文摘
(分子)图的完美匹配是一组独立的边缘覆盖所有顶点 。在本文中,我们建立一个简单的公式的期望值随机八角形链图的完美匹配的数量和现在的渐近行为的期望。
1。介绍
普遍问题感兴趣的化学、物理和数学的枚举是完美的匹配,在晶格和图表(分子)。让是一个图。一个完美的匹配是一组独立的边缘覆盖所有顶点 ,叫做凯库勒结构在统计物理有机化学和closed-packed二聚体。在有机化学中,凯库勒的数量之间有很强的联系的结构和化学性质等许多分子苯环型的碳氢化合物(1- - - - - -3]。凯库勒的数量结构是一个重要的拓扑指数已申请了共振能量和总量的估计 - - - - - -电子能量(2,4和明白”芳香曲棍球队5]。晶体物理,完美的匹配问题是二聚体密切相关的问题(6- - - - - -8]。表示图的完美匹配的数量通过 。
一个八角形的系统(图)9)是一个有限2-connected几何图形中每一个室内的脸是有界正则八角形或四边形的边长1(见图1)。八角形的图吸引了许多数学家的相当大的关注,因为许多兴趣组合主题。Brunvoll et al。9]决定同分异构体的数量生成树状八角形的图形的功能。苏和丁10)显示,有一个边的相对长度最多1在每个凸八边形,这必然是渐近紧。2001年,Destainville et al。11)认为是固定边界的一些组合属性八角形的随机的瓷砖。杨和赵12)提出了一个八角形的链中完美匹配的数量关系图和Hosoya指数在2013年卡特彼勒的树。魏et al。13]讨论了维纳指数在2018年的一种随机八角形的连锁店。
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一个八角形的图形,称为一个八角形的链图,证明不相邻的两个以上的其他八角八角型钢。八角形的图和是八角形的链图,如图1。让是一个八角形的连锁图 八角形的标签, ,在哪里和相邻的每个( )。第一八边形最后一个八角被称为终端八边形。,剩下的八角型钢 被称为内部八边形。每个内部八角是一种类型 ,类型 ,或类型根据是否分开的两个相邻八角形的距离3,1,或2,如图2。一个随机的八角形的链长度图是一个八角形的连锁图八角形的每个内八角是一种类型的概率 ,类型的概率 ,或类型的概率 ,用 。古特曼(14,15]研究了完美的匹配对随机苯环型的连锁图在1990年代。陈和张16)获得一个简单的精确公式的期望值的完美的匹配一个随机苯链。简单精确公式给出的预期值随机polyomino链图的完美匹配的数量由魏et al。172016年)。最近,魏和虚18)获得完美的匹配的数量的期望值随机polyazulenoid链。
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在本文中,我们建立一个精确的公式的期望值的完美的匹配一个随机的八角形的连锁图。
2。完美的匹配的数量随机八角形的连锁图
在本节中,我们考虑的期望值的完美匹配的一个随机的八角形的连锁图。我们将保留部分中定义的符号1。记得,有一个完美的匹配的递归公式(4),即 在哪里表示一个边缘事件的顶点和 。本文定义的所有符号不可以在[19]。
引理1。让是一个八角形的连锁图八角型钢。然后, 和 ,
证明。不失一般性,我们
是一个八角形的链中的边缘图
,如数据所示3和4。案例1。假设th八边形的类型或
。很容易看到从图3那
因此,我们得到的结果(1),也就是说,
案例2。假设th八边形的类型
。很容易看到从图4那
因此,我们得到的结果(1),也就是说,
这就完成了证明。
注意,概率和是未知常数。在这里,是一个随机变量。表示的期望值通过
。
(一)
(b)
(一)
(b)
(c)
引理2。让是一个随机的八角形的连锁图八角型钢。然后, 在哪里 。
证明。自th八边形的是一个类型的的概率 ,类型的概率 ,和类型的概率 ,我们有 由引理1。回想一下, 。自是一个随机变量之和,我们有什么 因此,完成证明。
定理1。让是一个随机的八角形的连锁图八角型钢。(1)如果 ,然后,为每个 , 在哪里 (2)如果 ,然后
证明。让
和
。自
和
,我们的初始条件
,
。由引理2,我们有
为
。注意的特征方程(14)是
和它的特征根
案例1。如果
,然后
。在这种情况下,
代入边界条件
和
,我们获得
因此,
这证明了定理的第一个语句。案例2。如果
,然后
。因此,
,我们有
这意味着
。
让
,
,和parachain, orthochain, metachain八角型钢,如图5。通过假设
,
,和
,分别时,我们可以获得凯库勒的结构的数量
,
,和从定理1。
(一)
(b)
(c)
推论1。让 , ,和parachain, orthochain, metachain八角型钢。然后,(1) (2) (3) 建议的功能有兴趣在数学和化学14),特别是关于其对渐近行为 。的显式表达式在定理1,我们有下面的结果。
推论2。让是一个随机环辛烷链图八角型钢。如果 ,然后 在哪里
证明。如果 ,然后 由定理1。的显式表达式 ,我们有 自 ,我们获得 因此,完成证明。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称他们没有潜在的利益冲突。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金支持的(没有。12061007)、福建省自然科学发现(没有。2020 j01844),为福建省教育部门和科学基础(没有。JT180392)。