文摘
一个线性重心合理搭配方法(LBRCM)求解薛定谔方程(SDE)提出。根据质心插值方法(BIM)有理多项式和切比雪夫多项式的矩阵形式搭配方法(CM)易于程序。的收敛速度LBRCM求解薛定谔方程证明了收敛速度的线性重心有理插值。最后,数值例子验证理论分析的正确性。
1。介绍
薛定谔方程(SDE)是广泛应用于原子物理学、核物理学和固体物理,量子力学,等等。SDE只适用于非相对论粒子速度较低,并且没有描述粒子自旋。在本文中,我们考虑的是解决SDE的数值解: 在哪里h降低了普朗克常数和吗米表示质量。在[1],部分Schrodinger-Choquard方程与充气标准及标准化的驻波不稳定性进行了研究。在[2),的时域有限差分(FDTD)方法研究了解决钻。在[3),非线性磁Schrodinger-Poisson类型方程进行了研究。在[4),高阶多尺度间断伽辽金方法的一维平稳sd振动提出了解决方案。在[5SDE), sixth-order非线性分解公式和分析方法。在[6),非线性sd是通过迭代的方法解决。在[7),二维克莱因戈登sd是解决线性紧凑的交替方向隐式(下级法官)计划。
获得的等距节点质心公式,浮子(8- - - - - -10)提出了一个合理的插值方法;特别是,等距分布节点和quasi-equidistant节点插值的数值稳定性和精度高(11,12]。在[13,14),线性重心合理搭配方法(LBRCM)被用来解决积分微分方程。王等人。15- - - - - -17)扩展的应用领域(CM)的搭配方法,如初始值问题,平面弹性问题和非线性问题。LBRCM求解热传导方程和双调和方程研究[18,19]。
本文提出了解决SDE LBRCM。根据质心插值方法(BIM)有理多项式和切比雪夫多项式的矩阵形式的搭配方法易于程序。LBRC方法求解的收敛速度电报方程证明了线性收敛速度的重心有理插值(LBRI)。最后,数值例子验证理论分析的正确性。
本文的剩余计划如下。部分2介绍了微分矩阵,CM SDE, CM的矩阵形式。节3,证明了收敛速度。最后,数值算例验证了理论分析。
2。微分矩阵数据
我们分区间隔 和 成 和 与 ,和 ,统一的分区 和 。为 与 将均匀分区。
考虑质心插值函数(BIF) 和它的质心插值近似 在哪里 在哪里 ,和 在哪里 基函数,值点吗 。结合方程(1)和(5),我们得到 然后,我们有 和 在哪里 和 和 和Kronecher矩阵的乘积。在下面,我们定义的Kronecher积矩阵 和 作为 在哪里
3所示。收敛速度和误差分析
的重心理性interpolants函数(BRIF)与和它的误差收敛速度 和 在哪里 和 在哪里
下面的引理证明了Jean-Pau Berrut (11]。
引理1。(见[11]),中定义的(16),我们有 为BRIF 与 ,我们可以把重心有理插值(BRI): 在哪里 和 , Newton-Cotes误差项的规则的二维函数,我们有 下面的定理证明在参考了李18]。
定理1。为 中定义的(25)和 ,我们有
推论1。为
中定义的(25),
这个推论可以获得同样的定理1,我们忽略它。
让
的解决方案(1),
是数值解;然后,我们有
和
根据以上引理,可以证明以下定理。
定理2。让 和 ;我们有
证明。作为 我们有 为, ,我们有 推论,我们获得 同样的,对 和 ,我们有 和 结合方程(身份31日),(34),(36)和(37),定理的结论。
4所示。数值例子
例1。SDE的
和
条件下
分析解决方案
表1和2显示的错误LBRCM等距节点的空间变量和时间变量。
表3和4显示错误的LBRCM quasi-equidistant空间变量和时间变量的节点。
例2。SDE的
和
条件下
;分析解决方案
在数据1和2等距和quasi-equidistant节点的误差估计
提出了。从图可以看出2重心有理插值搭配方法具有较高的准确性quasi-equidistant和等距节点的条件。
表5和6显示的错误LBRCM等距节点的空间变量和时间变量。
表7和8显示错误的LBRCM quasi-equidistant空间变量和时间变量的节点。
5。结论
摘要LBRCM SDE构造来解决,而时间变量和空间变量同时得到。数值解证实了定理分析。
数据可用性
的数据支持本研究的发现可以从相应的作者在合理的请求。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
这个手稿的作者是Peicheng赵和永乐。一些语法检查是由永乐。
确认
永乐程的工作是由河北省自然科学基金(批准号A2019209533)。