文摘
在这个报告中,经典的变分形式Lax-Milgram定理用于透露的一阶变分结构noninstantaneous脉冲线性演化方程。弱解的存在性和唯一性问题。在未来,这种建设性的理论可用于相应的半线性问题。
1。介绍
演化方程解释发展对时间的微分法。一个巨大的理论,在这方面,开发了(1- - - - - -9]。在[10],Hernandaz,奥雷根noninstantaneous冲动的理论方程,显示相应的温和解的存在性。最近,在11],JinRong王获得充足的条件来保证渐近稳定的线性和半线性noninstantaneous冲动的演化方程。在[12),唐宋尼托使用变分法显示脉冲演化方程的解的存在。然而,这种方法,我们所知,还没有用于显示解决方案的存在(独特性)noninstantaneous冲动进化方程。
在这篇文章中,我们打算获得以下相关的变分结构一阶noninstantaneous脉冲线性发展方程: 在哪里 是强连续半群的无穷小发电机线性算子的吗巴拿赫空间上赋予一个规范,冲动跳运营商 ,和序列和满足的关系 并设置 。此外,表示身份操作符。
2。预赛
让 是一个开集,让 。索伯列夫空间所有功能的空间吗 分布一阶衍生品属于谁的 ;也就是说,存在一个函数 这样 对所有 。这个函数被称为弱或分配的导数吗 。的空间是巴拿赫空间对以下规范:
的空间被定义为关闭的空间在(关于拓扑 )。准确地说,这个空间
是一个特例 。然后,它经常被写成这是一个希尔伯特空间的内积: 相应的标准在哪里
首先,让我们回顾一下, 我们有, , 在哪里 。
定义1。让和是巴拿赫空间。
非简并对第二个变量,如果每个
,存在
这样
。
在[13],Drivaliaris Yannakakis证明下面的变体形式的广义Lax-Milgram定理(14]。
定理1。假设和巴拿赫空间,是反射性的,
是一个有界的,非简并(w.r。第二个变量),和双线性函数。存在一个
这样,对于每个
,
。
然后,对于每一个有界的线性泛函在
,存在一个唯一
与
对所有
。
3所示。主要结果
利用脉冲微分方程的变分方法的技术(15,16),我们有下面的结果。
引理1。 强连续半群的无穷小发电机线性算子巴拿赫空间上赋予一个常态。为每一个 ,问题(1)下面的等价形式:
证明。 或 使用条件(1), 同时,相反, 因此, 比较(14)和(16)的收益率 以来, , ,在哪里是无穷小的发电机吗 - - - - - -半群 ,因此, ,为 。详情,我们参考3,17]。因此,(17)成为 或
引理2。一个双线性形式 在 ,存在一个 这样,对于每个 , 。
证明。因为有界双线性形式
在希尔伯特空间的形式
,为一个独特的有界算子在
,在这种情况下,如果我们选择
,我们有
通过使用(8),结果如下所示。
定义
:
注意,一个函数
问题的弱解(1)当且仅当
它可以很容易地指出
是一个反射性的巴拿赫空间,
是一个非简并双线性形式,是线性的。此外,通过使用(9),
因此,通过使用定理1,我们有以下。
定理2。Noninstantaneous脉冲演化方程(1)有一个独特的弱解 如果一致连续半群的发电机吗 。
定理3。Noninstantaneous脉冲演化方程(1)有一个独特的弱解 如果生成一个指数稳定 - - - - - -半群 。
4所示。主要结果的例子
现在,我们现在属于上述主要结果的一个例子。
让 。现在,我们让运营商是二阶偏导数算子,即 ,为 。然后,是强连续半群的无穷小发电机线性算子的吗和是有界的 ,对所有 。现在,我们看看下面的周期问题:
让我们表示 ,在哪里 ,跳转操作符,如果 是标识符,那么 。然后,问题(24)可以写成
这个问题的变分形式
因为上面的右边是有界的一个的发电机是均匀连续的半群,因此,通过(8),它有一个独特的弱解 。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。