文摘
多项式佩尔方程 ,在哪里是一个二次多项式与整数系数和解决方案 必须与整数二次多项式系数。让 是一个多项式 。在本文中,一些二次多项式方程给出解决方案 从计算的观点是重要的。
1。介绍
让是一个二次多项式与整数系数。我们认为多项式佩尔方程 在哪里 与整数二次多项式系数。许多卓有成效的研究已经在这个方向上进行。
1976年,内桑森[1]证明当 ,方程(1)有一个非平凡解当且仅当 。
2001年,Mollin et al。2)描述了连分式扩张的研究背景在哪里是一个多项式,尤其是二次,我们研究。
2。符号和预赛
让是一个给定的square-free自然数。众所周知,佩尔方程 总是有无限的整数解(见例如Nagell [3])。所有的解决方案(2)积极和得到的公式吗 在哪里 ,和 的基本解决方案(2)。
佩尔方程 并不总是有整数解。在这个方程可解的整数部分 ,如果 是其根本的解决方案,我们有关系吗 在哪里 的基本解决方案(2)。
对于一个给定的值 ,为了确定的基本解决方案(2)或(3)(当它的存在),一个可以使用的连分式扩张的方法 。倒数第二收敛的扩张提供了基本的解决方案。
从计算的观点来看,这将有利于组织的价值观分为几类,这样的价值观在一个特定的类与类似的模式相关联的连分式扩张。发现多项式表达式为此派上用场。
像往常一样 将表示简单的无限周期连分数吗
将表示聚合:
使用也将由以下: 这些是有效的 。
定义1。(见[4])。一个多项式 被称为如果存在多项式 这样 多项式的一个三 满足方程(8)构成佩尔方程。一个据说有一个吗如果存在一个整数和一个正整数这样 对于所有积分 ,在哪里 。对于一个固定的 ,两个多项式 据说是吗方程(9)如果 最小的解决方案是正整数方程(8对所有非负的值) 。
定义2。(见[5])。真实的 ,让象征表示最大的整数 。
定理1(见[5])。假设 ,在哪里是任何自然数。然后, 的基本解决方案(2), , 。
定理2(见[5])。如果 在哪里任何自然数,然后呢 的基本解决方案(3), , 。
定理3(见[6])。让 是一个方阵的整数;然后: 在哪里是一个正整数。
3所示。主要结果
让 是一个多项式 。在本节中,我们将证明我们的主要结果。作为开始,我们记录以下命题。
Proposition1。让 ,在哪里是任何自然数。如果 ,然后:(1) 方程的基本解吗 ,在哪里 。(2) 方程的基本解吗 ,在哪里 。
证明。让我们假设 。然后:(1)倒数第二是收敛的 因此,我们得到了上述关系,(10), (2)倒数第二是收敛的 因此,我们得到了上述关系,(10),
定理4。让 是任何自然数,是一个', 的基本解决方案(2);然后:(1)如果 ,然后 。(2)如果 ,然后 。(3)如果 ,然后 。(4)如果 ,然后 。(5)如果 ,然后 。
证明。(1) 所以 。现在,扩大为连分式扩张,我们获得 倒数第二是收敛的 因此,我们得到的关系 同样的,(2)- (4)和(7)都可以证明。
定理5。假设 ,在哪里 任何自然数。然后:(1) 的基本解决方案(2), 。(2)如果 ,然后 的基本解决方案(3), 。
证明。(1)扩大为连分式扩张,我们获得 倒数第二是收敛的 因此,我们得到的关系 (2) , 。现在,扩大为连分式扩张,我们获得 由命题1, ;然后, 的基本解决方案(3)。
定理6。假设 ,在哪里 任何自然数。然后:(1) 的基本解决方案(3), 。(2) 的基本解决方案(2), 。
例2。让 ;然后, 的基本解决方案(3), 的基本解决方案(2由定理),5。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
我们想感谢Ahmad Issa有益的讨论。