文摘
让 表示偶数的个数 ,与 ,这样不能写成 。我们证明,如果 ,然后 。
1。介绍
Waring-Goldbach问题是研究正整数的表示的质数。在本文中,我们应当关注立方Waring-Goldbach问题。这个主题可以追溯到华的工作(1]。他证明了几乎所有整数满足某些一致性条件可以写成多维数据集的质数, ,和上述一致条件
让表示正数的个数 不超过,不能表示为多维数据集的质数;华表明,对于任何一个 ,
中,我们假设是一个大型的自然数, 。在本文中,我们考虑的特殊偶数集在短时间间隔 ,不能表示为八个方块的质数之和。准确地说,让 表示自然数的集合 与 ,这样不能写成以下表达式: 在哪里都是质数。此外,我们组
本文的目的是获取 与尽可能小。赵(2)证明 ,这意味着 如果 。论文的主要结果如下。
定理1。让 和 被定义为。为 ,我们有
我们将证明定理1通过Hardy-Littlewood方法。治疗主要弧上的积分标准,我们将专注于治疗小弧上的积分。
在本文中,我们利用沃恩的方法(3)处理方程 (见引理3)。我们还利用赵的结果(210)th新形式的资金在立方体的质数限制小弧。
符号。在整个论文,代表一个足够小的正数,让 表示积极的常数。我们需要指出 , 和允许在不同发生变化。有或没有下标,代表一个质数。表示由因子的数量 ,和往常一样,我们写为 。
2。预赛
在我们证明定理1,我们推出以下定理。
定理2。让 节中被定义1。然后,我们有
让
写
让加权的解决方案 与 和 。通过正交性,
我们写
我们定义的一组主要的弧线工会的间隔 与 和 。然后,我们表示小弧的相应的设置 。因此,我们可以得到引理。
引理1。为 ,我们有
引理2。为 ,我们有
我们能找到的证据([2),9节)。
引理3。让解决方案的数量 与 , ,和 。我们有
定理2的证明。在回忆的一组 中定义的部分1并通过论证伍力(见[4]),我们有 让 在哪里 所以,一个 的帮助下引理1,我们可以得到 与应用程序的cauchy - schwarz不等式, 由引理2,我们有 通过考虑底层的丢番图方程和引理3,我们得到 从(20.)(23),我们有 因此,我们得出这样的结论: 这就完成了定理2的证明。
3所示。证明引理3
我们写的解决方案(14), ,,让表示数量的解决方案(14), 。它很容易找到
引理4。我们表示丢番图方程的解的个数 与 和 。然后,我们有
引理的证明1可以从一个论点的胡利(5)(见引理的证明1Parsell [6素描的必要调整胡利的观点)。
计算 ,通过对称,我们可以假设 。写 。然后,(14)成为
自 , ,和 ,由此可见, 。让
然后, 在哪里定义在(18),
让 表示时间间隔 和 。我们可以假设 。然后, 与 , 包含在 。让表示的结合 与 , ,,让 。然后,我们有
由引理沃恩(相同的方法3),我们可以得到下面的引理。
引理5。假设 和 ,然后
此外,我们可以得到下面的引理。
引理6。让是表示如上所述。然后,我们有 证明也可以发现在沃恩(3]。
引理3的证明。当 ,数量它满足的解决方案 任何一个可能的选择和与 ,它遵循从引理4允许选择的数量是 ,因此这类解决方案带来的贡献 。当 ,另一方面,这些变量满足的方程 ;解决方案的数量 。因此,我们得出这样的结论:这种类型的解决方案的数量 。所以,我们可以得到 然后,我们有 我们考虑 。狄利克雷的丢番图逼近定理,给出 ,我们可以选择 , 与 和 。它很容易验证 。此外,由于 ,我们有 。因此,通过引理5,我们有 因此,我们有 当 ,由引理6,我们可以得到 由(40)和(41), 鉴于(38)和(42),我们完整的证明引理3。
4所示。引理1的证明
让 为 。我们写
我们定义的一组主要的弧线工会的间隔 与 和 。它很容易找到 。然后,我们表示小弧的相应的设置 。
引理7。假设整数满足 和 。然后,一个
证明可以在([3),引理3.1)。
我们定义乘法函数通过
我们有
因此,我们有以下结果。
引理8。让是一个常数。当 ,一个人 对于一些常数。
这是由于赵([2),引理1)。在我们处理小弧上的积分,我们应该给一个上界 。我们还引用以下估计证明了任7]。
引理9。假设这是一个真正的号码 与 。让 。然后,一个人可以拥有的 在哪里 和 和是一个常数。
引理1的证明。当
,我们有
此外,有
当
,当
,我们有
,通过引理7,我们有
同样的测量,当
和
,我们可以得到
当
,由引理9,我们有
因此,我们有
让
。我们有
自
,我们有
因此,通过引理8,我们获得
对于一些绝对不变
。
鉴于(52)和(57),我们完整的证明引理1。
数据可用性
除了引用,没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。