文摘

对于任何给定的图 ,我们说 是一套解决或解决了图吗如果每个顶点是唯一由向量的顶点的距离吗 。的度量维度是所有解决集的最小基数。度量维度的化学结构的研究是近年来增加,应用这种结构的拓扑结构。碳原子可以用不同的方法紧密联系在一起,称为碳的同素异形体,其中一个是水晶立方碳结构 。本文的目的是找到的度量维度 。

1。介绍

让是一个简单的连通图,让 是一个有序的顶点集的子集的 。的距离 的两个顶点之间的最短路径的长度是和 。一个顶点的表示的关于是 - - - - - -向量 它是表示 。一组被称为解决或解决如果不同的顶点的表现是截然不同的。也就是说,如果和是两个不同的顶点,然后呢 。图的度量维度是最小解决集的基数来标示 。可能有许多不同的解决子集不同的尺寸,最小的一个是重要的,它的研究已经研究多年。一些作者也使用术语的基础这是一套解决最低基数(参见[1])。这项工作是一个解决集研究化学结构图表。

一般度量空间的度量维度介绍了在1953年(2),但在那个时候,它没有引起多少注意。大约20年后,这是应用于一个图的顶点之间的距离(3- - - - - -5]。自那时以来,它一直在频繁使用图论、化学、生物学、机器人和许多其他学科。一些文学研究[6- - - - - -9]。

从许多参数图表,研究指标维度是其中一个,有很多应用程序,这些应用程序不同,如在药物化学10,11,机器人导航12),和组合优化13]。化合物或材料可以由许多图结构,但只有其中一个可以表达它的拓扑性质。化学家需要数学形式为一组化合物给不同的表示不同的化合物的结构。化合物的结构或材料可以用标记图的顶点和边标签指定原子和键型,分别。因此,图理论的解释这个问题是提供表示为图的顶点,这样不同的顶点有截然不同的表现。

在非常高的压力高于1000 GPa(吉帕斯卡)的一个形式的碳,即钻石,是转变成所谓的预测与8原子结构,体心立方结构的单位细胞。这个立方碳阶段可能在天体物理学中重要性。其结构在硅的亚稳态阶段之一,类似于立方烷。在2012年这个阶段的结构提出了碳方钠石(14]。2017年,贝格et al。15)这个结构进行修改和扩展,并命名为水晶立方碳 。我们所有的符号,因为他们都在(15]。水晶立方碳组成的多维数据集的结构。

水晶立方碳的分子图第二个层次是描绘在图1。从一个单位立方体结构开始,然后通过附加数据集在单位立方体的每个顶点的边缘。第三个层次,由附加立方体的每个顶点数据集的有3度或你可以说通过附加边缘的白色立方体的顶点 。每一层,一套新的立方体连接边的白色立方体的顶点之前的水平。的第三个层次显示在图2构建,提出了以最合适的方式来解释的结构吗 。

所有的新连接数据集,在每一个层面上,将最外层的立方体或外层的多维数据集,或者你可以说在每个层面上,与白色立方体顶点将被称为最外层。就像在 ,最外层的立方体由8块。因为有 顶点的度3,所以 ,多维数据集将包含的最外层 多维数据集。同样,这个过程重复下一个级别。顶点和边的基数下面,分别。

有一些文章,描述不同的拓扑性质结构,这些拓扑指数的著名Randic, ABC,萨格勒布指数和其他mba的指数计算的(15- - - - - -18]。的文章(19,20.),计算偏心和Szeged-type拓扑指数的计算 。本文的目的是计算的度量维度 。注意,如果 顶点的有序集是一个图吗 ,然后的组成部分是 。因此,为了显示是一套解决,它可以确认吗 对于每一对不同的顶点 。

2。主要结果

在本节中,我们将提出的主要结果 。但前进一步,我们讨论的非常简单的情况下这是一个立方体。我们声称 的确是真的,让我们看看。

假设 ,因为对称,我们可以把任何立方体的顶点解决设置如图3(一个)说, ,然后 ,这是一个矛盾。所以, 。假设 。然后,有两种可能解决的元素集的因为它的对称形状。可能的情况如下:(我)的两个元素主对角线上的顶点 。(2)的两个元素在相同的立方体的脸。在这种情况下,这两个元素的主对角线脸上或在同一边缘的脸。

不失一般性,我们可以假设 为例(我)。例(2)不失一般性,我们可以假设 和 ,分别。然后,数据3 (b)- - - - - -3 (d)表明, ;的要求对这些数据表示顶点的表征。因此,从图3 (e),它是证明 。

现在,我们将证明本文的主要结果。

定理1。水晶立方的度量维度碳结构是 ,对所有 ,也就是说, 。

证明。让 是水晶立方结构和碳 。表明了 首先,我们将显示 。让是一个多维数据集的最外层 ,如图4(注意,没有立方体连接到顶点 )。换句话说,所有这些顶点度3,他们只属于一个多维数据集 。观察到红色立方体的顶点和红边一个立方体连接吗前级的蓝色的顶点。另外,请注意, 和 和 。
让 是一套解决的 。我们宣称至少有两个顶点属于 。假设相反,没有顶点属于,让是一个表示的顶点 。请注意,所有的从任何顶点的最短路径任何顶点的包含顶点的 。所以,我们可以说,所有这类路径通过顶点(路径可能结束)。然后, 这是一个矛盾。现在,假设一个顶点的集合属于 。不失一般性,我们可以假定这个共同的顶点 。案例1。如果 ,然后 例2。如果 ,然后 类似的矛盾出现 和 ,让我们看看它。例3。如果 ,然后 例4。如果 ,然后 例5。如果 ,然后 例6。如果 ,然后 例7。如果 ,然后 案例8。如果 ,然后 在所有的情况下证明了我们的索赔要求的矛盾。因此,至少有两个顶点的顶点集在解决吗的 。自是任意的,所以呢至少包含两个顶点从每个立方体的多维数据集的最外层 。的建设 ,我们可以看到,在每一个步骤或在每一个层面,多维数据集增加了许多等于7乘以方块的数目在最外层之前的水平。例如,在 ,我们有8块在外层, ,我们有 最外层的多维数据集。因此,准确 多维数据集的最外层 。由于从每个立方体至少有两个顶点 ,所以 。

2.1。第二部分的证明

在本部分中,我们将展示这一点 。让 的所有顶点的集合类型和就像我们已经讨论了部分证据之一,描绘在图4。然后, 。我们声称是一套解决的 。的两个任意顶点的表征可以比较在五种不同的情况下和他们讨论如下:(1)两个任意选定的顶点在同一个数据集在最外层的水平(见图4)。(2)两个任意选定的顶点在同一个数据集,但这个立方体不是最外层立方体也中央多维数据集(例如, ),如图5。(3)两个任意选择顶点在中央立方体,显示在图6。(4)两个任意选择顶点与一端一连串的立方体的多维数据集最外层的水平(见图7)。(5)两个任意选择顶点都在不同的方块链和链连接在一个多维数据集,我们可以叫一个分支的立方体。解释,如图8中,B立方体是分支数据集, - - - - - -多维数据集和 - - - - - -多维数据集是在不同的链的每个包含一个选定的顶点。例(1)。这可以证明的直接计算表示(图中所有顶点的这个数据集4)。不失一般性,我们可以假设 ,然后 和 从上面我们可以看到,在这种情况下这些陈述都是不同的。例(2)。让两个任意选择顶点是在相同的立方体,这个在最外层的多维数据集和多维数据集不是也不是中央立方体。这种多维数据集的可视化图给出5。我们可以标签这个立方体的顶点 ,如图5。不失一般性,我们可以假设 在最外层的立方体立方体,立方体连接到多维数据集在顶点通过一连串的多维数据集。同样,我们可以假设 在最外层的立方体多维数据集和多维数据集被连接到多维数据集在顶点 , ,通过一连串的数据集,分别。 同时, 和 。这些计算表明, 为 和 为 。这就完成了证明。例(3)。假设两个任意选择顶点中央立方体,显示在图6,就像在前面的情况下(2),我们已经标记所有8个顶点 。不失一般性,我们假设 ,是在最外层的多维数据集和多维数据集的最外层立方体包含吗 连接到中央立方体在顶点 , ,通过一连串的数据集,分别。这些假设暗示 所以,我们得到结论,在这种情况下,一次 为 和 , 。例(4)。现在,我们要讨论(4)。假设两个任意选定的顶点 在两个不同的数据集,这些数据集是在一连串的数据集,看到图吗7。假设这个链的一端是最外层的多维数据集包含两个任意解决元素,说 不失一般性,我们可以假设这些顶点 ),另一端是中央立方体。如图7,让是一个立方体的顶点和是一个立方体的顶点 ,然后 ,因此, 。这就完成了证明。例(5)。最后,假设两个任意选定的顶点 在不同的方块链和链连接在一个多维数据集,我们可以调用一个分支立方体;这个分支立方体也可以中央立方体。解释,如图8,在这多维数据集是分支多维数据集,多维数据集和多维数据集是在不同的链的每个包含一个选定的顶点,也就是 和 。两个两个数据集和或任何其中一个立方体的多维数据集也可以最外层的多维数据集。

注意:在例(4)的想法,我们可以说,人可以选择两个顶点在不同的数据集,这样有立方体连接链和链的两端是最外层的立方体方块。但是,必须有一个立方体(我们称之为分支立方体)在这个链链连接到中央数据集的数据集)。不失一般性,我们可以假设 和 。我们可以看到,从顶点的最短路径的长度到顶点的多维数据集大于从顶点的最短路径的长度吗到顶点的多维数据集 。因此, ,这意味着 。

所有这五个病例证明 是一套解决。因为有吗 的元素数量 ,因此定理的证明的结论。

3所示。结论

在本文中,我们研究了水晶立方的度量维度碳结构,我们给一个公式度量维度。我们发现的度量维度不是常数,找到其封闭形式。

数据可用性

所有的证明和本研究的数据都包含在这篇文章。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是国家重点支持的研究和发展项目下2018 yfb0904205格兰特。