文摘
本文的主要目的是使用小学和分析方法、高斯资金的性质和特点总结研究某混合动力的计算问题涉及绰金金额和字符和类似于通过和,给两个有趣的恒等式。
1。介绍
我们都知道,古典绰金金额 定义(见[1)) 在哪里 是一个正整数,任何整数'吗 ,和
这个和描述的行为模块化下η函数的对数转换,看到1,2),相关参考资料。因为这个和在解析数论的重要性,许多学者研究了它的各种特性,取得了一系列重要成果。也许,最重要的财产 是它的互易定理(见[3])。也就是说,对于任何正整数和与 ,人的身份
其他一些相关论文绰金金额可以在找到4- - - - - -6,我们不希望这里全部列出来。
相反,我们还将介绍另一个人物和类似于通过总结如下。对于任何一个整数 ,让是一个性格狄利克雷 。对任何正整数和整数 ,我们定义 在哪里表示求和 这样 和表示的逆 。也就是说, 。
的属性 ,一些人研究,取得了一些重要的研究结果。例如,从Weil的特殊情况的工作7一个可以获得估计 在哪里是一个典型的,是任何整数。一些相关重要作品还可以发现在7- - - - - -11]。
在本文中,我们考虑混合动力的计算问题涉及绰金金额 和 。也就是说,
然而,混合动力的意思,似乎没有研究它;至少,我们还没有见过任何相关的结果。这个问题很有趣,因为它是与狄利克雷L-functions密切相关。事实上,对于一些特殊的正整数 ,我们可以给一个精确的计算公式(6)。本文的主要工作是揭示这一点。,我们将使用小学和分析方法,以及人物的属性总结证明以下两个结论。
定理1。让一个奇怪的' ,和 表示勒让德的象征 。然后,对任何正整数与 ,我们有身份 在哪里表示二次域的类数 。
定理2。让一个奇怪的'
和是任何正整数
。然后,我们有身份
如果一个奇怪的'
,然后我们有身份
在哪里表示四阶的性格
,
是一个整数,然后呢
表示狄利克雷
- - - - - -函数对应于
。
采取
在定理1和定理2,我们有以下。
推论1。让一个奇怪的' 和 ;然后,我们有身份
推论2。让一个奇怪的' ;然后,我们有
注:很明显,在某种意义上,推论1为我们提供了有效的方法来计算类的数量可以在电脑上完成的。
很容易证明 ,然后,对任何正整数 ,我们有
如果 ,然后,对任何正整数 ,我们也有
一般复合数 ,是否存在一个精确的计算公式(6)将是我们进一步研究的问题。
2。几个前题
在本节中,我们将给几个简单的词,他们在定理的证明是必要的。首先,我们有以下。
引理1。让 是一个',和是两个nonprincipal字符与 。然后,对任何正整数 ,我们有身份 在哪里表示经典高斯求和。
证明。对于任何一个整数和nonprincipal字符 ,从高斯求和的属性(见定理8.20 (12]),我们有 使用(15),减少渣系统的属性 ,我们有 因此,重复使用的(15)(16),我们有 这证明引理1。
引理2。让 是一个整数;然后,对任何整数与 ,我们有身份 在哪里 表示狄利克雷 - - - - - -函数对应的字符 。
引理3。如果是一个典型的 和任何四阶的角色 ,然后我们有身份 在哪里 是一个整数。
引理4。如果是一个典型的 和任何四阶的角色 ,然后,对任何正整数 ,我们有身份
证明。首先,对所有非负整数和实数和
,我们有身份
在哪里表示最大的整数
。这个公式得到,因为华林(15]。它还可以发现在16]。
注意,如果
,然后,对于任何四阶的字符
,我们有
。所以,
。因此,采取
和
,从(4)和引理3,我们有
这证明引理4。
3所示。定理的证明
在本节中,我们将完成我们的定理的证明。首先,我们证明定理1。从引理2,我们有
如果是一个典型的 ,然后,对任何正整数与 ,让 ;然后,必须是奇数。如果字符和满足 与 ,然后 。如果 勒让德的象征 ,然后我们有 。注意,如果 ,然后 , 和 。因此,从(23)和引理1,我们有
这证明了定理1。
现在,我们证明定理2。让一个主要的 ;然后, 。对于任何四个订单的角色 ,我们有 。因此,对于任何正整数与 ,请注意,是一个奇数;如果 ,然后 。在这个时间, 必须是一个四阶的性格和 ;从(23),引理1,引理4,我们有
如果 ,然后 ,所以在这个时间,我们有
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
作者的贡献
徐小玲导致这项工作和阅读和批准最后的手稿。
确认
这项工作得到了n . s . f . 2019年(11771351)和中国特殊的陕西省教育部科学研究项目(19 jk0978)。