文摘

在本文中,我们建立一些结果收敛在强烈扩张映射的公共不动点的一个亚科进化家庭希尔伯特空间上的有界的线性算子。结果推广了一些已有文献中运营商的半群。给出一个例子和一个开放的问题。

1。介绍

在19世纪,不动点理论是由庞加莱(1]。在20世纪,许多数学家,如这[2],Schauder [3,好4),和其他发达国家。不动点理论有着广泛的应用。这是现代数学分析中最重要的工具之一,是有用的在各个领域,如数学、工程、物理、经济学、和许多更多。不动点理论可以作为一个工具,讨论解的唯一性和存在许多问题,如积分方程(5],微分方程[6,7),和数值方程和代数系统(8- - - - - -11]。我们指的是(12- - - - - -19]更详细的研究不动点理论及其在度量空间应用。

让 ,和 self-mapping。的元素 被称为定点的如果 。考虑到自治系统 在哪里希尔伯特空间上的线性算子吗 。这样一个系统的解决方案让我们一类线性和有界的映射,称为半群。一个家庭 线性和有界符被称为半群,如果它满足以下两个条件:(1) (2)

如果操作系统将变得更加困难取决于时间,即。,当取而代之的是在上面的系统。这样一个系统被称为时滞,其解决方案将会导致一个进化家庭的概念。同样,一个家庭 线性和有界符是一个进化的家庭,如果以下:(1) ,对所有 (2) ,对所有

备注1(见[20.])。每半群是一个进化的家庭,但反过来是不正确的。事实上,如果一个家庭是周期在每个进化,那么它就变成了半群。
半群的研究不动点是研究许多数学家,如铃木(21,22)和Buthinah et al。23]。他们证明了不同的结果关于半群的强收敛到一个固定的点,所有公共不动点的集合的表示半群的一种集的交集只有两个运营商的所有公共不动点的家庭。这样的结果是很重要的。最近,这样的结果推广到进化的一个亚科的家庭作用于不同的空间,看到20.,24]。
在本文中,我们将介绍一些新的结果不动点的进化算子的家庭。我们也从半群推广其他结果21),进化的一个亚家族。

2。预赛

在本文中,我们会经常使用以下符号:(1)通过 , , ,和 ,我们将表示所有实数的集合,非负实数,自然数,分别和非负整数。(2)半群,进化的家人,它将用亚科 , ,和 ,分别。(3)半群的所有公共不动点的集合,进化的家庭,及其亚表示,定义为 , ,和 ,分别。(4)通过 ,我们将表示关闭,希尔伯特空间的凸子集 。

一幅地图 是扩张如果 对所有 。

我们表示所有固定的点的集合 。如果是一个扩张self-map ,然后非空的,看到25]。

对于一个固定的在和 ,有一个独特的观点 这样 。我们看到的地图 是一个收缩。的确,

的nonexpansiveness确保映射是一个收缩。

1967年,布劳德(26)为self-mappings提供了以下结果。

定理1。让是一个self-mapping和 是一个序列,这样 。然后,对于一个固定的在 ,序列 收敛于一个固定的角度最近在一个强烈。
在本文中,我们将证明一个定理的铃木21为一个亚科在希尔伯特空间扩张进化的运营商。这样的家庭不需要半群。下面的例子将说明这个事实。

例1。定义的家庭 显然是一个进化家庭表演吗 。自 (身份 ),和 通过设置 ,我们有 这是一个亚科的 ,但不是半群。
然而,如果我们把一个条件给出评论1,那么这样的家庭变成了半群。

3所示。主要结果

在本节中,我们将介绍我们的主要结果。下面的引理,半群的所有公共不动点的集合可以表示在封闭的单位时间的地方 。

引理1。让 希尔伯特空间上的半群 ,然后

证明。以下包含 很明显,我们将展示相反的包容。
让 ,然后 对所有 。让 ,然后可以写成 ,对于一些 和一些 。
现在,考虑 也就是说, 。因此,我们得出这样的结论:

在[22),证明了半群的所有公共不动点的集合可以表示为从家庭只有两个运营商的交集。

定理2。让 希尔伯特空间上的半群 ,然后
,在哪里和是积极的, 是非理性的。
现在,使用引理1和定理2,我们有以下推论。

推论1。让 希尔伯特空间上的半群 ,然后
,在哪里 ,这样 是非理性的。
引理1可以扩展到亚科 的周期性演化的家庭。看到下面的引理。

引理2。让 是一个周期演化的家庭的亚科 ,然后

证明。因为很明显, 我们将再次证明相反的包容。
让 然后 对所有 。
现在,因为任何 可以写成 ,对于一些 和一些 ,我们有 因此,

这就完成了证明。

抓住每一个希尔伯特空间产生条件,给出如下。

命题1(见[10])。如果序列在 ,收敛于一个点 在疲软的意义上 下的强收敛定理是一个序列的定点附近的一个点的亚家族进化。

定理3。让 亚科的强烈持续的进化算子这样 。让 和 有两个实数序列的属性 ,(例如, 和 )。
然后,对于一个固定的在 ,序列 收敛于一个元素的 最近在一个强烈。

证明。让是一个点最近 。从 我们发现 因此, 都是有界的。让是任意的子序列 ,然后存在的子序列(说 )这是收敛的在一个弱意义。我们的要求是, 。
为此,把 ,为 。修复 。一个写 为 。在上面的不平等,第一个和最后一个趋向于零 ,所以 的产生条件和命题1,我们得到 ,因此, 。
最后,我们将展示这一点收敛于在一个强烈。从 我们得出这样的结论: 也就是说, 自是最近的 ,我们可以写 , 为 。我们可以看到,收敛于在一个强烈。作为 是任意的,我们获得了吗收敛于在一个强烈。

备注2。在这里,我们提到上面的结果并不适用于一个不连续的家庭,看到21]。

备注3。如果我们把每一个正实数的周期性条件发展家庭,然后使用的话就成了半群1。所以,结果在21]成为本文的一个特例。

4所示。例子和开放的问题

例2。让 希尔伯特空间,让 是一个定义的半群 在哪里 。显然,这是一个强烈的连续和扩张半群 ,它是由线性算子给出的 和最大的领域是一组所有的 这样和绝对是连续的, 和 。
现在,考虑到时滞柯西问题 在哪里 ,和功能 在扩张并遵循周期性条件,即 对所有 对于一些 。
让 。很明显,解决方案上面的柯西问题满足进化属性: 在哪里 。参见[22例2.9 b)。
我们可以找到 这样的函数 是有界的 。事实上,我们有 另一方面, 因此, 使用定理3.2 (27),我们有 ,在哪里 和是家庭的增长绑定 ,看看(27为进一步的细节。这表明家庭发展是扩张 ,因此定理3可以适用于这样的一个家庭,可以帮助的独特性和存在上述系统的解决方案。
开放的问题:我们离开打开质疑引理2和定理3可以为整个广义周期然后进化一般家庭?

5。结论

一个进化家庭的想法是更一般的半群。在[21铃木],被证明是一个强有力的收敛扩张映射的不动点希尔伯特空间上的算子半群。在这篇文章中,我们广义进化的一个亚家族,结果不是半群。这些结果可以为研究人员证明这样的趋同进化为整个家庭的运营商在希尔伯特空间。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

作者的贡献

所有作者的贡献同样显著,在写这篇文章。所有作者阅读和批准最后的手稿。