文摘
众所周知,Sharkovskii定理给出了一个完整的周期为一个连续self-map结构在一个封闭的有界区间。进一步的研究,一个自然的问题是如何确定周期点的位置和数量为一个特定的地图。本文考虑了周期点的不对称伯努利转变,这是一个分段线性混沌映射。
1。介绍
1964年,Sharkovskii [1)首先引入了一个特别点的正整数的集合。这种排序意味着如果 和一个封闭的有界区间的连续self-map时期 ;然后它有一个时期 。关于这个订购的最少是3。因此,如果地图时期3点,那么它的任何时间点。1975年,后者的结果是重新发现了李和约克(2]。那么许多论文致力于研究区间映射(见例如,[3- - - - - -5)和引用)。
分岔点的区间映射进行了研究(6),轨道的限制行为和概率的一些问题被认为是在7,8]。最近,伊万诺夫(9)被认为是一个精确的轨道数的下界self-map给定时期内的一个封闭的有界区间。
考虑到非对称伯努利的转变 与一个参数 ,定义为
特别的,当 ,这是伯努利转变或二进制转换,也称为翻地图或二进制转换。共轭性之间不对称的伯努利方程构造变化(10]。
给出一个正整数 ,一个有趣的问题是如何找到所有 - - - - - -周期性的 。另一个是多少 - - - - - -周期性的 。
在本文中,我们研究的周期轨道 。在下一节中,我们提出动力学的跳跃 。部分3回忆实数表示,也就是说, - - - - - -扩张。节4,我们使用 - - - - - -扩张给明确的公式为 ,显式公式的跳跃 ,显式公式的不动点 ,和显式公式 - - - - - -周期性的 。最后一部分给出了数字周期轨道的一个给定的时期为和限制的行为 。
2。动态的跳跃
为 ,让表示 - - - - - -th迭代的 ,递归定义的是哪一个 和 为 。
一个点 被称为跳的如果片面的限制,和 ,存在,是有限的,但是是不平等的。跳跃的集合用 。一个可以看到
的每个元素必须像原下吗的一个点 。更准确地说,
地图有独特的跳 。把 , ,和 。让表示单位时间 , ,和 。一个可以看到有跳跃的 通过归纳。为 ,让 ,和表示th跳跃的按照以下顺序:
把 对于每一个 。很明显,是 - - - - - -th单调区间的 。
引理1。为 ,的跳跃和有以下关系:(我) 为 (2) (3) 为 和
证明。我们第一次声称跳的对于每一个
。事实上,自跳的
,
也是一个跳的为
。此外,它很容易检查
为
。
接下来,我们用归纳法证明(i)和(ii)。很明显,这些结果适用于
。
假设这些结果保持
,也就是说,(我)
为
(2)
现在我们将证明这些结果保持
。表示跳跃的通过
自是严格增加子区间和
,为每一个
,存在的独特点,用
,在这样
。自是严格增加
,一个可以看到
进一步,通过跳跃的定义,跳的
为每一个
。
同样,自是严格增加子区间和
,为每一个
,存在的独特点,用
,在这样
。自是严格增加
,一个可以看到
进一步,通过跳跃的定义,跳的
为每一个
。让表示
。因此,(我)
为
(2)
它遵循从(我)
,
然后
和
,
这就完成了证明。
3所示。 - - - - - -扩张
在本节中,我们将引入一个新的实数表示。
定义1。一个序列0和1的行程 关于不对称伯努利转变 和 ,如果, ,
事实上,的行程 关于和 只是一个 - - - - - -一个真正的扩张 。根据(10),或者这两个经典的论文(11,12),我们有一个扩张权力的数字和 : 在哪里 和 为 。
因此,每一个 可以通过其数字序列 。在这种情况下,写作 为短。可以看到,每一个无限 - - - - - -扩张是独一无二的,而每一个 与一个有限 - - - - - -扩张可以扩展在两个方面,即一个立即验证
在下面,我们采用有限等分数的公约 与无限的0,表示为有限的分数吗 或 ,,除非另有说明。
引理2。如果 ,然后 。
证明。它遵循一个属性的不对称伯努利转变那 前提是 在 。然后发现一 另一方面,一个人 如果 因此
这表明,从符号动力学的角度来看,对应于地图上的空间转移 ,至少在这些点与无限 - - - - - -扩张。
一个容易发现的周期性轨道与复发有关 - - - - - -扩张。例如, 是一个反复出现的 - - - - - -扩张的重复单元长度5,因此,它是一个5-periodic点 。
4所示。的显式公式
自是一个分段线性映射,严格增加在每个子区间 。一个可以获得显式公式 。
定理1。如果 ,然后
证明。我们用数学归纳法证明这个结果。
我们首先考虑简单情况
。如果
,然后
和
。因此,
如果
,然后
和
。因此,
因此,适用于结果
。
假设结果适用于
,也就是说,
现在我们应当证明其结果适用于
。如果
;然后
和
。因此,
如果
;然后
和
。因此,
因此,适用于结果
。完成证明。
作为一个推论,我们现在这些跳跃的精确公式 。
推论1。所有的跳跃是由 在哪里 或1,不是所有等于0。
证明。如果所有是零,那么
,它不是一个跳跃。
从定理2,解决
,我们可以获得所有这些跳跃的
。
定义2。一个点在被称为一个周期self-mapping点
如果存在一个正整数这样
最小的正整数满足以上被称为'时间或时期的点
,这一点被称为一个
- - - - - -周期性的
,和序列
被称为一个
- - - - - -周期轨道。
特别是,1-periodic点称为定点。
以下推论给出了精确公式的不动点 。
推论2。所有的不动点是由 在哪里 或1。
证明。自的曲线 相交的线 在点,有固定的点。解决 ,我们有
5。的数量 - - - - - -定期分
固定的点的十字路口 和 ,也就是说,两个点 。的十字路口 和 有四个地方有两个2-periodic点,即两个点吗
其他两个十字路口 和1是固定的点。的十字路口 和 有八个点,有六个3-periodic点和两个不动点。
一般来说,的十字路口 和 有周期点。如果是一个 - - - - - -周期性的 ,然后 。让表示的数量 - - - - - -周期点。然后, 对所有积极和扩展因子在哪里的 。
为了获得确切的数字的 - - - - - -周期性的 ,我们需要引入莫比乌斯函数和莫比乌斯反演公式(见,例如,13,14])。
定义Moblius函数 通过
因此,如果 ,然后 ,和任何 ,那里拥有
引理3(莫比乌斯反演公式)。如果和是算术函数,即,从来 ,令人满意的
然后, 在哪里莫比乌斯函数,总结扩展到所有正因数的 。
实际上,原始的可以确定了利用反演公式。
推论3。的数量 - - - - - -周期性的是由,
让表示数量的 - - - - - -周期性的轨道 。然后,
最初的几个是 而对于更大的是
如果值略高于相比 一个发现的比率和 方法1 。
现在我们要证明的比率和方法1 。
定理2。让的数量 - - - - - -周期性的 。然后, 在哪里默比乌斯函数。
证明。一方面, 另一方面, 因此, 夹逼定理,
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。