文摘
重心的合理搭配方法介绍解决Forchheimer法建模不可压缩流体在多孔介质。未知的速度和压力由重心有理函数近似。该方法的主要优点是精度高和效率。同时,该算法和程序可以扩展到其他的问题。可以保证数值稳定。的矩阵形式搭配方法得到的离散数值方案。数值分析和错误估计建立了速度和压力。数值实验进行验证收敛率和效率。
1。介绍
达西流在多孔介质是极大的兴趣在许多科学与工程领域采油和地下水污染等污染。达西定律, 主要描述了达西速度之间的线性关系和衍生品的压力 。在这里,符号 , , ,和代表了粘度系数、渗透率、流体的密度,和引力项,分别。这个模型被广泛使用,适合低速度,小孔隙度,渗透率液体(1- - - - - -4]。
如果孔隙度不均匀,速度较高,二阶项是需要补充道,非达西的关系已经被Forchheimer研究[1]。例如,高速Forchheimer单相流的不可压缩流体在多孔介质提出了如下:
注意,当Forchheimer号码 ,非线性模型(2)退化线性达西定律(1)。
模型(2)也被称为Darcy-Forchheimer法律5- - - - - -10]。在[6),引入了一个block-centered有限差分方法来解决Darcy-Forchheimer法律。离散数值方案和误差估计。混合有限元方法(MFEM)方程(2)是研究[7,8]。使用这种方法,可以同时近似速度和压力。Two-grid和多栅的block-centered有限差分法(FDM) Darcy-Forchheimer流在多孔介质研究[10,11),分别。这种方法可以提高处理非线性问题的效率。重心公式是通过拉格朗日插值公式12- - - - - -16),已被用于解决沃尔泰拉方程和沃尔泰拉积分微分方程(12,17,18]。浮动利率债券,德国霍曼(19)提出了一个合理的插值方案具有较高的精度在等距和特殊的分布式节点。王等人。20.- - - - - -22)成功地应用质心合理搭配方法解决初值问题(BRCM),边值问题,平面弹性问题,一些非线性问题。这些研究扩展重心合理搭配方法的应用领域。在最近的报纸,李et al。23- - - - - -27)使用重心合理搭配方法求解热传导方程,双调和问题,二阶沃尔泰拉积分微分方程。
本文重心合理搭配方法介绍了求解不可压缩Forchheimer流。我们证明重心高度准确合理的搭配方法对速度和压力。错误的估计速度和压力。数值实验(28- - - - - -32)进行展示的收敛率。本文组织如下。节2、符号和质心公式。节3,对法律Forchheimer重心合理搭配方法的收敛性分析和错误的估计速度和压力。节4,数值例子来验证收敛率和效率。在这篇文章中,代表一个正的常数无关 。
2。符号和重心的合理算法
分区的间隔 如下:
定义
函数的 ,插值函数( )给药
象征表示 - - - - - -等阶插值多项式 为 , 在哪里 和是一个混合函数
分子项(5),我们推断出
在这里, 和 。
请注意, 和分母项(5),
通过进一步推导,得到
在这里,被描述为(9)。的基函数重心有理插值
然后,我们得到的导数公式节点作为
可以作为它的矩阵公式 在哪里
基函数的导数公式在节点是
3所示。收敛速度和误差估计
定义之间的误差和重心有理插值函数作为
根据合理的插值误差理论,我们知道
定义e的误差准则(x),
下面的引理证明(12]。
现在,我们应对重心合理搭配方案Forchheimer方程如下:
第二个方程(26),近似公式
采取 在(27),数值方案
第一个方程(26),近似公式如下:
然后,计算方案
注意,在实际计算中,第一步,我们近似第二个方程(26),然后第一个方程(26)。
让表示的数值解 ,然后我们有
基于上述国家,下一个达西定理给出了误差分析的速度。
定理1。让 和 。如果 ,然后我们有
证明。第二个方程(26),使用微分矩阵的符号,离散形式的搭配方法 在哪里
此外,我们有
这个定理的证明。
让表示的数值解 ,然后我们有
下面的定理给出了误差分析的压力 。
定理2。让 和 。如果 和 ,然后我们有
证明。第一个方程(26),离散数值方案 在哪里
此外,我们看到
作为 ,请注意,和都是正的常数,我们有什么
同样的,对 ,根据非线性项的单调性,我们知道
备注1。在上面的定理的证明2,系数 ,和应该是正的常数。如果他们是取决于变量的函数和有界,证明是相似的。
4所示。数值实验
在本节中,我们使用重心合理搭配方法进行数值实验来解决Forchheimer方程。
例1。考虑以下不可压缩Forchheimer模型 : 分析解决方案是选择 重力项确定的第一个方程(43)。绝对误差和相对误差定义为 数值结果列在表中1- - - - - -4。相应的近似分析解和数值解之间的数据中可以看到数据1和2。我们测试的重心理性统一的节点的直接方法。表3和4表明,收敛的速度和压力与 。理论的收敛速度反映。
例2。考虑以下不可压缩Forchheimer流: 将分析解决方案 重力项根据分析确定解决方案。数值结果列在表中5和6。相应的近似结果之间的分析解和数值解中可以看到数据3和4。我们测试的重心理性统一的节点的直接方法。表5和6表明,融合率与 。
备注2。数值实验使用重心合理搭配方法(BRCM) Forchhimer方程显示收敛率与理论分析的一致性。这个BRCM的主要优点是精度高和效率。算法和程序可以扩展到类似的初值问题和边值问题。它可以有效地避免其他插值的振荡搭配方法。保证数值稳定。我们证明提出的数值方案准确的对达西速度和压力。在实际仿真,如果参数进一步增加,我们可以得到更准确的结果。在未来,我们将研究高维Forchheimer法律和可压缩流体Forchheimer问题。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
第一作者的工作是由山东建筑大学(没有的基础。H21010Z)、山东省软科学研究项目(没有。2020 rkb01671),中国山东省自然科学基金(没有。ZR2020ZD25)。第二作者的工作得到了河北省自然科学基金(没有。A2019209533)。