文摘

采查罗理想的收敛序列空间的一些代数性质, 和 ,本文研究了一些包含在这些空间建立的关系。

1。介绍

考虑到空间 所有真正的和复杂的序列, 和 分别是,所有真正的集和复数。

假设 ,c, 是有界的线性空间、收敛和空序列,分别赋范

所有自然数的集合。

一个序列空间 复数是(C1)可和 如果因为 ,limk =l。序列(C,1)也被称为采查罗可和序列的复数C。让我们表示的C1所有的线性空间(C1)可和复数序列C,也就是说,

哈代和Littlewood1]发起强烈采查罗收敛实数的概念定义如下。

一个序列( )在赋范空间(X, |)据说是强烈采查罗收敛l如果

在[2- - - - - -6),作者扩展强采查罗收敛的概念在各领域的合作。1951年,快7]介绍了术语统计收敛,而Steinhaus指出[8独立]介绍了术语“普通和渐近收敛。”

后来,Fridy [9,10还研究了统计收敛和他联系可和性理论。Kostyrko et al。11]给出理想的收敛的概念(I -收敛),确实是一个泛化的统计收敛。礼拜et al。12]研究I-convergence的一些性质,在这个领域进一步的调查是由汗(13),Tripathy和应急服务国际公司14),Tripathy和哈札里卡15),和许多其他人。

在这篇文章中,进一步采查罗理想的收敛序列的有趣特性建立了和一些包容关系也证明。

2。术语的定义

让我们首先提出一些定义和概念所需的续集。(1)一个家庭的子集我的 被称为一个理想的设置在 (我)如果 我(2)如果集一个,B 我,然后一个 B 我(3)如果B 一个和一个 我,然后B 我(2)一组重要的理想我据说是容许如果{{n}:n }} 我(3)一套非空的F 被称为过滤器在 如果(一) (b)一个B F 一个 B F(c)一个 F与一个 AB B F

备注1。每一个理想我,有一个过滤器F(我)(与我)定义如下: 一个序列( ) X据说是I-convergent许多l如果,每 > 0,集{x= ( ) X:{k :| −L |≥ } 我}。在这种情况下,我们写我lim =l。如果l= 0,那么它被称为I-null。一个序列 ω据说是I-Cauchy如果,每 > 0,存在一个数字米=米( )这样 让如果是所有的类有限的子集 。如果我= 如果,我是容许理想的设置在 。一个序列空间X据说是固体(正常)如果( ) X每当( ) X和( )是一个序列的标量|αk|≤1k 。一个序列空间X是一个代数序列如果,每一个( ),( ) X,( ) X。让K= 和X是一个序列空间。一个K-step空间的X是一个序列空间 。一个规范原象一个序列( ) 是一个序列( ) 定义为 一个序列空间单调如果它包含空间规范原象的一步。

3所示。结果

规范原象的空间 是一组原象的所有元素在吗 ,也就是说,y规范原像的吗 当且仅当y规范原像的吗x 。

让X和Y是两个赋范线性空间。一个操作员T:X⟶Y被称为紧凑的线性算子如果(16]。

(一个)T是线性的

(b),如果对于每一个有界的子集D的X,图像米(D)相对紧凑,我。e,关闭 紧凑

引理1。(见[12])。每一个坚实的空间单调。

引理2。(见[12])。让K F(我),米 。如果米 我,然后米 K 我。

引理3。(见[11])。让我 和米 。如果米 我,然后米 K 我。

4所示。主要结果

让我们首先定义C我,所有的空间采查罗理想的收敛序列和 ,所有采查罗理想的空的空间序列,给出了如下:

定理1。序列空间C我和 是线性的。

证明。假设x= ( ),y= ( ) C我。然后,一个 让 让 和 有一些标量。
通过使用规范的性质,人们很容易看到 然后,从(9)和(10),我们为每个 , 因此,( ) C我,对于所有标量α,β和( ),( ) C我。
因此,C我是一个线性空间。
在相似的方式,一个可以证明 也是线性的。

定理2。让x= ( ) 是任何序列, C我。

证明。它可以很容易地观察到。

定理3。一个序列x= ( ) C我是I-convergent当且仅当,对于每一个吗 存在l=l( ) 这样

证明。假设x= ( ) C我。因此, 然后,对所有 > 0集 解决一个l( ) 。然后,我们有 适用于所有k 。因此, 相反,假设, ,一组 然后,对于每一个 ,我们有 固定 一个人 以及 F(我)。
因此, 。
这意味着 ,也就是说, 这是直径P≤直径 ,的直径P表示间隔的长度P。
这样,用归纳法,获得封闭间隔的序列: 与直径的财产 直径 为k= 1、2、3、…、 为k= 1,2,3,…,。然后,存在一个 这样 显示,x= ( ) C我I-convergent。因此,结果。

定理4。的空间 是固体和单调。

证明。让( ) 任何元素。然后,一个 让( )是一个序列的标量 ,对所有k ,因此 。
然后,的结果 是固体)遵循从上面的等式和不等式: 对所有k 。
的空间 从引理是单调,是吗1。
因此, 是固体和单调。

定理5。的空间C我既不可靠也不单调。

证明。对于这个定理,我们提供一个反例证明。

5。反例

让我=我f,考虑到k一步一步 的 定义如下。

让( ) 我们( ) 是这样的,

让我们考虑序列( )定义为 对所有k 。然后,( ) C我,但其K-step像原不属于C我。因此,( ) C我不单调。

因此,( ) C我不是固体。

定理6。让x= ( )和y= ( )在这样两个序列 。然后,空间C我和 是代数序列。

证明。让x= ( )和y= ( )是两个元素C我与 对于每一个 > 0选择β> 0的方式 <β,然后 使用上面的和规范的性质,一个获得 因此,一组 因此,( )。( ) 我Ces。因此,C我是一个代数序列。
在相似的方式,一个能证明空间 也是代数序列。

数据可用性

使用的数据来支持这个研究的发现是来自作者要求。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

作者的贡献

作者阅读和批准最终的手稿。

确认

沙特电子支持的研究工作是大学的院长职科研、大学的科学和理论研究中,沙特电子大学,利雅得,沙特阿拉伯王国。