文摘

让有一个图表边缘。反魔场标签的产品是一套双射的优势集 这样vertex-products成对截然不同,一个顶点的vertex-product是这起事件的边缘上的标签的产品吗 。反魔场图被称为产品如果它承认反魔场产品标签。在本文中,我们将表明,毛毛虫至少有三条边被一个产品反魔场算法。

1。介绍

让 两个整数。我们使用 来表示一组 并简单地写 作为 。所有图表认为本文是简单的和有限的。让有一个图表边缘。的顶点集和边集是用和 ,分别。两个顶点集 ,边的一端的集合另一端用 。反魔场标签的是一个双射从来这样两个截然不同的顶点和在 ,标签在边缘事件的总和不同于 。图是反魔场如果承认一个反魔场标签。反魔场标签的概念,提出了由Hartsfield和Ringel 1990年(1]。在同一篇论文中,他们猜想以外的每一个连通图反魔场。这个话题被许多研究人员调查;例如,[2- - - - - -6]。最近,Lozano et al。7]证明了毛毛虫反魔场,毛毛虫是一个树等至少三个顶点删除它的叶子产生一个路径。

2000年,Figueroa-Centeno et al。8]介绍了乘法反魔场标签的变化。反魔场产品标签的图与边缘是一个双射从来这样vertex-products成对截然不同,vertex-product的一个顶点是这起事件的边缘上的标签的产品吗 。一个图表反魔场反魔场叫做产品如果有产品标签的 。在[8),作者证明了路径至少有四个顶点和2-regular图产品反魔场。此外,他们提出了以下猜想。

猜想1。一个连通图至少有三条边是产品反魔场。

卡普兰et al。9]证明以下图产品反魔场:周期和路径的不相交的联盟,每个路径都有至少三条边;连接图,顶点,边缘的地方 ;图每个组件都有至少两条边和最低程度的至少是 ;和所有完成 - - - - - -深裂的图表除外和 。在[10),Pikhurko描述所有大型产品反魔场图。更准确地说,这是证明有一个整数这样一个图表 顶点是产品反魔场当且仅当它不属于下列四类:图至少有一个孤立的边缘;图至少有两个独立的顶点;工会vertex-disjoint的份 ;图形组成的一个孤立的顶点;和图表得到细分一些边缘的明星 。

在本文中,我们证明猜想1是肯定的毛毛虫至少有三条边。

定理1。每个卡特彼勒产品反魔场至少有三条边。

有一些反魔场标签的其他变化,如反魔场取向;参见[11- - - - - -14)对于一些树木的结果。更多类型的标号,指的是约瑟的调查(15]。本文的其余部分组织如下。在下一节中,我们证明定理1。节3我们写的标记过程定理1作为一个算法。

2。定理的证明1

让卡特彼勒。一片叶子的是一个顶点的度 ,的脊柱是最长的路径 ,和一条腿是一个边缘,不属于脊柱的 。

证明。的定理1。让毛毛虫,边缘。因为它证明了路径与反魔场至少有三条边的产品,我们可以假设不是一个路径。让 的脊柱 。让 是一组顶点的学位至少三个 ,在哪里 。定义 事实上,一个顶点一片叶子事件和一条腿在吗 。请注意, 。让是一个最大匹配 。因此,匹配的尺寸吗这一点所有的顶点 。我们定义一个产品的反魔场标签在以下的三个步骤,见图1为例。

步骤1。标签的边缘 。如果很奇怪,从边缘开始 ,我们标签的边缘连续用 ,分别。
如果甚至,从边缘开始 ,我们标签的边缘连续用 ,分别。
当前标签用 ,和vertex-product顶点在用 。可以看出 在哪里 ,在这是奇数。
和 在哪里 ,在这是偶数。

权利要求1。任意两个不同的顶点, 和 。

证明。vertex-product的定义, 由方程(2)和(3),很容易验证 此外, , ,和 。所以,任何两个不同的顶点, 和 。

步骤2。在标签的边缘 如果它不是一个空集。
如果是奇数,标签的边缘 使用数字 一个接一个任意(我们保留数据 的边缘 )。
如果甚至,标签的边缘 使用数字 一个接一个任意(我们保留数据 的边缘 )。
表示当前的标签的部分vertex-product顶点 通过 。

步骤3。在标签的边缘 。

案例1。 。
假设 ,在哪里 。在标签的边缘事件和 与 ,分别在这个秩序。生成的标签用 ,和当前vertex-product顶点 用 。

要求2。 反魔场是一个产品标签的 。

证明。通过分配标签边缘 ,我们有 很容易看到是一个双射的来 。我们表明,反魔场是一个产品标签的在下面。让和度的顶点集的1和2,分别。然后, 。为每个顶点 ,我们知道 一步3。结合要求1和标签的步骤,因此,没有顶点接收其他顶点vertex-product一样 。而且,通过索赔1与方程(5),它可以证明任何顶点 和任何顶点 , 。
如果是奇数,那么 自 和 当且仅当 。由此可见, 。
如果是偶数,那么 自 和 当且仅当 。由此可见, 。
通过上面的讨论,反魔场是一个产品标签的 。

例2。 。
在这种情况下,一步2不存在。我们分配剩余的标签 的边缘事件和 分别一个接一个。生成的标签用 ,和vertex-product顶点 用 。

要求3。 反魔场是一个产品标签的 。

证明。由方程(5在索赔的证据1和标签 , 。标签的边缘 ,我们知道 和 。可以看出 和 。所以, 。由此可见,没有两个顶点得到相同的vertex-product和反魔场是一个产品标签的 。

3所示。一个算法

在本节中,我们将编写标签卡特彼勒作为算法的步骤1。最后一节的符号如下。

最后,我们表明,算法1运行的时间 。作业步骤1该算法可以在常数时间完成。因此,步骤的成本1是线性循环的结果行5和6,作业在第7行,也就是说, 。注意,如果每个顶点三度,一步2不运行。否则,一步2访问最多边缘和他们每个人分配一个随机的标签,但是标签可以选择越来越多的未使用的标签 ,从而使成本 。一步3需要时间由于部分vertex-products必须进行排序(第10行)。总成本的算法, 。自是一棵树,顶点数量 ,所以成本也可以表示为 。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

本文遵循从作品的想法在7,11]。因此,作者对他们心存感激。这项工作得到了国家自然科学基金委(号。11901263,61802158,12071194),国家自然科学基金委的甘肃省(20 jr5ra229)。