文摘

本文通过考虑两个圆锥曲线论的共同点,而不是二元四次形式的根源,我们提出一个新的充要条件的积极性二进制四次使用铅笔的圆锥曲线论的理论形式。首先,我们展示了退化圆锥曲线论的铅笔的成员根据不同的性质两个基地的共同点圆锥。然后,关于参数退化的不平等成员的属性得到退化圆锥。最后,不平等,我们得出一个新的标准确定一个二进制的积极性四次形式没有判别。

1。介绍

在 ,让多项式 是一个首一二进制四次实数域上形成 。我们说 是正定(半正定)如果实数吗 (0),我们有 。

问题的确定形式的全球积极或nonnegativity有许多应用程序。例如,在研究二维非线性系统和其他数学和物理领域,我们经常需要处理正定或负定二元四次问题形式(1,2]。到目前为止,关于二进制四次正定问题的形式,存在有一些文献。例如,下巴[3)使用一个真正的四次方程的正则形式提出没有真正的根的充要条件。Gadenz和李4公布一个系统性的方法来确定积极的明确性二进制四次形式。他们的方法采用永久和变化的测试序列的主要标志的未成年人相应的汉克尔矩阵。陪审团和曼苏尔5)使用法拉利的解决方案获得条件四次方程的积极性。同年,富勒(6)也给了类似的标准bigradient决定因素。Ku [7)做了一个标准的积极明确一般的四次形式从已知的解决方案。然而,他的结果是不完整的。王,气8]给出一个完整的和改进的结果。

在上面的文献中,最常见的一种不同的方法得到的结果可以概括如下。让 是一个二元四次实数域上形成 。的系数(2),可以定义以下数量(7]:

假设 。然后,四次形式 是正定当且仅当下列三个条件之一成立(3,5,6,8]:(1) (2) (3)

与标准相比,在4],这一标准基于四次多项式的判别条件优越,包含在本标准规定的一组系数的显式函数的不等式的四次形式。除了为这个共同的准则,哈桑和哈桑9)提出了另一种标准。他们利用二次规划理论的一些结果表明测试的积极semidefiniteness四次形式(1)减少到一个测试是否有一个实数这样的参数矩阵 是半正定。从本质上说,哈桑等的方法需要解决的不等式方程的约束参数矩阵是半正定(正定)。

现在,自然要问的问题是是否存在一个具体实数通过表单的系数(1),这样的形式(1)是半正定(正定)当且仅当矩阵是一种半正定矩阵(正定)。如果是的,标准(9)也将简化。在本文中,我们将看到,这个问题的答案是肯定的。我们使用共同的关系分两个圆锥曲线论和圆锥曲线论的退化的铅笔来解决这个问题,进一步推导出小说标准确定一种二进制四次的积极性没有判别。我们表明,给定一个首一二元四次形式(1),可以定义以下数量:

然后,表单(1)是半正定(正定)当且仅当矩阵 是一种半正定(正定)矩阵(定理呢1)。

更具体地说,形式(1)是半正定当且仅当

特别是,形式(1)是正定当且仅当(定理2)

2。符号和预赛

在本文,我们和分别表示两个实对称矩阵如下: ,让矩阵是 在哪里是一个变量的实际参数。由于每一个 实对称矩阵表示复射影平面二次曲线,是圆锥曲线论的铅笔由基地圆锥曲线论 , 。

显然,使用矩阵 ,二进制四次形式(1)可以表示如下:

另一方面,对于任意的 , 并不是所有的零,二次曲线的射影坐标点的吗 ,所以我们可以用曲线的相对位置 , 解决的决心积极的二元四次形式(1)。我们断言,二进制四次形式(1)是半正定当且仅当没有真正简单(或横向)圆锥之间的交点和二次曲线 。特别是,形式(1)是正定当且仅当之间没有真正的公共点和 。

众所周知,圆锥曲线论 , 有四种常见点(并不是所有需要不同的)。此外,相对位置的圆锥 , 有九个病例根据自然(泛型或nongeneric,真实的或复杂的)他们的共同点10,11]。他们展示在表1。

现在,我们讨论了退化的铅笔因为它们是密切相关的相对位置圆锥 , 。铅笔包含三个退化成员(不需要都是不同的)(12]。他们的参数三次方程的根 。退化圆锥曲线论是通过四种常见的线对和 。所以,根据常见的点表的性质1铅笔,堕落的成员可能具体包括如下:(1)真正的线对(两个真正的行)(2)一个复杂的线对(两个复杂的线路)(3)一个复杂的共轭线对(两个复杂的共轭线)(4)一个真正的重复行

中间列的表2给每一个退化的具体类型成员9例。退化的不同类型的成员对其参数可以提供重要的信息 。更正式,我们有以下的前题。

引理1。如果矩阵是一个退化二次曲线组成的一个真正的线对,那么排名的2, 。

引理2。如果矩阵是一个退化二次曲线组成的一个复杂的共轭线对,那么排名的2, 。

引理3。矩阵是一个退化二次曲线组成的一个真正的重复行当且仅当 多样性是一个根的 。

前两个前题可以通过使用西尔维斯特的证明标准([13),矩阵定理7.2.5)和事实是一个退化二次曲线组成的一个真正的线对当且仅当吗与等级2和不定矩阵是一个退化二次曲线组成的复共轭线对当且仅当吗半正定的等级2。引理3可以证明通过使用矩阵直接计算和事实是一个退化二次曲线组成的一个真正的重复行当且仅当与1级半正定。

从上面的三个前题,很容易获得之间的关系 和参数 , , 的三个退化的铅笔在任何情况下,给出了中间列的表2。这项研究的结果发表在表的最后一列2。值得注意的是,这是一个中间列的表之间的一一对应2表的最后一列2。

我们表示参数矩阵的行列式 ,也就是说, 在哪里 , ,和 。使用的合成和它的形式导数 ,我们可能得到的判别如下(14]:

自 当且仅当 有一对共轭复数根,我们断言 对于其他8例,除了案例3表2。

现在我们

显然,当 , 是最大的两个实根(不需要不同的) ;否则,是一个复杂的数字。

此外,据 , 和不平等三根 , , 在表2,我们可能得到的属性和9例。例如,对于 , 在案例3中,也就是说, ,然后发生了下列两个配置之一:(1)如果 ,然后是一个nonreal数量(2)如果 ,然后 或 ,

对于其他8例表2,必须真实而且之间的关系和 和之间的关系和0可以轻易获得的。这项研究的结果发表在表的最后一列3。

3所示。主要的结果

从上述讨论,我们知道二进制四次形式(1)是半正定当且仅当没有真正简单的二次曲线之间的交点和二次曲线 ,即。,Case 2, Case 5, Case 6, Case 7, and Case 9 in Table1。特别是,形式(1)是正定当且仅当没有真正圆锥之间的共同点和二次曲线 ,即。,Case 2 and Case 7. Consequently, we can use the properties of和在表3获得一个简化的充要条件与[9]确定表单的积极性(1)。

定理1。给定一个首一二元四次形式,

让

然后,表单(15)是半正定(正定)当且仅当 实对称矩阵 是一种半正定矩阵(正定)。

证明。一个方向的证据是显而易见的,因为如果是一个实数满足矩阵半正定(正定),然后根据半正定矩阵的性质(正定矩阵),我们有什么 和 ( 和 )。此外,从表3,我们知道一个例2、例5,6,7,9例发生(例2和例7发生之一)。这意味着形式(15)是半正定(正定)。
为了证明反过来,我们只需要表明,如果 和 ,然后矩阵是半正定。一方面,如果 和 ,然后根据西尔维斯特的标准,我们有这是半正定。另一方面,当 和 ,自 可以表示如下: 我们有 。所以,我们可能会得到 。此外,据 ,我们也可以得到 。这意味着是一个半正定矩阵的秩1。
因此,如果表单(15半正定),那么没有真正简单的两个基地圆锥之间的交点,即。、案例2,5,6,7,9表1。此外,从表3,我们有 和 ,也就是说,这个矩阵是半正定。特别是,如果表单(15)是正定的,那么就没有真正的两个基地圆锥之间的共同点,即。,例2和例7所示。此外,从表3,我们有 和 。据西尔维斯特的标准,因此,矩阵是正定的。这就完成了这个定理的证明。
从定理的证明1,我们就可以直接获得小说标准确定首一二元四次形式的积极性。

定理2。给定一个首一二元四次形式,

让

然后,表单(19)是半正定当且仅当

特别是,形式(19)是正定当且仅当

众所周知,消极的 相当于的积极性 。因此,根据得到的结论,我们可以直接获得以下推论的消极二进制四次形式。

推论1。给定一个二元四次形式,

让

然后,表单(23)是半负定(负定)当且仅当这个矩阵 是一种半负定矩阵(负定)。

推论2。给定一个二元四次形式,

让

然后,表单(26)是半负定当且仅当

特别是,形式(26)是负定当且仅当

4所示。例子

下面的例子说明了该方法。

示例1(见[8])。考虑到二元四次形式 根据定理2,我们有 , , ,并进一步 。自 和 ,我们断言,表单必须正定(可以检查 有两双共轭复数根维射影空间)。

例2。考虑到二元四次形式, 根据定理2,我们有 , , ,并进一步 。自 和 ,我们断言,表单必须正定(可以检查 有两个复共轭双根)。

例3(见[9])。考虑到二元四次形式, 根据定理2,我们有 , , ,并进一步 。自 和 ,我们断言的形式是半正定(可以检查 有一个真正的二重根和一对共轭复数根)。

例4。考虑到二元四次形式, 根据定理2,我们有 , , ,并进一步 。自 和 ,我们断言的形式是半正定(可以检查 有两个真正的双根)。

例5。考虑到二元四次形式, 根据定理2,我们有 , , ,并进一步 。自 和 ,我们断言的形式是半正定(可以检查 有四根)。

例6。考虑到二元四次形式, 根据推论2,我们有 , , ,并进一步 。自 和 ,我们断言形式是半负定(一个可以检查 有一个真正的二重根和一对共轭复数根)。

5。结论

在这篇文章中,我们获得了一个简化的必要和充分条件而9二进制四次形式的积极性。我们考虑两个圆锥曲线论的共同点,而不是给定四次形成的根源,并进一步小说标准确定积极利用理论导出了铅笔的圆锥。我们的方法既不需要使用四次多项式的判别像文献[3,5,6,8)也解决不平等的一组方程如文献[9]。的例子说明了我们的准则的正确性。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

信息披露

本文的早期版本已经被视为arXiv在康奈尔大学(https://arxiv.org/abs/2009.01033)。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。