文摘

在本文中,我们改进产品的估计和 ,通过Cringanu“不平等与比率伽马函数有关。”

1。介绍

Cringanu [1)下列不等式证明的沃利斯比: 对所有 ,最好的常量 ,和 。

这些不平等的结果完整的单调性 的函数 在哪里 为 γ函数(见,例如,(2- - - - - -5])。

自 (见[1]),下面的近似 是真实的:

首先,我们集中精力的近似 并引入相对误差序列由以下关系每一个整数 :

收敛速度测量的工具是由Mortici(引理,结果6),他指出,一个序列收敛到零时最快的区别是最快的。更准确地说,如果存在 ,然后 。最近(使用这个引理得到结果7- - - - - -12]。在我们的例子中, ,我们有 和使用函数的麦克劳林级数在变量 ,我们获得

然后, 所以 。

因此,以下近似是正确的: 作为

类似地,如果 ,然后 所以以下近似是正确的: 作为 。

2。主要的结果

定理1。(我)所有整数 ,我们有 最好的常数 。(2)对于每一个 ,存在 ,这样 对所有 。

证明。我们定义的序列为 , 所以 ,在哪里 函数的导数等于 在哪里 。(我)如果 ,然后 ,对所有 ,然后是严格增加。自 ,由此可见, ,对所有 ,这是严格递减的。序列收敛于零,然后接下去 ,对所有 ,这 对所有 。(2)如果 ,然后存在 ,这样 对所有 ,然后是严格递减上 。自 ,由此可见, ,对所有 ,这是严格增加。序列收敛于零,然后接下去 ,对所有 ,这 对所有 。
现在,我们找到的常数在某些特定的情况下。
例如,如果 ,然后 对所有 所以 对所有 。
让我们评论,直接计算表明,这些不平等 ,然后 对所有 。
现在,如果 ,然后 对所有 所以 对所有 。
让我们评论,直接计算表明,这些不平等 ,然后 对所有 。

备注1。让我们的话, ,对所有 ,和 , 改善不平等(所示1)。

定理2。(我)所有整数 ,我们有 最好的常数 。(2)对于每一个 ,存在 ,这样 对所有 。

证明。我们定义的序列为 , 所以 在哪里 函数的导数等于 在哪里 。(我)如果 ,然后 ,对所有 ,然后是严格增加。自 ,由此可见, ,对所有 ,这是严格递减的。序列收敛于零,然后接下去 ,对所有 ,这 对所有 。(2)如果 ,然后存在 ,这样 对所有 ,然后是严格递减上 。自 ,由此可见, ,对所有 ,这是严格增加。序列收敛于零,然后接下去 ,对所有 ,这 对所有 。
现在,我们找到的常数在某些特定的情况下。
例如,如果 ,然后 对所有 ,所以 对所有 。
现在,如果 ,然后 对所有 所以 对所有 。
让我们评论,直接计算表明,这些不平等 ,然后 对所有 。

备注2。让我们的话, ,对所有 ,和 , 改善不平等(所示2)。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从作者要求。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

APC是由“Dunarea de乔斯”加拉茨大学,罗马尼亚。