文摘
平均图度定义图不变等于所有顶点度的算术平均值和有许多应用程序,尤其是在确定不规则程度的网络和社会科学。在这项研究中,研究了平均程度的一些性质。顶点删除对这种程度的影响已经确定,一个握手定理的新证明。使用最近定义图索引指数、平均程度的树木,单循环的,二环、三环图得到,这些都是广义的 - - - - - -循环图。另外,边删除已计算的影响。平均程度的一些派生的图表和图形操作已经确定。
1。介绍
让 是一个有限的、无向简单图, 顶点, 边缘。为一个顶点 ,边的数量会议用或和的程度 。如果所有顶点度的集合是 在哪里年代的非负整数,那么的序列称为学位 。在这里,是最大的顶点度。每一个图 ,有一个序列。然而,对于度序列,可能会或可能不会存在一个图。如果有图据说是可以实现的。对于每一个可实现的度序列,至少有一个图;通常,有很多。
在[1),一个新的图索引指数定义为
有些图不变量与顶点度有关。的密度图措施有多少边集的边缘与顶点之间的边的最大数量 。对于一个简单的图,图时达到的最大数量的边就完成了。在这种情况下,这个数字 。的密度是
显然,密度增加与边的数量比例。因此,在所有连接简单的图表顶点,树木密度和最低完成图密度最高的是1。
在本文中,我们利用指数研究平均程度的属性的图衡量边有多少相对于顶点的数量,
从定义,我们可以很容易地推断出以下关系和 :
另外,以下的关系指数图和密度和平均程度可以推导出如下:
如果所有的顶点在一个图有相同的程度,说 ,图为说 - - - - - -常规。大部分的图不定期和一些图指数定义为测量图形的不规则性。贝尔指数图被定义为 参见[3),和程度偏差指数被定义为
在[4),偏差程度等于订单的产品的图的差异。此外,Collatz-Sinogowitz指数被定义为 在哪里表示邻接矩阵的最大特征值(5]。注意,在所有这些不规则指数、平均程度的一个图表。这使得平均图重要度的概念。在最近的一篇论文6),两个新的和不同结构不规则指数爱尔兰共和军和IRB已经定义并与其他现有的不规则性措施。当然,这个列表可以很容易地扩展到有新的家族成员不规则指数。
本文的结构如下计划。节2两个相关概念,密度和平均度,研究了这两个量计算无环,单循环的,二环,三环,,一般来说, - - - - - -循环图。在部分3和4,平均顶点和边删除的影响程度的贺图。在部分5和6,平均程度的一些派生的图表和二进制图像操作确定。
2。密度、平均度和Cyclicness
一个连通图没有面临被称为非循环。图有至少一脸命名为循环;尤其是在单循环的,二环、三环等,根据面临的数量 ,等等,分别。在这里,使用指数图根据cyclicness进行分类,并对每一种情况下,图的密度特征如下:(我)如果是无环,那么 (2)如果单循环的,那么 (3)如果二环,那么 (iv)如果三环,那么 (v)如果是 - - - - - -循环, ,然后
事实上,让是一个连接 - - - - - -循环图。由定理1在[1),我们有 ,作为是连接。因此, ,和推论3.4 (1),我们知道 。
下面是一个相似的结果平均程度。的平均顶点度的联系 - - - - - -循环图
结果,连接无环、单循环的二环、三环、等,图平均度 ,2, , ,等等,分别。
3所示。顶点删除平均程度的影响
现在,平均顶点删除的影响程度将被考虑。先后使用了公式,我们给一个结果有助于计算的平均程度的一个大型图表通过更小的平均程度图。让图通过删除顶点在一起边缘事件 。首先,我们有以下。
定理1。下面的递归关系是适用的:
证明。让是一个简单图的顺序连接 。让 有学位在 。 图通过删除顶点吗在一起边缘事件 。因此,删除从降低的程度的邻居1。的删除从降低了总顶点度通过 。因此, 给结果。
应用定理1递归地,我们可以给另一个握手引理的证明标识顶点 这 。
推论1。(握手定理)。在每一个图,顶点度的总和等于边的数量的两倍,也就是说,
证明。应用定理1先后删除 从 ,分别得到下列等式: 添加所有这些肩并肩,我们获得的结果。
所以,我们所有的顶点删除一个接一个来证明握手引理。如果我们只删除一些顶点?我们回答这个问题在两个步骤。
定理2。让是一个简单图的顺序连接 ,大小 ,和平均度 。如果 两两不相邻的顶点吗 ,然后 在哪里 ,为 。
证明。让和的大小和顺序 。然后,根据定义,我们有 。很明显, 作为顶点删除。当一个顶点注意,删除吗事件的边缘也被删除。所以,如果我们删除成对不相邻顶点 从 ,总共 边也将删除 。这证明了结果。
最后,如果一些对删除顶点相邻,那么我们就会有下面的结果。
定理3。如果对顶点的 在相邻的 ,然后
证明。证明是非常类似于定理之一2,除了我们需要处理相邻对顶点。如果和两个相邻的顶点 ,然后邻居的总数是和邻居的总数是 。因此,当删除和 ,我们也删除 至少一个边缘事件或 。在这里,正值边缘之间和只能删除一次,但都是事件吗和 。所以,当 删除从 ,总共 边缘也被删除,给结果。
例1。让图在图1,让我们删除
,和
。
注意的平均程度是
。这个图
是在图2平均程度
。
根据定理3,
因为有
对顶点删除。
4所示。边删除平均程度的影响
我们现在确定边缘的影响从平均图顶点删除学位。让是一个图和大小 ,,让是一个优势。图通过删除边从用 。我们有以下复发的平均度之间的关系和 。
定理4。的平均程度的平均程度有关吗通过以下递推关系:
证明。删除一个边缘将减少边的数量由1和不会改变顶点的数目,我们知道吗 提供所需的结果。
5。平均程度的一些派生的图表
派生图是图从一个给定的图后操作。从这个意义上说,许多作者认为派生图是图操作。导出图表帮助以确定一个给定的属性图,计算的相同属性派生图。在本节中,我们确定的平均程度的一些派生的图表。下的派生图研究,总跳,semitotal线图。
线图的图构造如下。图中每条边 ,我们画一个新的顶点这两条边 ,有一个共同的顶点,使相应的顶点之间的边 。可以看出,秩序和线图的大小是 和 ,分别在哪里 是著名的拓扑图形指标称为第一萨格勒布指数。的确,
因此,平均程度的线路图获得的是
整个图的图 ,也称为泛化的图,是图的顶点集对应的顶点和边和两个顶点相邻敌我识别相应的元素相邻或事件 。的定义,我们可以推断出的秩序和大小全图作为 和 ,分别。因此,我们推断的平均程度全图
接下来,我们研究的平均度跳图。跳图的图是补的线图。也就是说,跳图的图图上定义边缘设置吗图的相邻两个顶点的当且仅当他们不相邻 。跳转的秩序和尺寸图 和 ,分别。因此,平均度是
最后,我们考虑semitotal线图 。它的顶点集 相邻的两个顶点在哪里当且仅当它们相邻或事件 。同时, 和 ,这意味着
所以,这证明。
定理5。让是一个图和大小 。然后,线图的平均程度 ,全图 ,跳图 ,和semitotal线图如下:
6。一些图形操作的平均程度
让 和 有两个图,这样 和 。在这最后一节中,我们研究一些图形操作的平均程度,即联盟,加入和电晕产品两个图表和 。
工会 两个图和有不相交的顶点和边集轻松获得通过联盟顶点集作为它的顶点集和边集的结合的优势。
定理6。欧盟的平均程度 两个图和是
证明。通过联合操作的定义,我们可以写下来 和 。这证明了结果。
两个图和与订单和和大小和 ,分别连接操作 两个图和有不相交的顶点集和和边集和图联盟 连同所有的边缘之间和 。
定理7。平均连接度 两个图和是
证明。的定义,我们可以推断出 和 。因此,结果如下。
日冕的产品两个图和被定义为图获得通过一份吗(顶点)和的副本 ,然后,加入th的顶点每个顶点的th的副本 ,为 ,我们得到以下。
定理8。日冕的平均度的产品两个图和是
证明。我们知道 和 。这给所需的数量。
数据可用性
没有数据可用。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。