文摘
本文提出一种改进的混沌系统在奇点的分数算子。本题的目的是专注于新模型的参数的影响及其分数阶使用分岔图和李雅普诺夫指数。新的分级模型将产生混乱的行为。李雅普诺夫指数的理论部分的上下文将被用于描述混沌行为。在分数上下文中,阶段画像将获得预估数值方案方法。的细节将在本文数值方案。数值方案将用于分析本文解决的所有属性。chirac)标准也将发挥基础性作用的局部稳定性提出了模型的平衡。我们会发现一个阈值下的稳定性将被删除,将生成的混沌和超混沌行为。将提出一个适应控制正确的不稳定平衡模型的点。 Sensitive to the initial conditions, we will analyze the influence of the initial conditions on our fractional chaotic system. The coexisting attractors will also be provided for illustrations of the influence of the initial conditions.
1。介绍
近年来,建模混沌和超混沌系统占有重要的地位在文学和有许多应用物理学、生物学、电路、和许多其他领域(1- - - - - -4]。最常用字段的应用混沌电路建模,并存在许多论文相关的实现混沌系统在这一领域。现实问题的许多现象是复杂的预测和证明混沌模型的使用。如今,出现许多工具来分析系统的混沌系统的相图使用数值离散,分岔图理解的影响模型的参数对混沌动力学的模型,和李雅普诺夫指数用于确定性质的混乱。存在一些混乱混乱行为和超混沌行为。作为工具,我们还可以引用后,庞加莱映射;还有一个算法初始条件的影响。众所周知,混沌系统对初始条件的变化很敏感。影响初始条件可以产生混沌或超混沌行为的损失的行为。分数微积分近年来引起了人们广泛的关注,许多部分运营商已经介绍了新的领域。 As operators in this field, we can cite the Riemann–Liouville derivative . We can cite the Caputo derivative [5,6),这是最常用的运营商分数微积分由于其物理充足与物理问题。其他部分运营商与米塔格-莱弗勒内核(7,8内核存在[]和指数9),继续让分数微积分中的所有社区(10]。Atangana-Baleanu衍生品的使用,请参阅[11]。他们中的许多人有优势在建模现实世界的问题。混沌系统建模和超混沌系统捕获的记忆效应已经构成了一个新的方向研究近年来;参见[8,12]。促进分数微积分及其应用,读者可以参考以下文件:在13),作者地址的新数值方案解决分数微分方程所描述的Gomez-Atangana-Caputo导数;在[14],作者重点描述两个微分部分运营商没有单一的内核;,在(15),作者分析流行病传播模型所描述的部分运营商与米塔格-莱弗勒内核。对近期作品应用于偏微分方程数值方法,参见[16- - - - - -19]。
建模混沌和超混沌系统是集中在文学integer-order导数和non-integer-order衍生品。我们回顾文献这一段。在[1),作者关注的混乱的蔡氏电路部分的版本。在[20.),作者讨论并证明了算法的李雅普诺夫指数分级的版本。在[21),作者讨论了分数阶混沌系统及其抑制分数阶导数的一些特定的顺序。在[22变色龙),作者讨论所谓的超混沌系统的帮助下分数阶导数,提出其电气实现。在[23),作者提出调查部分用于金融混沌系统;这项研究结果解释财务和经济。在[24)、财务和混沌系统也解释。在[25),作者研究了分数阶指数反射系统和电气实现。在[2),作者提出了一个新的混沌系统整数版本与多个吸引子。在[3),作者提出一种新的混沌系统自激吸引子。在[4),作者提出调查在动力系统的背景下隐藏的流动。在[26],作者提出了一种新的简单的混沌系统,但承认一条线平衡。在[27),作者提出使用四维超混沌同步调查反射系统。在[28),作者提出一种混沌系统与无限平衡位于一个分段线性曲线。在[12),作者使用分数导数模型的超混沌系统内核和分数导数米塔格-莱弗勒指数导数。在[8癌症),作者介绍混乱建模使用部分衍生品指数衰减和米塔格-莱弗勒法律。在[29日],Baskonus等人提出主动控制稳定一个分数阶的宏观经济模型,运用李雅普诺夫直接法。看到更多相关调查部分建模使用卡普托导数,混沌系统的分岔和李雅普诺夫分析(30.),建模一类分数阶混沌或超混沌系统,卡普托导数在31日),四维超混沌系统的分析描述Caputo-Liouville导数在32蔡),建模的电路部分上下文(33,混乱的流程建模与卡普托分数阶导数在34]。
在本文中,我们使用卡普托导数模型一个混沌系统。本文的主要贡献是这段中提到。首先,阶段肖像使用著名的预估方法得到有效分数微分方程的离散。第二,数值方案的预估方法是现在工作的主要贡献。第三,小的变化在我们的介绍部分分析了混沌模型的分岔图。卡普托衍生品被认为是不同的值;这些值,这将是重要的给混乱的天性。换句话说,我们将使用李雅普诺夫指数的分级上下文来决定我们是否有混乱的行为。这个分析是基本的,因为李雅普诺夫指数的经典理论是无效部分中的所有时间上下文。例如,存在超混沌系统所描述的部分运营商有一个正的李雅普诺夫指数而不是两个正的李雅普诺夫指数。 Fourth, we observed in our investigation that the presence of zero as the Lyapunov exponent is quasi-impossible in a fractional context. The proof of this assumption will be subject to further investigations in the future. Another contribution addressed in this paper is related to the local stability of the fractional chaotic system’s equilibrium points. Due to the chaotic behaviors, all the points are not stable. Alternatively, we propose feedback control to stabilize the fractional error system after combining the slave chaotic system and the master’s chaotic systems. Another contribution of the present paper is that we provide the coexisting attractors for specific values of the model’s parameters at two different initial conditions.
本文的其余部分组织如下。节2,我们回忆起的部分工具中使用的调查。在第三节介绍部分混沌模型通过使用卡普托的导数。第四节提出了预测校正方法在文献中部分混沌模型离散化。在第五节相图,考虑不同的分数阶导数值提出了分级模型。在第六节的分岔图的小变化模型的参数。在第七节的性质混乱为特征的上下文中使用李雅普诺夫指数的计算分数微积分。在8节,我们分析初始条件的影响在混乱的行为。在9节的稳定性分析,提出了部分混沌模型的平衡点,并给出了反馈控制。在第十节为我们的作品,最后的言论。
2。部分运营商
在本节中,我们做一个简短的回忆我们将使用的部分运营商通过我们的调查。在本节中,我们将定义卡普托导数和Riemann-Liouville导数。
定义1(见[5,6])。我们定义Riemann-Liouville分段函数的积分 所描述的 与代表伽马欧拉函数,我们设置的顺序 。
定义2(见[5,6])。我们定义Riemann-Liouville分数导数订单 函数的 所描述的 与代表伽马欧拉函数,我们设置的顺序 。
由于Riemann-Liouville操作符的不便,我们将关注我们的论文与卡普托的导数。这个导数的描述给出以下定义。
定义3(见[5,6])。卡普托分数导数算子的秩序 象征是以下表格,当我们考虑一个函数 所描述的 的函数代表了伽马欧拉函数。
对读者的兴趣,拉普拉斯变换也基本解决分数微分方程分析。以下关系表示的拉普拉斯变换卡普托导数:
我们设置的顺序与的关系 。卡普托导数的性质与组成部分积分,一个常数函数的导数,或者米塔格-莱弗勒函数的导数可以找到更多的信息在5,6]。摘要部分Riemann-Liouville意义上的积分离散化中扮演着重要的角色,因为该方法来自这个导数的数值方案;离散化的细节将在下一节中找到。
3所示。分数阶系统的建模
在本节中,我们介绍一下我们的模型,我们将在下一节中进行研究。一个整数版本的这个模型是一个混沌系统,自2018年以来一直接受调查(2由以下方程[]和描述2]: 与初始条件 , ,和 。奇怪吸引子是用以下值的参数之前的模型 , , , ,和 。我们的新发展是研究混沌系统相同,但我们认为其部分版本描述特别是在卡普托的导数。因此,在这篇文章中,我们考虑一下分数微分系统描述如下:
我们施加初始条件为以下形式:
在上面的建模、卡普托导数是用来代替经典Riemann-Liouville导数因为我们想使用物理初始条件。Riemann-Liouville导数没有物理初始条件。此外,Riemann-Liouville恒定值的导数不为零。这些不便也解释了在这一节中使用卡普托的导数。因为它会注意到在肖像的阶段,存在许多类型的混乱根据分数算子的秩序。证明了分数阶混沌系统中发挥着重要作用,值得注意的是,它允许有新的东西,相反与integer-order导数模型,得到一种新型的混沌系统模型的变化的参数。
4所示。预估分数阶系统上的应用
本节描述我们将使用的数值方法获得分数阶混沌系统的相肖像(5)- (7)。离散的古典文学;我们尝试运用离散化模型。在分数微积分,许多数值方案和分析方法可以作为同伦方法,一个域分解方法,切比雪夫方法,和许多其他人。但许多不便的引用方法仍需要解决由于不便的稳定和近似解的收敛性。预估方法的使用在我们的系统中有优势的Matlab代码,基本在混沌和超混沌系统。在本节的其余部分,我们使用预估方法Garrappa报道在他的评论文章35]。以下可以描述的解决分数微分系统(5)- (7):
我们从分数阶系统(设置以下功能5)- (7): 还有点 ;然后,根据数值方案命名为预估方法,方程(9)- (11)可以改写下列形式:
此外,在我们的分数系统预测具有以下形式:
在上面的公式中,表示步长,离散化的参数定义在以下形式: 当指数n描述的条件 ,我们的参数设置为以下表达式:
函数的逼近一步一步在我们的模型是由描述的表达形式
之前结束本节中,我们给出一个简短回顾有关方法的稳定性和收敛性;更多的信息可以在Garrappa的论文。我们组 ,和是卡普托下的分级系统的近似解导数(5)- (7),我们的模型用的精确解 ,和 ;然后给出描述的残余功能在以下形式:
不难发现,当步长收敛于零,得到近似解的收敛性的解决方案。预估方法的稳定性可以得到李普希兹条件的漂移函数 , ,和我们的模型。
本节中描述的离散化方法有许多优点。首先,该方法稳定、收敛;Matlab的实现是有用的和简单的。注意,收敛性和数值方法的稳定性是至关重要的;与同伦分析方法比较,我们的方法,我们可以确认,我们的方法更有用,因为我们不能确定精确的同伦方法,进行了多少次迭代后,我们有方法的收敛性和稳定性。在这一节中描述的数值离散化也比拉普拉斯变换方法更有用。在许多非线性微分方程,拉普拉斯变换不能应用由于复杂方程的形式,与我们所描述的方法在这一节中是适用的。在扩散方程的解决,使用格林函数不是微不足道的,这里也可以使用数值方法。
5。相图与分数阶导数
本节致力于通过不同阶段观察画像卡普托导数的影响的动态分级系统(5)- (7)。本节将说明预估过程。到达我们的结束,我们采取不同的分数阶导数值。我们认为以下值的分数阶导数 , , , ,和 。混乱的演变将观察到的这些不同的订单。我们开始阶段的代表性的分数阶系统订单 。图形表示在不同的飞机被分配图1:和飞机。在这些第一个图形表示,考虑订单 。
(一)
(b)
图形表示在不同的飞机被分配图2:和飞机。
(一)
(b)
我们继续这一节与秩序 。我们会看到不同的现有的衍生品部分的顺序不同。图形表示在不同的飞机被分配图3:和飞机。
(一)
(b)
图形表示在不同的飞机被分配图4:和飞机。
(一)
(b)
第一个不同相位图可以观察到,我们确认新的吸引子的存在。因此,分数阶可以玩一个有趣的角色行为的解决方案。图形表示在不同的飞机被分配图5:和飞机的订单 。
(一)
(b)
图形表示在不同的飞机被分配图6:和飞机。
(一)
(b)
我们完成相位图部分通过观察背后的行为发生 ;在接下来的数据,我们处理订单 。我们注意到在图7和8显著差异的前一阶段的画像,我们的话是混沌动力学行为并没有被移除。图形表示在不同的飞机被分配图7:和飞机。
(一)
(b)
(一)
(b)
图形表示在不同的飞机被分配图8:和飞机。
本节中的数据说明卡普托的顺序导数的影响;这种影响可以看到流动的几何图形中不同的情况下被认为在这一节中。相位画像代表在本节将分类使用分叉地图和李雅普诺夫指数。我们会注意到混乱使用李雅普诺夫指数的新特征。会说,混乱的性质取决于卡普托导数的秩序。换句话说,卡普托导数生成新类型的新秩序的混乱。
6。分岔图
在本节中,我们分析了突然定性变化的性质解决方案由于分数阶系统的参数方程的变化(5)- (7)。在本节中,我们也说明我们的模型的定性变化的解决方案阶段的画像。
在第一节中,我们假设第一个参数一个我们的小间隔精确分级模型不同 。在图9根据参数的变化分岔图是代表。
图9告诉我们注意到高混乱行为间隔 。也就是说,混乱的行为秩序维护时不删除 和参数变化小。更多细节,我们描述阶段肖像10模型的参数 。图形表示在不同的飞机被分配图10:和飞机。
(一)
(b)
图形表示在不同的飞机被分配图11:和飞机。
(一)
(b)
我们继续的变化参数区间(9.10)。在图12,我们代表分岔图根据参数的变化 。
图12通知存在混乱的行为在这个区间参数时(9.10)有小的变化。为了说明混乱的行为由于微小的变化 ,我们代表图形化阶段肖像13日 。图形表示在不同的飞机被分配图13:和飞机。
(一)
(b)
图形表示在不同的飞机被分配图14:和飞机。
(一)
(b)
参数的变化现在是考虑。我们假设参数变化区间 。在图15,分岔图由于参数的变化是代表。
同样的结论,混沌行为中被认为是间隔和插图在肖像16以下阶段,设置 。图形表示在不同的飞机被分配图16:和飞机。
(一)
(b)
图形表示在不同的飞机被分配图17:和飞机。
(一)
(b)
分岔图18由于参数的变化 的时间间隔表示在图18和我们确认变化阶段的画像。
阶段肖像19代表来说明行为的变化的动力学模型参数时(4.5)。图形表示在不同的飞机被分配图19:和飞机。
(一)
(b)
图形表示在不同的飞机被分配图20.:和飞机。
(一)
(b)
最后观察使用分岔图9、12、15、18是我们系统混沌行为。但所产生的变化的参数 , , ,和大约是相同的。这一结论可观测到的相图呈现在这一节中,一般没有很多差异。
7所示。通过李雅普诺夫指数混沌检测
混沌检测,我们尽量在这一节中描述的性质混乱,分数导数的顺序不同。我们计算李雅普诺夫指数的订单 , , , ,和 。在第二部分中,我们将本地化的间隔混沌或超混沌吸引子。我们也计算李雅普诺夫指数的维数。根据李雅普诺夫指数的值在订单之前,我们将计算李雅普诺夫指数的总和来验证我们的分级模型是否耗散。李雅普诺夫指数的计算之前,我们回忆起雅可比矩阵算法获取所必需的李雅普诺夫指数;我们有如下矩阵:
在表1分数阶系统的李雅普诺夫指数(5)- (7)被分配根据分数阶导数的参数的变化。
第一个评论是在分叉部分李雅普诺夫指数确认结果;也就是说,我们的分级模型的混沌行为。这是因为存在一个正的李雅普诺夫指数。李雅普诺夫指数的理论非常复杂的环境中使用部分运营商因为零李雅普诺夫指数的价值似乎很难获得使用李雅普诺夫指数的算法。这个结果是正确的,由于部分运营商的数值方案的复杂性。第二句话是,所有被认为是分数阶导数 ,李雅普诺夫指数的总和是负的,这意味着分数阶混沌系统(5)- (7本文考虑耗散。我们继续通过考虑秩序的李雅普诺夫指数分析 。给出了李雅普诺夫指数如下:
给出相关Kaplan-Yorke尺寸如下:
第二个病例是李雅普诺夫指数的秩序 由以下数据:
给出相关Kaplan-Yorke尺寸如下:
第三个病例是李雅普诺夫指数的秩序 由以下数据:
给出相关Kaplan-Yorke尺寸如下:
最后一个案例是李雅普诺夫指数的秩序 由以下数据:
给出相关Kaplan-Yorke尺寸如下:
我们可以注意到混沌吸引子是更重要的在订单 因为正的李雅普诺夫指数和李雅普诺夫尺寸很大。在比较混乱的行为 和 ,我们注意观察阶段的肖像,混乱的行为秩序收敛时更为重要 。这种行为是解释这一事实正的李雅普诺夫指数更大的订单 。同样的比较可以的订货 ,在混乱的行为秩序比这些更重要吗 。可以观察到这些差异与李雅普诺夫指数的值和李雅普诺夫的维度,这是更大的 。
8。初始条件影响和吸引子共存
在本节中,我们分析初始条件的影响。换句话说,初始条件给我们部分的动力学系统的本质进行分析。研究初始条件的变化是很重要的,因为混沌和超混沌系统对初始条件的变化非常敏感。我们考虑很多情况下初始条件;首先,我们的影响力从 来 。这种情况下表示在图的插图21。
在图21,初始条件在蓝色和初始条件吗 是红色的颜色。我们注意到重大的改变可以生成相关的初始条件的变化 。我们继续通过影响从 来 。这种情况下表示在图的插图22。
在图22,初始条件在蓝色和初始条件吗 是红色的颜色。我们注意到重大的改变可以生成相关的初始条件的变化 。我们完成在最后生成的影响变量从 来 。这种情况下表示在图的插图23。
在图23,初始条件在蓝色和初始条件吗是红色的颜色。我们注意到重大的改变可以生成相关的初始条件的变化 。
总的结论是,初始条件生成许多流动的变化。因此,由于李雅普诺夫指数对初始条件敏感,李雅普诺夫指数的值会有所不同根据初始条件的变化。
考虑到初始条件的影响,我们通过分析这一部分吸引子共存。例如,我们有两对吸引子的存在,当参数 , , , ,和 在订单 和两个给定的初始条件(蓝色)和 (红色)。吸引子共存的数据图表示24和25。图形表示在不同的飞机被分配图24:和飞机。
(一)
(b)
(一)
(b)
图形表示在不同的飞机被分配图25:和飞机。
部分运营商的顺序中发挥着重要作用对吸引子的存在。观察这种影响,我们保持参数 , , , ,和 和更改的命令 ;参见图26和27。图形表示在不同的飞机被分配图26:和飞机。
(一)
(b)
(一)
(b)
图形表示在不同的飞机被分配图27:和飞机。
9。稳定性分析和反馈控制
我们的调查在这最后一节中,我们专注于局部稳定性的平衡分部分混沌模型(5)- (7)。平衡的给出我们的分级模型 , ,和 。在第一点 ,雅可比矩阵在前一节中给出了如下:
给出了特征值如下: , ,和 。第二个和最后一个特征值有负实部,从而满足chirac)标准(36),但 。因此,平衡点是不稳定的。在第二个平衡点 ,雅可比矩阵在前一节中给出了如下:
给出了特征值如下: , ,和 。过去的特征值负实部,从而满足chirac)标准,但第一个和第二个特征值不满足chirac)标准 。因此,平衡点不稳定时 。在最后一个平衡点 ,雅可比矩阵在前一节中给出了如下:
我们获得相同的特征值作为在前面的点。给出了特征值如下: , ,和 。最后一个特征值有负实部和满足chirac)标准,但第一个和第二个特征值不满足chirac)标准 。因此,平衡点不稳定时 。
在最后一部分中,我们提出一个反馈控制来稳定我们的混沌系统,因为我们观察,所有平衡点不稳定当分数阶导数超过 。让奴隶部分混沌系统被定义为以下方程: 和主系统是由以下方程: 在哪里表示外源输入,它吸引了我们的注意力。让我们定义错误条款由以下方程:
然后,考虑到从系统和主系统,我们得到以下分数微分误差系统。然后,考虑到从系统和主系统,我们得到以下分数微分误差系统:
在这里,稳定部分误差方程,我们选择反馈控制定义的
让李雅普诺夫函数被定义为 。从函数的导数沿着轨迹方程的部分错误(38)- (40我们得到以下关系:
利用李雅普诺夫特征的全局渐近稳定性,得到平凡平衡点的全局渐近稳定的分级系统(38)- (40),这反过来又意味着
10。最后的评论
本文研究一类分数阶系统的基本性质的混沌行为,李雅普诺夫指数描述混沌或超混沌行为,李雅普诺夫维度,和平衡的稳定点模型的上下文中chirac)的标准。我们发现我们承认系统混沌行为与分数阶导数间隔 部分可观测到的数据5。部分混沌系统的平衡分不稳定是由于混乱的行为,但我们发现反馈控制稳定模型的误差项。的不同数据模型的动力学代表本文建议的数值离散化是可能的援助,包括Riemann-Liouville导数离散化。数值方法是特别称为预估方法应用在我们的系统,因为它已经在文献中报道。介绍了模型的参数的影响是通过分岔分析的概念。总结了本文的主要结论如下:我们发现一个地区的分数阶系统展品混乱的行为;的分岔图第六节和李雅普诺夫指数通知我们,分数阶微分动力学产生重大影响,因为新的引资时生成的顺序分数导数变化;本文中的所有分析的有效性可能借助数值方案。该报还告诉我们,目前混沌系统吸引子共存承认当初始条件变化和特定的参数;看到这些数据8节。该报还有助于提出适应控制全局渐近稳定。为未来的研究方向,李雅普诺夫指数、分岔图、稳定性分析、同步,本文中使用的电气实现模型可以关注至于卡普托导数与不同的值的部分订单。部分混沌系统与非奇异的衍生品在未来也可以关注。本文地址数值方案;在未来这将是有趣的研究得出相关的电路目前混沌模型和分析获得的模拟示波器。电路的原理图可以用integer-order版本和分数阶版本我们目前的系统。庞加莱映射的混沌系统在部分版本也是新研究论文的观点。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。