文摘
本研究的第三步是项目1 d热方程的零能控性。首先,我们显示边界和内部可控性的结果通过一种新方法使用一个线性的,连续的,和满射算子由热系统的解决方案。第二,我们提高零能控性的最短时间的一维热方程利用战略区域执行器的概念。所以,我们设法改善零的最小时间可控性1 d热方程。在这项研究中,最好的零能控性的最小成本估计为1 d热方程基于最小可控性时间在第二步计算。
1。介绍
的目标之一的控制偏微分方程理论的进化是有兴趣的动态系统。分布式系统的精确可控性近年来吸引了很多兴趣。由于先锋Fattorinni-Russel [1和狮子2,3]谁开发了嗡嗡声方法(希尔伯特独特性方法)。它本质上是基于属性的独特性齐次方程的一个特定的选择控制和希尔伯特空间的建设和连续线性应用程序的希尔伯特空间的对偶,事实上,一个同构,建立准确的内部或/和边界可控性。
双曲问题,这个方法给了重要成果(狮子[2,3],Niane [4),和不生产的5])。
虽然当控制有一个小的支持(Niane [4],Guesmia [6],宜人[7],Anguraj [8),而无结果的et al (9- - - - - -11]),这似乎是无效的,即使因为技术原因乘数方法不给结果。
至于抛物方程,有拉塞尔的结果(12先)。后,g . Lebeau和el Robbiana [13)和Fursikov et al。14)与不同的方法已被证明是非常技术和长时间使用Carleman的不平等,热方程的精确零能控性。
因此,谐波方法对这类方程也是无效的。
在这项研究中,我们解释结果的零成本的可控性的热方程可以用来降低成本控制。
事实上,最近,Khodja et al。15,16]和Lissy [17],特别是Tusnack-Tenebaum [18),表明有一个最小的时间的可控性低于零能控性是不可以实现的抛物型算子。从Khodja等的工作。16]和Lissy Gueye [17),最低成本的零能控性与罗素的零能控性的最低时间(12)计算。
事实上,出于Khodja[的作品15],Tucsnak [18],Lissy [17,18在热方程的零能控性和El洁的工作19,20.)可控性战略区域致动器的使用,我们的管理,在这个工作中,改进的最小时间一维热方程零能控性。
然而,限制和困难建立不等式的矫顽力抛物线运营商需要寻求其他内部控制方法。
因此,混合方法结合当下的方法和战略的概念概要文件被用来找到一个更好的最小时间的一维热方程的零能控性。
自然,一旦这个结果已经获得的最低时间零能控性,我们开始计算和估计找到这个最低最低控制成本与时间。这就是我们建立了一个最好的最低成本的零能控性热方程与额外的假设在策略配置文件的功能。
这些结果在这一领域开辟广阔前景。特别是在semianalytical系统中,固体的分段温度分布规律的形状受到均匀的表面热通量的影响使用直线法(摩尔)和特征值的方法。这个方法也用于数值分析不稳定热传导在常规固体包括自然对流对邻近的液体,以及时空的计算温度与冷却通过热辐射使用简单的身体数字线路的方法。
2。初步
2.1。符号和定义
让 ;实数序列的 ;现在让我们定义的设置,我们将交易续集和假设
定义1。缩合指数序列 被定义为 的函数被定义为
2.2。战略区域执行器的概念
一个函数 平方可积说战略如果验证 ,解决方案热方程:
让 的时间间隔 ;让一个被定义的算子
根据光谱理论,看到狮子3),承认Hilbertian基地的形式其相关的特征值在上行方向行,
命题1。有战略执行器支持包含在任何时间间隔 这样 。
证明。我们可以首先注意到战略当且仅当吗
。
让
这样
和摆姿势
。
然后,我们有
我们有
当且仅当
因此,对于这
,这就足够了
和
。
所以,如果我们把
和
,在哪里
,然后
是战略性的。
备注1。显然,其他战略执行机构可以构建没有很大的困难,看到洁的工作等。19,20.),无结果的,一11]。
2.3。提醒在零的最小时间一维热方程的能控性
让 在哪里 , ,和 。
我们知道系统(9)承认一个独特的解决方案 ,看到狮子的工作(3]。
验证 , ,和 ,我们有
让
我们知道从罗素的作品和Fatorrini [12],Lebeau和et Robbiano [13],Fursikov et al。14),存在一个最小时间控制的一维热方程。
所以,(1)系统(9)是零在任何时间可控 (2)系统(9在任何时候)不是零可控
例1。考虑下面的例子:示例1:如果
,与
,
在
;
。
在
;
是密集的
。示例2:如果这个概要文件定义为任何
在一个时间间隔
通过
然后是一个功能强大的快速衰减,通过设置
,的成本控制,在终端即时。让我们的姿势
同时,
我们通过简单的计算,显示
和
。
特别是,如果
,然后
与
但小,上面定义的常数。
在的情况下 ,为在 ,存在唯一的最优控制 把为0,看到Lissy等的工作。18]。
地图 ,在线性连续的。
定义2。这个操作符的规范被称为最优零控制成本T指定的 。
因此,通过定义2,是infinimum常量 这样在 开车来在时间T与
的行为是什么当 吗?
一个可以预期的成本形式
在不生产的工作等。11),我们成功找到一个更好的控制时间(指出 )相比,提出的Khodja et al。16), ,导致我们这项工作的主要结果。
3所示。主要结果的最小成本与最低的时间一维热方程的零能控性
3.1。基本引理
引理1。如果是一个战略执行机构 , 是一种控制和 是严格积极和真实;对所有 ,存在 和 这样,如果的解决方案 然后 。
为证据,看到塞等人的工作在11]。
考虑热方程与内部战略区域形象和内部控制定义为
让 是一个线性控制算子;然后,前面的方程(19)成为
在本研究的续集,最短时间用零能控性 。
回想一下,计算中定义的工作无结果的et al。11)如下:
从系统的零能控性的最小时间(19),然后我们获得 与 ,在哪里 和 。
定理1(主要定理)。让 是一个递增函数验证设计 作为 和 一个战略概要文件); ;存在 : 在哪里的infinimum常量 这样在 ,有一个控制开车来在时间 。
备注2。这个定理意味着控制的成本可以增加任意速度
。
这可以用这一事实来解释,与通常的情况下,成本控制不仅取决于的行为在无穷远处,还如何不同于其限制优越
。
证明。
将是一个积极的常数无关
。
让我们解决
,我们考虑
,,让
后来被选中。
我们定义
如下:
。
一个容易验证存在一些积极的常数C这样
我们认为最优控制关联到这个初始条件,验证通过定义和评估控制:
时刻的方法,我们获得
:
申请
,我们有
现在,
我们知道
同时,
应用cauchy - schwarz不等式,我们推断出
所以,我们有
现在,让我们考虑任何积极的和递增函数
这样
当
。
这样必然是双射函数,我们电话它的逆矩阵。
让我们考虑定义为
这样我们的作品有缩合指数(见Khodja [16]和Tusnack [19])所定义的
很明显,(见无结果的工作(11])
也就是说,
在哪里
的函数被定义为
自
。
然后,我们必须感谢Khodja的作品(15和不生产的10,11]:
让我们解释如何选择
,我们假设是足够接近
。
现在,我们选择以这样一种方式
这始终是可能的(至少对吗足够接近
),自增加,去吗在
。
的确,
因此,
选择一个那么容易获得期望的结果以这样一种方式
因为很明显,如果是正的,增加,收敛于在
,然后定义良好的至少足够大吗这对我们的目的是充分的。
备注3。假设的功能可以绕过矫顽力的抛物线运营商,此外,很难建立这样的运营商
4所示。结论和观点
分布式系统的控制理论经历了近年来迅速崛起,特别是与狮子的团队和Coron [22),最近,Ammar Khodja Tucsnak, Guesmia。特别是,热方程的能控性建立了自90年代中期Lebeau-Robbiano和Fursikov-Imanuvilov。在所有这些作品和其他最近Tucsnack-Tenenbaum和Khodja et al .,总有一段时间下面的控制可实现的( ,可控性是不可行)。我们的目的是找到一个更好的最小时间实施这种控制(知道我们不能控制热方程)。事实上,如果 ,然后成本比(这是我们的主要结果)。
另一个这项工作的目的是为了解决最优控制问题。因此,适度的贡献是提高时间(小时间),因此减少了成本的控制来实现热方程在小间隔的支持。事实上,我们知道没有唯一性控制配置文件将系统的初始条件最终状态(战略概要文件的集合是一个封闭的仿射子空间:我们自然可以选择一个标准控制最小的是0这个凸)的投影。
这种方法不再有效时,间隔支持非常大或者如果有一个系统中的非线性项。
我们计划,在不久的将来,这一结果推广到薛定谔方程,传输类型方程,线性抛物系统色散。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。