文摘
我们证明一类的低维度莫兰集配合他们的豪斯多夫维数和获得一个低维的公式。随后,我们考虑一些均匀康托尔集属于莫兰集的反例,给他们Assouad维度不等于上盒子尺寸和包装尺寸的情况下,不满足条件的最小的压缩比 。
1。介绍
让我们开始与Assouad维度的定义和较低的维度。为 ,和表示一个所需开集的最小的数r有界集的封面E。
定义1。Assouad维度的非空的集合
被定义为
存在一个常数
这样,对于任何
,和
,
。
如果豪斯多夫维数提供了很好,但是全球、几何信息,然后由Assouad Assouad维度引入[1提供粗,但当地的几何信息。Assouad维度是一个基本维度的概念用于研究分形对象在各种各样的环境中。维度理论中的一个重要主题是维度通常都是成对的。的自然合作伙伴Assouad维度较低的维度,通过引入Larman [2),它被称为最小的维数。
定义2。F的低维度的定义
存在一个常数
这样,对于任何
,和
,
。
低维度并不单调,和修改后的低维度定义为
Assouad维度最近收到一个巨大的兴趣在数学文献因其连接属性翻倍。这导致Larman介绍双重维度的概念,即Assouad维度越低,通常简单地称为低维度。就像Assouad维度,较低的维度也收到一个巨大的兴趣数学文献因其联系统一度量空间的性质。因此,大量的报纸调查Assouad维度和低维度的不同类型的分形集。奥尔森(3]给出一个简单和直接的证明graph-directed莫兰的Assouad维分形满足开集条件,豪斯多夫和Ahlfors常规箱尺寸。然而,在一般情况下,很难获得Assouad维度不Ahlfors正则集。麦凯(4)计算了Assouad维度自仿地毯的贝德福德和McMullen及其主要结果奥尔森(带来的解决了这个问题3]。莫兰的集引入了温(5李]不Ahlfors常规,et al。6)获得了莫兰的Assouad维度设置在合适的条件下,研究了Assouad Cantor-like维度集。Jinjun李(7)还表明,一些莫兰的Assouad维度集配合他们的包装和尺寸上框。然而,李7)不计算这类分形的低维度,本文的主要结论6,7必须满足的条件,最小的压缩比
和文献[7猜想,如果条件的结论仍是如此
删除(见备注1 (7])。在本文中,我们证明了莫兰的低维度的一个类集配合他们的豪斯多夫维数和获得一个低维的公式。随后,我们考虑一些均匀康托尔集属于莫兰集和给他们的反例Assouad维度不等于他们的上框尺寸和包装尺寸不满足条件的情况下,最小的压缩比
,我们给一个负面的猜想答案纸(7]。
2。低维的莫兰集
首先,让我们回忆起莫兰的定义集引入了温(5]。让是一个正整数序列。定义 ,和任何 ,集 , ,和 。如果 ,让 。如果 ,备注 为 。
定义3。假设
是一个紧集
。让是一个积极的真正向量序列
和
我们说集合
封闭的子集满足莫兰结构是否满足以下莫兰结构条件(MSC):(1)为
几何相似
,也就是说,存在a similarity
这样
。为了方便起见,我们写
(2)对所有
和
的子集和满足
(3)对于任何
和
,
在哪里表示的直径一个。
假设F是封闭的集合的子集J实现莫兰结构,集
它已准备好看到E是一个非空的紧集。准备好了吗
被称为莫兰集合与集合相关F。
让
和
。的元素被称为kth-level基本套E的元素F被称为基本套E。假设一组和序列和给出了。我们表示
莫兰的类集满足MSC。我们称之为
莫兰类与三联体
。
备注1。从上面的定义,我们可以看到,如果莫兰集
和
,的相对位置kth水平的基本组E1和E2可能是不同的,尽管他们满足相同的MSC。
在一些温和的条件下,花等。8)给莫兰集的包装和上盒维数。他们的结果,我们需要一些符号。让
莫兰类。让
。让
在哪里满足以下方程:
集
我们可以现在华等人的主要结果。8]。
定理1。(见[8])。假设 莫兰类满意吗 。然后,对任何 ,
李(7)计算相当一般的Assouad维度(重要)的莫兰分形。
定理2。(见[7])。假设 莫兰类满意吗 。然后,对任何 ,
的自然合作伙伴Assouad维度较低的维度,我们证明一类的低维度莫兰集配合他们的豪斯多夫维数和获得一个低维的公式。
定理3。假设 莫兰类满意吗 和 然后,对任何 ,
引理1。存在一个概率测度支持的莫兰E这样 对于任何 和 。
证明。采取一系列概率的措施支持的E这样
对于任何
。
更准确地说,我们可以构造如下。
首先,我们单位质量能量分配米th根据层次的基本元素(11)。电感,假设我们已经分配比例的质量到一个kth水平的基本设置
;然后,我们将专注于质量均匀的
级基本子集,即
为
。
重复上述过程,得到所需的测量。
现在,解决一些
;对于任何
和
,我们获得
与此相结合的(11),我们有
对于任何
,的定义E,
因此,(14),
这给了
观察到
一个获得
总而言之,我们获得的序列概率的措施支持的E和满足(10)对于任何
和
。
现在,Hellys定理(9使我们能够提取子序列收敛弱限制措施
。
来验证满足所需的要求,我们解决一些
和
。然后,通过弱收敛的性质,
结合(19),这意味着
另一方面,拿一个
足够小,这样
- - - - - -社区的分开米th水平的基本设置;然后,
。通过弱收敛的性质,以下是适用的:
结合(19)的收益率
我们有任何
和
,
最后,对于任何这不是在E,因为E是一个闭集,存在一个开集U包含吗和分离E,因此,
,的断言支持E。
为 ,我们表示 - - - - - -通过删除这个词的最后一个字母 。为 ,我们定义通过 。
引理3。(见[7),引理3.1)。如果 ,存在一个常数这样 对所有 和 。
备注2。一些微妙的不同给出了低维度的定义如下:
存在两个常数
和
这样,对于任何
,和
,
。
很容易检查这个定义和定义2一致。
定理3的证明。修复 和 ;存在 这样 和 。由引理1存在一个概率测度支持的E,这样 在哪里表示的秩 ,也就是说,是th水平的基本设置,这意味着 的评论2,让R是足够小,这样和 因此, 利用引理3和(28),我们得到 这意味着 通过引理2和定理1定理的证明3完成。
3所示。Assouad尺寸和低维的均匀康托尔集
定义4。假设区间[0,1]和吗 对于任何 , ,在定义3。对所有 , , ,和左端点是左端点的和正确的端点是正确的端点的 。一组 被称为均匀康托尔集。写什么 。
定理4。(见[10])。假设 。然后,
定理5。假设 。如果 ,然后 。
证明。取x一些基本元素的左端点的秩序k和 ;然后, 秩序的基本元素的长度是k。很明显, 。请注意, 在这里, 秩序的基本元素的长度吗k+ 1的莫兰, 的长度是秩序的基本元素之间的间隔k+ 1的莫兰E。取 ;然后, 请注意, 当 ;因此, 。
定理6。假设 。如果 ,然后 。
证明。取x一些基本元素的左端点的秩序k+ 1, 在这里, 秩序的基本元素的长度吗k莫兰集和+ 1 的长度是秩序的基本元素之间的间隔k+ 1的莫兰E。取 。很明显, 请注意, 当 ;因此, 。
例1。取 ,然后 , ,和 。
备注3。由定理5和定理6,我们给一个负面的猜想答案纸(8,见备注1]。
数据可用性
用来支持研究的数据都包含在这篇文章。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作是支持的科研项目的湖北省教育部门(B2018358)。