因此, 。同样,不难看到 。

3所示。主要结果

首先,我们定义了 - - - - - - 收缩self-mapping控制指标类型空间。

定义6。让 self-mapping在一个完整的控制指标类型空间 。我们说 是 - - - - - - 如果存在一个函数收缩映射 和 这样对所有 ,我们有

定义7。(见[17])。让 是一个控制指标类型空间。一个映射 据说是一个 容许如果以下条件成立:如果 ,与 ,然后 。
现在,我们证明我们的第一个结果。

定理1。让 一个完整的控制指标和空间类型 是一个 压缩映射对一些 。假设(一) 是 容许。(B)存在 这样 。(C) 是连续的。然后, 有一个固定的点。此外,如果对于任意两个固定的点 在 说 我们有 ,然后 有一个独特的定点在吗 。

证明。取 在条件(2)点在我们的定理。定义的序列 通过 。
首先,注意如果存在 这样 ,然后做完了 不动点的吗 。
因此,我们可以假设 对所有 。同时,我们知道我们的定理的假设 , ,和使用这一事实 是 容许,我们可以很容易地推断出 , 。
现在,使用这一事实 是一个 收缩映射,我们推断出 因此, 与 ,我们有 在哪里 由于 ,我们推断出 和 因此,序列 是一个柯西序列。控制的完整性度量类型空间 意味着 收敛一些 。
另外,请注意, 把上面的限制在不平等和 和使用这一事实 是连续的,我们得出这样的结论: ;也就是说, 。因此, 有一个不动点。现在,假设 有两个不动点 这样 。因此,使用这一事实 是一个 收缩映射和 是 - - - - - -容许,我们获得 自 ,把限制在上面的不平等,我们推断出 这意味着 。因此, 有一个独特的定点。
接下来,我们提出以下示例作为一个定理的应用1。

例4。让 控制指标类型空间中定义的例子2。定义的函数 这样 定义self-mapping 在 通过 和功能 。
我们想确认 满足条件的定理1。很明显, 是连续的 。我们有 。所以, 是 - - - - - -容许。现在,我们确认 是 - - - - - -收缩映射。请注意, 。(我) ,对所有 。(2) 。(3) 。(iv) 。因此, 满足条件的定理1,因此它有一个独特的定点 。
现在,我们提出下列定理的直接后果1。

推论1。让 一个完整的控制指标和空间类型 是一个映射满足下列条件:(1) 是连续的。(2)存在 这样 ,对所有 。然后, 有一个独特的定点。

证明。定义的函数 通过 。请注意, 是 容许。此外, 满足所有条件的定理1。所以, 有一个独特的定点。
在下定理,我们替换一个弱连续性假设的条件。

定理2。让 是一个完整的、控制指标类型和空间 是一个 - - - - - - 压缩映射对一些 。假设持有下列条件:(1) 是 - - - - - -容许。(2)存在 这样 。(3)如果 是一个序列 这样 和 作为 ,然后 对所有 。然后, 有一个固定的点。

证明。在证明结果,我们遵循相同的步骤在定理的证明1构建一个序列 收敛于一个点 。构造序列的性质 ,对于所有自然数 。最后假设的结果暗示 。我们终于证明 是一个固定的点 。三角不等式暗示 注意,第一项的不平等, ,收敛于0, 收敛于0。此外,第二项 而收敛于0。因此, ,因此 是一个固定的点 。

4所示。结论

注意,在公式1上,我们使用的连续性self-mapping控制指标类型的空间,这是一个强烈的假设。我们想把读者的注意力,我们只用这一假设来证明 ,因此 是一个固定的点。悬而未决的问题是我们是否可以省略的假设没有取代它与另一个弱连续性条件的定理2。最后,我们提出以下问题:

在什么条件下我们定理获得相同的结果1和2在双指标控制式空间[self-mappings18]。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者要感谢苏尔坦王子大学通过NAMAM研究集团的支持。