文摘
拓扑优化是一种强大的工具在生成新的解决工程设计问题的能力,而这些设计提高生产力和减少制造成本在计算环境中。Mesh-independent收敛和其他技术已经广泛用于拓扑优化技术,但他们产生灰色过渡区域的任何材料并不是一个有利的条件。在本文中,修改拓扑优化配方使用提出了一个新的函数。亥维赛的建议方案利用投影法(HPM)连续体拓扑优化。这种技术有助于获得最小长度规模影响空隙和固体阶段。应用建议的方法是获得最低合规实现的宏观结构。数值的例子说明该方法的值得注意的价值。
1。介绍
流程的优化结果在一个已知的物质结构空间用于假定载荷参数和限制的情况下获得最高图出现的结构被称为拓扑优化。一个令人鼓舞的努力Bendsoe和菊池(1)首次引入一个明智的设计工具来获取所需的结构优化问题的结果。材料的技术似乎最合适的分布在布局空间通过最小化目标函数的情况设计一组约束。之后,众多研究人员做出不同的努力改善过程。Deaton和Grandhi2]介绍了density-centered方法是著名的,因为简单的修改有限元代码。这种技术解释了变形模型的布局,迭代方面,和缓慢的转换在每一个即将到来的新布局,翻新热衷于密集的,过时的,也immoderate-performance形状。Density-based拓扑优化技术(3)已经发展到了这样一种程度,许多工程结构类别使用先进的计算手段,实现尤其是在航空航天和汽车达到最佳体重,刚度、强度和频率的设计目标。众所周知,密度基本变量位于1和0的范围(4]。在拓扑中,优化过滤研究课题最重要的作用。过滤操作是用来找出产生的几何结构,尽管它有许多修改和波动检查亥维赛投影。在nondensity拓扑优化的顺序修改长度范围,我们将水平集方法和相场方法。密度技术通过使用密度产品,能够解决仅仅边界的结果。优化结构的解决方案无法获得,因为有时它只是一个概念性的布局理论。因此,在拓扑优化生产、约束有重要作用的解决方案优化结构。Lazarov et al。5)已经详细审议。
大量的研究人员已经扮演了一个角色来提高计算能力。就这样,与多个约束最小化重量,久凯et al。6提高能力,对角二次设计。Maruyama et al。7)建立了一个外部变量的方法来找出最优拓扑的设计问题通过整合外部变量,外部变量和材料分布在哪里的同时优化。Zhang et al。8)使用拓扑优化方法的移动morphable rib-stiffened结构组件。移动morphable组件的结构,可以不执行一个以上的物质困难,此外,减少大量的结构变量和评价的自由程度。帕尔(9)使用鲁棒优化修改设计的不敏感和结构参数。有许多种类的问题,如几何障碍(10(功能),加载问题11],和物质的问题[12]。的加载问题,Calafiore和Dabbene [13)两种不同的技术,旨在解释产生不确定的结构布局,这是有用的最小化,特别是结构加上平均值客观问题。赵和王14)在各向同性物质的鲁棒优化设计以及加载变化问题。同样,许多其他研究者在改进的健壮的拓扑优化和可持续性。长等。15)解释说,拓扑优化问题可以冒充一个二阶二次。有不同类型的拓扑优化表达式,如进化技术、双向进化技术(16),均化技术(17与惩罚技术[],坚实的各向同性材料18,19),已经操作辉煌解决不同种类的结构性问题,欣赏注意从不同的工程学科。这些上述流行的方法用来解决各种困难的显式和隐式的拓扑优化过程。区分最优拓扑结构与处罚坚实的各向同性材料,我们通过一个像素图像识别黑白分配;同样的,我们拿出TDF的水平集在给定结构指定限制。,水平集技术和坚实的各向同性材料与处罚(笨人)技术,以隐式的方式解决拓扑优化困难。我们总结现有的并发症对于隐式方法如下。首先,它不容易操作的设计特征维度。设计特征尺寸生产结构中扮演最重要的角色。因为它很难创建一个关系优化模型和CAD建模结构中隐式优化和不同结构的几何表示由于没有明确的几何信息,研究人员提出了一个独特的过程以获得完整的长度控制(20.]。其次,隐式方法的3 d拓扑优化问题通常涉及许多变量的数量要求比较明确的技术。当拓扑优化()说服多重物理量,在这种情况下,我们获得困难的数值问题,把我们从一个值得注意的融合优化过程由于强耦合的优化和分析模型。
在本文中,我们提出一个修改健壮的配方使用另一个函数。该配方的同事三个预测热衷于一个不等式性质的问题。首先,它将有助于获得最小长度规模影响空隙和固体阶段产生一个健壮的、优化的结构。此外,它达到一个简短的布局相应阶段到中度的0/1β值。标准亥维赛过滤方法是操纵,以确保白人和黑人阶段不能获得长度尺度控制无效和固体阶段在拓扑优化21]。修改后的亥维赛投影建立方案可以操纵的长度尺度空白阶段,对面,原亥维赛投影只能承受最小长度规模控制固相(22]。我们不能获得两阶段长度尺度的影响,固体和空白,通过建立volume-preserving投影方案(23]。
本文的其余部分命令,如下所示。节2,我们将解释关键问题设置(如西格蒙德的解释文章)24]。部分3定义了印象健壮的拓扑优化的三个优化设计有效的线性预测进化密度从0到1,分别。部分4显示数值例子证明实现新功能的效率。我们总结最重要的结论部分5。
2。方法
2.1。拓扑优化配方
宝出材料的最优分布链接中的目标函数的约束简化的数学描述,解决优化问题之前,我们基本的工作是使其数学模型根据基本问题的需求。否则,优化布局不能珍贵。优化问题,如一个节点相关联的铰链的投诉机制布局,是被忽略的。必不可少的数学方法针对最低合规问题可以提出如被王et al。25]: 在哪里是全球刚度矩阵派生通过有限元离散化,和表示全球系统位移和力向量,分别代表一组有限元指标,是通过每一个相关的物理密度结构元素,单个细胞的体积吗我,象征的体积结构的影响范围,和是规定的体积分数,可以感兴趣的材料。为了简化矩阵 ,元素刚度与材料刚度和表示为 ,在哪里代表单元刚度加上 ,代表材料的刚度利用笨人的方法,材料插值方法可以被描述为在哪里 在哪里和表示材料的刚度和惩罚因子 和代表一个精确的多孔隙材料的刚度帮助刚度矩阵奇异。
2.2。敏感性分析
使用伴随过程,灵敏度计算目标函数对应于物理结构变量的变化伴随敏感性分析如下: 在哪里λ代表了全球伴随向量获得Kλ=−我。
2.3。过滤
控制拓扑优化问题,我们通过density-based过滤方法。首先,烧伤和Tortorelli [26)提出了一个过程来获得最优解的非线性弹性设计和产生程序;后来,布尔(27它在数学上的)验证。密度滤光片的基本意识可以表示为以下两个方面。首先,在给定的结构域离散元素指定密度变量可能在特定的时间间隔不断改变在0和1之间。其次,计算目标元素的权重系数w.r.t.结果发现过滤半径的函数。最后,系统能够发现过滤的帮助下密度density-based过滤功能。
随着时间流逝,许多算法已经提出改革文学。作为一种替代方法,可以获得好的布局的形式解释文明有限元网格;然而,优化过程可能添加一些小细节根据网格和收敛解决方案以不同的方式。结果,实现结构的长度尺度取决于网格大小和同样经过著名的棋盘病理学代表低阶元素。
根据关键点,物理元素密度是一个加权平均邻近结构的变量,在附近中描述的方向操纵一个圆在2 d或球体在3 d对不同的半径。因此,投影模型计划这样project-filtered结构在特定的时间间隔是在0和1之间,像布鲁斯和Tortorelli提出的26]: 密度滤光片和投影指定数字0 / 1代表什么和 。 通常是在一个过滤器被附上的元素中心元素 , 表示假设的权重函数与相应的线性衰减增加距离。过滤半径是R和和抑制坐标中心设计的细胞和 。在下面,我们定义的数学作为
现在,方程求导(4)w.r.t.设计变量以及
的敏感目标的投影函数过滤密度修改应用链式法则:
2.4。阈值投影
徐et al。28)提出了投影函数对亥维赛函数需要需要属性,可以写数学
在方程(8),过滤后的密度和参数值是躺在0到1之间。
通过引入β物理密度参数,可以修改
在这里,表达(9)表明,亥维赛函数是连续函数。如果我们把 ,然后的价值(9)退化过滤器密度,确保最小化长度尺度的固相可以记下了
当 ,然后物理密度预测的行为对应修改亥维赛过滤和执行正确的相反的(10)。它确保最小化长度尺度可以写成的空白阶段
在这里,我们描述简洁而天真的表现取决于乙状结肠函数尽管传统上使用双曲正切函数描述。的已经定义的函数表达式(29日,30.]。被描述为tanh-based函数
另一种表达式提供了更容易和更快的投影法计算,而不是描述阈值投影获得(9)。这个简单和短替代sigmoid-based函数表达式可以写下来
当方法 ,然后sigmoid-based函数表达式提供了结果类似于tanh-based函数表达式得到的(9)。在这里一个,b,c,d是常量参数。乙状结肠的比较图表显示了行为和双曲正切函数,如图1。在优化应用程序,参数β命令的清晰度投影在过渡区。为了确保优化的可微性,此外,为了避免局部最小值,我们构建一个方便的提议,β逐渐从2增加到64。测试应该大于零;一般来说,参数β最小值是0.1。通常,参数的值是起点 逐步提高两倍关于程序每次50的迭代次数和最大价值达到64。图2解释的行为取决于阈值投影参数和 ,分别和百万桶的初始设计例子,略有所得的参数价值。
西格蒙德介绍了灰度指标测量获得的离散性优化设计(31日]:
如果所有元素的密度分布等于0或1的值 ;然后,聚合设计结果将完全离散。相反,如果所有元素密度分布等于0.5, ;然后,显然聚合设计结果将是灰色的。然而,指标的价值在多个投影相情况下也不同。获得的投影结构布局从方程(9)和(13)基本上是不可能区分为乙状结肠高一点灰度投影。因此,我们得出这样的结论:0/1阈值预测不能提供合适的结果支持说明投诉机制。
3所示。健壮的拓扑优化配方
在使用density-based拓扑优化方法中,材料分布分配是对密度分布向量 。2009年,这一想法已经被乙状结肠。e,获得的拓扑优化对密度均匀的扩张。扩张密度表示为 ,中间密度 ,和侵蚀密度 。这些密度可以表示通过应用阈值投影 ,0.5, ,分别。给定的优化问题(1可以写下来
三个有限元问题的解决方案需要获得的敏感目标w.r.t.变量依赖于解决方案利用链式法则健壮的功能的实现。图3显示了三个优化设计的印象对有效预测线性进化密度从0到1,分别。减少元素大小是明显的扩张情况,侵蚀情况的固相时使用的拓扑优化设计是一样的。与此同时,往往会增加空白阶段。确保实现目标函数的最小/最大,制造错误绑定定义的两个阶段都是通过三个设计之间的区别。
4所示。数值分析模型
4.1。黑带大师Cantilever-Density过滤
在这一节中,有许多解释数值例子阐述的有价值建议的技术。通常经历进行分析,数值解的执行方法,参与材料性质、几何数据和应用外部负载都是作为无量纲。材料的泊松比和杨氏模量是固定的,0.3和1,分别。数值求解优化的二维平面应力问题,我们使用了移动渐近线方法作为优化器。图4显示了黑梁的初始结构域。
4.2。密度过滤与维度2×1
在本节中,二维悬臂梁的例子在图中所示5这表明提出的鲁棒优化拓扑的可行性的发明是有用的。设计领域对不同的离散化表示和和在水平和垂直方向的元素数量;体积分数为0.5的所有结果。具体处罚向量 除了杨氏模量是1。激情定量值是0.3。这个图显示了三个密度分布侵蚀,中间,和扩张的结果。结果如图5描述了健壮的、优化的配方,以确保mesh-independent设计。说设计和匹配属性的形态学滤波器由如在常规密度过滤器。
数据6(一)6(c)表明,强劲的拓扑优化具有相同的密度大小过滤,但网格细化细胞上的梁尺寸2×1和图6(c)显示了一个稍微复杂的拓扑优化结构由于减少一半值和有限元网格单元。图6结果显示高分辨率。
4.3。密度过滤与维度3×1
最初的优化结构如图6。这个图还显示了三个密度分布:侵蚀,中间,和扩张设计,有限元设计,域离散为300×100,450×150、600×200维4×1,分别。数据7(一)-7(c)表明,强劲的拓扑优化具有相同的密度大小过滤,但网格细化细胞上的梁尺寸3×1和图7(d)显示了一个稍微复杂的拓扑优化结构由于减少一半与有限元网格单元。
在这里,表示服从。合规的侵蚀拓扑总是更高由于重复的体积分数和材料密度的依赖在目标函数中,实际上,制定合规的min-max对应于最小化,但没有影响原始和扩张。同样,扩张拓扑,依从性低。扩张、侵蚀和中级,获得设计提出了拓扑用于所有情况相似。我们建议值 的侵蚀, 中间, 加宽的设计。这表明,没有生动的优势一个简单的合规稳健设计的最小化问题。nano的获得稳健设计是有价值的——和精密加工。有完全控制的最小固体和无效长度规模使得中间的非凡的设计设计。
5。结论
建议的方法,比如亥维赛预测和水平集相场方法,所有进行平滑边界表示和有助于更清晰地定义拓扑的结果。本文的主要目的是介绍一个新配方获得最低合规与传统方案。该方法更稳定,所有相同的测试模型运行参数设置。然而,额外的计算成本发生计算三个独立的有限元问题。设计更精确的几何表示和工程模型适用于随后的形状和大小。从概念上的拓扑优化过渡到实际部署设计未来的新兴方法是必需的。拓扑结构可以采用工程特性的结果,如鱼片、飞机、梁部分。高保真度分析以自动方式在未来将是非常理想的3 d结构。
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的利益冲突
作者宣称他们没有利益冲突的报告对目前的研究。
确认
作者感谢教授案发思文凯提供MMA的程序代码。作者希望承认金融支持北京的国家自然科学基金(2182067)和中央大学的基础研究基金(2018 zd09)。
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