文摘
在这个报告中,我们提出一个最邻近点定理三环收缩的猫(0)空间的设置。在相同的情况下,我们给一个精心设计的反例。
1。介绍和预赛
早在2017年,当前作者介绍了三环映射和最邻近点的类。一个映射 据说是三环提供吗 , ,和 ,在哪里 非空的一个度量空间的子集 ,最好的接近点是一个点 这样 的映射 被定义为 和 。此外,映射据说是三环收缩如果三环和验证 ,对于一些 和所有 。的详细信息,我们将1,2]。
在相同的研究论文tricylic映射定义,下列最接近点的结果。
定理1(见[1])。让 ,和非空的,封闭的,有界凸子集反身巴拿赫空间 ,,让 是一个三环收缩映射。然后,有一个最好的接近点。
鉴于三个子集 ,和一个度量空间 ,我们设置 在哪里 和是一个非负实数。
要注意的主要结果的证明1),你就会意识到这样的结果在一个度量空间的证明,某种形式的凸性和自反性的定义当然,归结为证明设置是凸的。很容易看到中凸线性赋范空间。但从线性度量空间我们能走多远?后来,我们表明,该设置失去了凸性在任意测地度量空间。
在本文中,我们扩展了先前的定理更广泛的空间,它是测地线度量空间。然后,我们给一个答案的三环mapping-related问题仍然开放了几年的形式的反例。
准备给我们的主要结果,我们重提测地线空间和最重要的一个子类 。
测地线的空间 是一个度量空间中每两个点测地线连接,即地图吗 这样 和 和 对所有 。一个子集测地线的空间据说是如果每一对点 加入了一个测地线中包含的是谁的图片 。一个点 属于一个测地线 当且仅当存在 这样 和 写成 。
测地线的空间据说是如果每减少链 ,在哪里 , 非空的、有界封闭,凸 这样我们有 。
测地线的三角形 在 由三个点 ,和三测地线连接的部分 。比较三角形 是一个三角形 在欧氏平面上具有相同的长度。
我们还记得,测地线空间称为凸的Buesmann [3如果有任何一双测地线 和 ;不平等是满足如下:
同样, 对所有 和 。
除了Busemann凸空间,猫空间是一个非常重要的测地线空间的子类。这些是度量空间,当然,geodesically连接,测地线三角形至少有一样“瘦”比较三角形在欧氏平面上。
不用说,猫空间中凸Busemann的感觉。事实上,这是最基本的属性定义的本质的猫空间。完整的猫空间被称为阿达玛空间和反射性(4]。
2。主要结果
直接使用标准属性显示是凸如果是一个赋范线性空间的子集和是凸的。这同样适用于猫空间。
引理1。如果和非空的凸子集的一只猫吗空间 ,那么 。
证明。让
,和的地图
是测地线连接
和
在一组
具有规
,所以我们必须确认
鉴于
,
因此,是凸的。
现在,我们可以断言我们最好的邻近点存在的结果。
定理2。让
,和非空的,封闭的,有界凸子集的阿达玛空间
,,让
是一个三环收缩映射。然后,有一个最好的接近点。
显然,先前的定理推广了[之一1),因为后者是证明在自反巴拿赫空间的设置。
此外,它很容易看到在双曲空间的设置也凸的感觉Kohlenbach [5]。,在(2),它是证明凸的设置吗度量空间,如果
,和验证补充条件。现在,除了度量空间本文前面提到的,在一个更广泛的框架保持凸,说,测地线空格或任何度量空间,某种意义上的凸性?
接下来,我们认为这并非如此,我们给出一个微妙的反例。首先,我们提到的几个命题。
命题1(见[6),运动为4.3.8)。测地线的空间 的非负(分别地。,nonpositive) curvature if the following property is true: let 是一个三角形和是它比较三角形。然后,对于分在双方 和 并指出在双方和这样 和 ,的不平等 (职责。 )成立。
以下的观察自然,但它已经对我们的工作非常有用。
命题2。让与非负曲率空间,任何一对测地线 和 来自相同的点 ;下面的不平等适用于所有 :
证明。考虑一个比较三角形 的三角形 。鉴于 ,初等几何告诉我们 nonnegativity的曲率 ;因此, 。
备注1。以前的不平等主张意味着
灵感来自过去的不平等,我们可能声称有不平等的情况下在过去的命题
对于一些
,就像如下所示(图1)。
现在,让
与非负曲率空间,认为存在三个测地线的部分
,
,
,和
这样
和
。假设
从之前的评论,我们假设存在
和
这样
把
自
,如果是凸的,那么它必须包含吗
。我们现在显示相反的,按照这个顺序,我们假设和验证的额外条件,如果
,我们有
然后,
这意味着不是凸。
现在,我们通过一个具体的例子来支持我们的主张,所有先前的假设成立。
例1。让 的单位球具有功能 分配到每一对 独特的实数 在哪里 表示欧几里得标量产品。众所周知,是一个指标 。此外, 最短的曲线的长度是连接和 。这样的曲线段在一个大圆和(即球面的交点与飞机通过和球体的中心)。大圈的自然方法参数化弧如下:给定一个点 ,一个单位向量在欧几里得空间这样 ,和一些 ,考虑到路径 给出的 。我们获得 的形象包含在大圆向量张成的子空间在哪里和满足 。的形象据说是最小的大弧线,更准确地说,大弧与初始向量和连接来 。让 , , ,和 。自(图2), 我们获得 如果我们考虑大弧加入和 ,我们很明显看到 考虑到向量 和下面的路径 显然,的形象是伟大的弧与初始向量和连接来 。而且, 这意味着 现在,所有的条件前面提到的家具。
备注2。保留符号与前面的示例相同。我们强调主要的伟大的弧不是一个测地线段测地线度量空间的感觉。事实上,一个大圆的弧无法测地线段只要是超过一半的赤道。然而,如果被看作是一个二维流形的微分几何,是测地线是geodesically凸的。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项研究得到了美国国家科学技术研究中心资助。