文摘
我们提出一个随机捕食模型来研究一个新奇的想法,包括调查随机噪音影响浓缩悖论现象。存在和随机一个独特的正解的有界性与积极的初始条件。研究了全局渐近稳定来确定浓缩悖论现象的发生。我们展示理论上,密集的声音发挥重要作用在这一现象的发生,,越来越密集的噪音导致出现悖论的浓缩。我们进行数值模拟来验证和演示的理论结果。研究中的新成果可能导致越来越多的关注研究随机噪声影响一些生态和生物现象浓缩的悖论。
1。介绍
理论生态学已经在某种程度上,我们经常看到论文数学生态模型讨论纯粹的数学术语,不时没什么相同之处真正的生态过程。有一位渴望重新审视和研究不同构造块。数学建模是一种有益的工具揭示过程是如何工作的和预测它将如何进展(1]。然而,很难确定生态原则是制定生态问题一个复杂的过程2,3]。
微分方程是一个核心工具,用于描述许多生态问题在数学上。捕食者-猎物互动是一个最重要的主题在应用数学和数学生物学(4- - - - - -8]。不同风格的数学模型被用来研究捕食者-猎物互动。物流捕食模型已经被一些研究者使用由于其现实的描述物种的增长率(1]。物流模型显示一个承载能力术语表示限制物种可持续的环境。在本文中,我们使用捕食者和猎物的物流模型方程,捕食者的承载能力是一个可用的数量成正比的猎物。
矛盾的现象吸引了太多的关注比正常观测。生态学中最重要的一个悖论是悖论的浓缩,首先提到的Rosenzweig [9]。浓缩的矛盾状态,共存平衡点将破坏增加,承载能力时的不稳定可能会导致随机灭绝物种或者所有物种之一。数学上,可以解释为不稳定振动接近的一轴或两轴相空间。虽然浓缩悖论现象解释为真实世界之间的方差在许多实验研究和数学建设,浓缩的悖论发生的最近的一些实验研究[10- - - - - -12]。
随机过程有许多应用程序在不同的科学(13- - - - - -17]。随机噪声是无处不在的生态系统的特征,因为几乎所有的环境都受到一些意想不到的因素,有一个重要的角色在一个生态系统组件18- - - - - -23]。随机噪声是重要的生态学关于关注生态系统的变化和远离平衡考虑动力学。一些最近的研究调查随机捕食模型研究随机噪声影响等动态行为(24- - - - - -27]。我们强调的重点集中在文献中关于随机捕食模型主题如下:首先,使用不同的随机捕食模型;其次,建立这些系统的全球解决方案的存在性和唯一性;第三,建立充分条件存在的一个独特的各态历经的平稳分布;最后,获得持久性和灭绝的条件。
Alebraheem [28]研究了浓缩的矛盾的发生与确定性模型。出于在前面的研究结果,本文我们研究一个新奇的想法,包括调查随机概念研究随机噪声影响的矛盾的发生浓缩在捕食模型。为了研究我们的想法,我们提出一个随机捕食模型,证明随机模型的全局稳定性通过构造合适的李雅普诺夫函数和使用它公式,确定现象的发生。这项研究可能导致越来越多的关注研究随机噪声影响一些生态和生物现象浓缩的悖论。
本文的其余部分组织如下。在下一节中,我们引入一个随机捕食模型。节3,我们证明存在和随机一个独特的正解的有界性与积极的初始条件。部分4介绍了全局渐近稳定和浓缩悖论现象的发生在随机和确定性模型,除了数值模拟验证和演示的理论结果。最后,在节5、讨论和结论。
2。随机捕食模型
我们调查的随机噪音的捕食模型来研究其对该模型的动态行为的影响,对掠食者和猎物物种的影响。
的标准随机微分方程具有以下形式(21]: 的函数 被称为漂移和 是扩散矩阵。是一个标准维纳或布朗运动过程。
我们用随机微分方程来描述随机噪声的连续时间模型应用的一些研究[23- - - - - -27]。
我们定义
让 是一个完整的概率空间过滤 ,假设常数初始值 。
如果l作用于一个函数 ,然后 在哪里 , ,和 。被它的公式,我们可以实现
在本文中,我们使用连续时间捕食模型与随机扰动如下:
对初始条件, 在哪里代表的强度噪声和是一个标准维纳或布朗运动的过程 。
模型的变量和参数的意义(6)和(6 b)总结如下: :猎物密度 :食肉动物物种的密度 :固有增长率的猎物 :环境的承载能力 :捕食者的死亡率 :捕食者的攻击速度 :效率将猎物消耗转化为捕食者
3所示。正解的存在性、唯一性、有界性
由于模型((6)和(6 b)是一个生物模型,下面的定理展示全球正解的存在性和唯一性的模型(6)和(6 b))。种群动态模型,我们有一个独特的全球(即。,no explosion in a finite time) solution for any given initial value which means that there is a finite population size at a finite time [29日)的解决方案是正因为生物的可行性。
定理1。如果任何初始条件 ,还有一个独特的正解 模型的(6)和(6 b)几乎肯定 的概率。
证明。我们假设模型的解决方案(6)和(6 b))
为
,在哪里表明爆炸时间。
让我们考虑
和
。我们应用它系统上的公式(6)和(6 b))和方程(6)成为如下:
同样,对于方程(6 b),我们得到
与初始值
和
。
转换后的系统变得
与
和
。
系统的系数(10)和(10 b)满足局部李普希兹条件;这意味着系统((10)和(10 b)具有独特的当地的解决方案
为
。利用伊藤公式,系统唯一正解(6)和(6 b与初始值)
是
为
。
我们表明,该解决方案是全球如果我们验证
其子as。
从解决方案是积极的
,我们发现
让方程的唯一解
与
。
让
。现在,我们应用它公式,我们获得
与
。
随机微分方程的唯一解(13)是
。
我们有第二个方程的系统(6)和(6 b)),
让方程的唯一解
与
。
应用它公式,做同样的程序系统的第一个方程(6)和(6 b)),我们获得随机微分方程的唯一解(16),
。
此外,对系统的第一个方程(6)和(6 b)),我们有
我们可以说
假设方程的唯一解
与
。
通过应用伊藤公式,我们有唯一解的随机微分方程(20.),
。
通过对随机微分方程的比较定理(30.),我们从(14)和(21),
以同样的方式,对系统的第二个方程(6)和(6 b)),我们有
假设方程的唯一解
与
。
通过应用它公式,我们有唯一解的随机微分方程(24),
。
同时,通过对随机微分方程的比较定理30.从(),我们得到17)和(25),
由此可见,
,和存在于所有
和
我们可以得出这样的结论:
在全球范围内存在。这证明了定理。
通过前面的证明,我们有如下定理。
定理2。如果唯一的正解 系统的(6)和(6 b)有任何初始条件 ,然后存在的功能 ,和定义为满足
4所示。全局渐近稳定和浓缩的矛盾
4.1。理论分析
在本节中,我们研究了随机模型的全局稳定性(6)和(6 b)这是一个相当于平稳分布和遍历性随机模型通过构造合适的李雅普诺夫函数,利用伊藤公式(31日]。没有积极的长期有效的平衡点确定性系统。摘要随机系统的全局渐近稳定(6)和(6 b))(即。,ergodic property) is studied to determine the occurrence of the enrichment paradox phenomenon.
定义1。(见[32])。随机微分方程的平凡解(1)定义如下:(我)随机稳定 和 , 一个 这样 (2)随机渐近稳定如果是随机稳定,此外, , 这样 每当 。(3)在全球范围内随机渐近稳定如果是随机稳定,此外, 与 如果我们假设 和 ,然后模型(6)和(6 b)成为一个给定的确定性模型Alebraheem [28),但在这篇文章中,固有增长率的猎物是一个未知的值,它是固定在[128]: 共存的平衡点模型(31日)是 共存平衡点存在在下列条件:
定理3。如果 对于任何初始条件 ,还有一个独特的正解 系统的(6)和(6 b)为所有 ,这是全局渐近稳定几乎肯定(其子as)。
证明。李雅普诺夫函数定义为
所以我们有我们运用伊藤公式
同样的,我们获得
现在,我们定义
在哪里
我们选择
简化的数学分析;然后,
因此,术语的数量减少。
如果
,那么这意味着
所有轨迹。
通过前面的分析和消除随机项,确定性的动力学模型(31日)总是在一个全球稳定的共存状态,没有任何条件下的分岔。因此,浓缩的悖论与确定性模型(不出现31日),这是证明Alebraheem [28]。
推论1。如果 违反,那么共存平衡点 撼动。
我们得出结论,密集的噪音影响稳定所通过定理3;这导致浓缩的悖论发生的随机模型(6)和(6 b通过推论)如图所示2。浓缩悖论现象的发生取决于一方的承载能力和随机条件在另一侧定理所示3和推论1。
4.2。数值模拟
我们进行数值模拟随机过程的影响浓缩悖论现象的发生。在此基础上随机龙格-库塔方法过程是用来解决模型(6)和(6 b))。我们使用命令“StochasticRungeKuttaScalarNoise”MATHEMATICA 11.3程序执行数值模拟方法,根据Wolfram网站(33]。命令使用阶段Rossler标量随机龙格-库塔方法为3/2的噪音。选择参数的值满足条件(33)对掠食者和猎物的共存。参数和初始条件的值是固定的。然而,我们使用不同的噪声强度值。的值如下:
模型(31日稳定的动态行为,如图)礼物1当 ,指确定性模型(31日)。在我们的模拟中,我们观察到的动态行为变化稳定振荡时调查随机噪音 , ,和 ,如数据所示2- - - - - -4,分别。然而,区别第二、第三和第四个病例是振动的大小;增加的值 ,振动的大小增加。然后,我们获得,随机噪声影响浓缩的悖论的出现,从稳定振荡动态行为的动态行为。
(一)
(b)
(一)
(b)
(一)
(b)
(一)
(b)
5。讨论和结论
在本文中,我们研究了一个随机捕食模型来研究随机噪声对浓缩悖论现象的影响。我们所知,这是第一个研究讨论随机噪声影响浓缩悖论现象的发生。我们证明了存在,模型的唯一性、有界性定理所示1和2。研究了全球稳定确定浓缩悖论现象的发生;因此,我们证明了随机模型的全局稳定性通过构造合适的李雅普诺夫函数和使用它公式定理的证明3。这是一个相当于平稳分布和遍历性的随机模型。
理论结果表明,密集的声音中扮演重要角色的浓缩的悖论,越来越密集的噪音导致矛盾的发生浓缩在定理证明3和推论1和2。最后,我们进行了数值模拟验证和演示的理论结果。此外,我们的模拟表明,振动的大小增加而增加的密集的噪音值。
总的来说,这项研究与文献,随机噪音关注生态系统的变化和远离平衡考虑动力学。我们证明理论和显示的数值模拟的随机噪音使我们的模型破坏的密集的噪音值增加,虽然没有声音,我们的模型是稳定的。因此,浓缩的悖论产生的随机噪声。这项研究可能导致越来越多的关注研究随机噪声影响一些生态和生物现象作为未来的工作浓缩的悖论。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
作者非常感谢院长以来的科学研究和基础科学研究单位,Majmaah大学在研究项目。28 - 1439的财政支持。