文摘
派生图是图从一个给定的图是根据某种预先设定的规则。最常用的两个派生图是线形图和总图。计算派生图的一些性质有助于计算相同的属性的原始图。出于这个原因,图及其派生图之间的关系总是受到欢迎。最近推出了图指数也充当一个图不变的叫做ω是用于获得这样的关系线和总图表。作为一个说明性的锻炼,ω值和面临的的数量和一些常用的图形类的总图表计算。
1。介绍
让是一个简单图 和 顶点和边集。和调用的顺序和大小 ,图分别是最重要的参数。如果 ,我们说和相邻,是事件和 。边的数量事件一个顶点被称为的程度和用 ,或通过如果没有混乱。一个顶点的度1命名为吊坠顶点。的度, 所有的顶点,是最大的顶点学位吗 ,被称为图的度序列。
图相连接,没有周期称为树。图表被称为无环,单循环的,二环,三环,等根据它的周期数为0,1,2,3,等等。像往常一样,道路,循环,明星,完成,完成由两部分构成的,蝌蚪图是用 ,和 ,分别。对于其他图这篇论文使用的理论观念,看到的,例如,(1- - - - - -3]。
给定一个图 ,线图的图的顶点集吗的两个顶点被邻近的敌我识别相应的边是相邻的。对于某些应用程序的线图,例如,(4,5]。同样,全图的图的顶点集吗 的两个顶点相邻的敌我识别相应的元素相邻或事件。线形图和总图是两个派生图的例子。最小的双重解决集和强度量维度层太阳图,这张图的线图计算(4]。经典的一些图基于线图的卑鄙属性被认为是在5]。最近的一些应用程序的图形,见,例如,(6- - - - - -8]。
根据定义,线和总图的度序列
2。ω指数和基本面
在本文中,我们研究了线和总图形与ω指数和面临被称为圈数的数量。ω指数是一个相加量定义为给定的度序列(1)或一个图表
结果表明, 因此它总是一个偶数。结果表明,ω的特点为我们提供了非常强大的信息cyclicness和连通性的实现一个给定的序列(见,例如,[程度9])。总之,结果表明,所有实现一定程度的序列与 必须断开连接;每个连接实现一定程度的序列与 必须是一个树;每个连接实现一定程度的序列与 必须是一个单循环的图;每个连接实现一定程度的序列与 必须是一个双环图,等等。同时,面临的图的数量或所有给定的度序列的实现是制定 在哪里组件的数量吗 。更多ω索引的属性,见(10,11]。边缘和顶点删除ω的影响指数研究[9]。接下来,我们获得的吊坠毛毛虫树的顶点由一个主要路径,这样所有顶点最大距离1的路径。
定理1。让是一个毛毛虫树。让nonpendant顶点是 这具有独特的nonpendant邻居 ; 具有独特的nonpendant邻居 ;和有两个nonpendant顶点和为 。以下关系: 在哪里的程度 。
证明。通过计算,只有一个nonpendant邻居因此吊坠的邻居,只有一个nonpendant邻居因此吊坠的邻居,同样的, ,顶点有吊坠的邻居。因此, 这样就给结果。
推论1。对于任何树 ,我们有
毛虫树,线形图的度序列可以表示更多的确定性。
定理2。让是一个毛毛虫树。让nonpendant顶点的度是 。线形图的度序列是
证明。由定理5在[11),存在一个完整的图形在在每个nonpendant顶点 的程度在 。同时, 敌我识别和有一个共同的顶点。因此,有顶点的度 ; 有顶点的度 ;和其他每一个完整的图形为 有顶点的度 。同时,十字路口的顶点和 的程度 为 。因此,结果如下。
接下来的结果给出了边缘的数量之间的关系和通过第一个萨格勒布指数 :
引理1。对于一个给定的图 ,我们有
证明。根据定义,我们有
在以下结果,我们计算ω线图的指数当是 - - - - - -循环通过三角数字 。
推论2。对于一个给定的图与 ,我们有
以下结果的ω指数线图。
定理3。对于一个图 ,我们有
证明。作为 和 ,我们有
推论3。对于一个图 ,我们有
证明。由定理3, 这样就给结果。
推论4。对于一个图 ,我们有
证明。它遵循从 。
现在,我们得到一些结果总数的ω指数图。
推论5。对于一个连接图 ,我们有
推论6。对于一个连接图 ,我们有
推论7。对于任何图 ,我们有
证明。它遵循了ω指数的定义。
这意味着,对于每个图 , 是固定的和等于 。
在[11),面临线图的树是由 在哪里 是三角形数。在[?),这个数字对于一个三环图G是由
这些建议以下泛化。
定理4。让是一个简单、连接和图度序列(1)。面临的线图的数量是
证明。为无环的一部分 ,公式给出了方程(20.)。为每一个在 , 还有另一个 - - - - - -周期由加入的边缘的中点 。因此,循环的数量必须添加到给结果。
逆问题在数学方面非常重要的由于他们的应用程序。在图论中,逆问题是一个涉及寻找给定图拓扑指数的值。在这里,我们解决类似问题的线图的面孔。
定理5。让是一个连通图。然后,可以采取任何正整数的值。
证明。由定理4,我们有方程(22)一个简单的连接, - - - - - -循环图 。这给了我们以下线性等式: 作为 是整数,系数1,可以采取任何正整数的值。
一些特殊情况如下。
推论8。让的树,没有顶点度3。然后,可以把所有正整数除1、2、4、5、7、8、11、14、17。
证明。[12]的定理11中的平等,我们有 作为 是整数,结果如下。
推论9。让的树,没有顶点度3或4。然后,所有正整数的值,除了吗 ,和29。
证明。请注意, 后容易观察,我们发现这个班 所有整数以0; 所有整数以6; 所有整数以2; 所有整数以8; 所有整数以1; 所有整数以3; 所有整数以4; 所有整数结束5; 所有整数结束7;最后, 所有整数以9。这意味着只有上面给出的值无法实现的 。
然后,我们得到以下结果。
推论10。我们有
下面这结果可以应用的变化与cyclicness有关。
推论11。我们有
的必然结果11我们有以下情况:(我)如果是无环,那么 (2)如果单循环的,那么 (3)如果二环,那么 (iv)如果是 - - - - - -循环,然后
3所示。ω,一些特殊图的线图
现在,我们考虑ω和一些常用的图形类的值。首先,我们给一个新的线图的事实的证据是 。
引理2。我们有
证明。回想一下, 。然后,我们有
因此, 道路图是无环。同时, 。
其次,很明显, 。因此, 和 。
接下来,我们考虑恒星图的线图 。线形图的定义, 。因此,
对于一个完全图 ,我们有 这意味着 和 。在图1,我们的情况 。
为一个完整的两偶图 , 是一个正则图的学位 。它的度序列 。因此, 和 。
最后,考虑到蝌蚪图 。 有学位序列 。因此, ,因此, 。
4所示。ω,总图形的一些特殊的图形
在本节中,我们计算ω和一些常用的图表的价值观。我们先给一个重要的属性。
引理3。让是一个连通图。然后,不能有任何吊坠顶点。
证明。让 。让事件是一个优势 。作为被连接起来,至少有一个相邻顶点说什么 ,来 。在全图 ,顶点将相邻和这意味着结果。
从这一事实证明或者遵循包括整数的形式或 ,在哪里 。
接下来,我们给ω之间的关系和ω 。
定理6。对于一个连通图 ,我们有
证明。回想一下,由次对于每一个 和 的每一个 。作为 ,我们可以推断出由次对于每一个 和 的每一个 。因此,
推论11。对于一个连通图 ,我们有
证明。在定理6,我们可以写
推论12。如果是一个非循环图,那么 如果是一个单循环的图呢
ω的最后,我们给出以下结果指标总图形的一些常用的图形类:
定理7。ω指数总图形的一些著名的类图如下:
5。结论
派生图是图从一个给定的图根据一些规则。在这篇文章中,最常用的两个派生图,线和总图表,进行了研究。计算派生图的一些性质有助于计算相同的属性的原始图。这里,通过ω最近论文索引和几个结果,新关系线和总图表。ω值和面临的的数量和一些常用的图形类的总图表计算。在未来,类似的想法可以应用于其他派生图建立几个关系。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
所有作者同样对本文亦有贡献。