文摘

交换环的扩展与两个non-Artinian中间环为特征。一个初始步骤包括交换环扩展的描述只有一个non-Artinian中间环。

1。介绍

所有戒指和代数认为本文假定为交换身份的元素;所有的子环,环扩展、代数和环(分别地。、代数同态unital承担。如果 是一个环扩展,让方便吗 表示中间环的集合(即环的集合这样 )。我们将调用一个戒指在 一个 - - - - - -越过的 。这样一个环被认为是适当的 - - - - - -越过的如果 。当的总商环吗 ,那么每个环 被称为一个越过的 。这样的一个环称为一个适当的越过的如果 。如果是ring-theoretic财产和 是一个环扩展呢 据说是一个 - - - - - -如果每一对 - - - - - -越过的有一个属性(见[1),34页)。1992年,基尔默和海因策有研究阿廷对环(cf。1])。回想一下,一个环叫做阿廷如果满足理想的降链条件。阿廷环的例子有有限维代数在字段(回想一下,一个代数在一个领域据说是根据是否有限维或无限维度 - - - - - -向量空间是有限维或无限维空间)。阿廷环,尤其是当地阿廷戒指、代数几何中发挥重要作用,例如,在变形理论。值得注意的是,最重要的一个交换环理论的研究趋势的影响,给出系统的中间环圈扩展 在扩展的结构本身。这样的系统是所有的家庭的例子 - - - - - -越过,适当的 - - - - - -越过等等。(见[1- - - - - -17])。对于ring-theoretic财产和一个环扩展 ,让表示的家庭 - - - - - -越过的这样不满足 。最近,许多作者研究环的行为扩展 的 。在这种情况下,戒指被称为最大非吗- - - - - - 子环的 。这些环扩展研究了各种属性如 诺特,ACCP Jaffard,普遍链状的,本地的,估值,pseudovaluation,整体关闭,Prufer (cf。3- - - - - -5,9- - - - - -15,17,18])。本文我们感兴趣的属性 妈妈和家庭基数1或2。我们的工作动力一方面由[5),作者研究了最大non-Noetherian域的子环,另一方面通过上述工作基尔默和亨氏有关阿廷对(cf。1])和环扩展与许多越来越浓的兴趣如上所述的中间环。节2研究环扩展 只有一个non-Artinian中间环。我们在定理1这存在一个唯一中间环之间的和这样不是阿廷当且仅当是一个最大non-Artinian子环的当且仅当 是一个封闭的扩展和最小是妈妈。因此,如果是一个积分域呢是一个最大non-Artinian子环的当且仅当是一个等级的估值和商场域吗(见推论1)。节3研究环扩展 有两个non-Artinian中间环。我们在定理充分这些扩展的性格特征2和3。

让 是一个环扩展。在这篇文章中,表示关闭的积分在和表示关闭的积分(在其总商环)。我们使用““包容和”“严格的包容。任何未定义的符号或术语标准,在19,20.]。

2。只有一个环扩展Non-Artinian中间环

我们从下面的结果,这是一款简单的结果(1](定理2)或(21)(定理3.8)。

命题1。让 是一个环扩展,假设至少有一个 - - - - - -越过的这不是妈妈。此外,假设这个班的non-Artinian - - - - - -越过的是有限的。然后, 。
我们开始我们的调查回忆一些关于最小环扩展的结果和正常对戒指。一个环扩展 据说是最小的如果是一个适当的子环和 。如果 是一个最小的扩展,那么要么 ,在这种情况下, 被称为一个封闭的最小扩展,还是 ,在这种情况下 被称为最小积分扩展(参见[22])。如果 是一个环扩展呢 被称为一对正常的如果是每个 - - - - - -越过的 。一双普通的概念 介绍了在是一个由戴维斯(积分)域(23]。最自然的一对正常的例子 出现的时候是一个任意Prufer域和是它的商字段(cf。23](定理1)或(19](定理23.4(1)及26.1 (1)))。在[24),Ayache和Jaballah追求正常的双积分域的研究。因此,几个这样对已经获得的性格特征。在[25- - - - - -27),作者研究了正常与零因子对戒指,很多结果广义的domain-theoretic任意环。
回忆从[28),鉴于环 和一个元素 ,我们说是原始的以防是一个多项式的根 与单元内容,即系数生成单元的理想 。如果每个元素是原始的 ,然后 据说是一个 - - - - - -扩展。后(20.](p。28),我们公司表示环的不可比性属性扩展(环扩展 满足公司'的理想当且仅当不同的可比性必须合同不同的'的理想 )。在[29日),如果 是一个环扩展,我们说吗 是一个公司对如果 满足公司对每一个 - - - - - -越过的 。它被证明在30.(定理) 是一个 - - - - - -当且仅当延伸 是一个公司。作者在25](定理1)确保 是一对正常当且仅当 是一个 - - - - - -扩展和完全封闭在 。

下一个定理描述环扩展只有一个non-Artinian中间环。

定理1。让 是一个环扩展。然后,以下语句是等价的:(1)存在一个唯一中间环之间的和这样不是妈妈(2) 是一个最大non-Artinian子环的(3) (关闭)最小的扩展和吗是妈妈

证明。(1)(2)命题1断言不是妈妈,是假设,存在一个唯一中间环之间和这不是妈妈,接下去是一个最大non-Artinian子环的 。(2)(3)。首先,我们注意到 是一个 - - - - - -扩展或等价 是一个公司。事实上,如果是一个合适的 - - - - - -越过的 ,然后是零维(因为它是妈妈),显然环扩展吗 满足无比。现在,我们声称完全封闭在 。让 是一个积分和假设 。然后,是一个合适的 - - - - - -越过的 。因此,是一个阿廷环。作为 是不可或缺的扩展和是零维的,我们推断也 。同样明显的是,因此,诺特吗妈妈,这是一个矛盾。我们认为使用(25](定理1),看到还在我们的介绍,过去的评论 是一个正常的一对。我们将证明 是一个最小环扩展。为此,假设是一个合适的 - - - - - -越过的 ,然后 是一个零维的一对。因此,作者在31日(推论4.2)确保是一个积分 。但是,我们已经观察到, 必须是一个正常的一对;因此, ,做完了。(3)(1),它足以表明,环不是妈妈。为此,假设相反。然后,当是妈妈, 将是一个整体扩展的(31日4.2](推论),这是一个矛盾。这就完成了证明。

接下来,我们将具体情况,域是一个积分。

推论1。让 是积分域的扩展。然后,以下语句是等价的:(1) 是一个最大non-Artinian子环的(2) 是一个等级的估值和商场域吗

证明。(1)(2)一样是一个阿廷积分域呢是一个字段。根据定理1,戒指扩展 是一个封闭的最小扩展。因此,商领域吗和是一个等级一个估值域(2)(1)简单

3所示。环扩展两个Non-Artinian中间环

我们从下面的结果。

命题2。让 是一个扩展有两个non-Artinian中间环。然后,要么 是最小的扩展和不是阿廷或有一个中间戒指吗这样 和 是最小的扩展,完全封闭在 , 是妈妈,不是妈妈。

证明。根据命题1,不是妈妈。让第二non-Artinian环等 。请注意, 是一个最小环扩展。事实上,假设相反,让这样的戒指 。因为每个 - - - - - -越过的正确地包含在是妈妈,然后将妈妈的(1(定理2),一个矛盾。如果 ,然后 是一个最小的扩展与和non-Artinian。现在假设 。随着环扩展 正好有两个non-Artinian中间环呢是妈妈。自不是阿廷和每一个合适的吗 - - - - - -越过的是妈妈,然后将最大non-Artinian子环的 。因此,定理1保证 是一个封闭的最小扩展。

在接下来的定理,我们确定环扩展 两个non-Artinian中间环完全封闭在 。

定理2。让 是一个环扩展等完全封闭在 。然后,以下语句是等价的:(1)有两个non-Artinian中间环之间和(2)要么 (关闭)最小扩展吗non-Artinian或 链的长度2是妈妈

证明。(1)(2)如果 是一个最小的扩展,然后做完了。因此,现在假设 不是一个最低限度的扩展。然后,根据命题2,存在一个中间环这样 和 是最小的扩展,是妈妈,不是妈妈。鉴于(25)(定理1和2), 是一个正常的一对。现在,我们声称 。事实上,假设 。然后, 是一个妈妈。因此,是积分([31日),推论4.2)。但是,完全封闭在自 是一个正常的一对。因此, ,一个矛盾。(2)(1)如果 是一个最小的扩展non-Artinian,然后根据(1)(定理2),不是妈妈。因此,做完了。现在假设 链的长度2是妈妈。然后, ,在哪里 和 (关闭)最小的扩展。戒指不是阿廷自否则 会阿廷对所以将是一个积分根据(31日4.2](推论),这是不可能的完全封闭在 。此外,不是阿廷自否则将妈妈的(1)(定理2)。因此,正好有两个non-Artinian中间环之间和 ,也就是说,和 。这就完成了证明。

在下面的定理,我们确定所有环扩展 两个non-Artinian中间环不是整体关闭 。但是,第一个最小环扩展是回忆的一些基本情况。根据(22)(Theoreme 1 (i)和让我1.3),如果 是最小的扩展和不是一个字段,那么存在一个唯一最大的理想的至关重要的最大理想 这样规范内射环同态 可以被视为一个最小环扩展,而正则环同态吗 是所有的同构'理想的 ,除了 。如果除了 是不可或缺的扩展,那么恰恰是售票员 (cf。22),Theoreme 1 (2))。

定理3。让 是一个环扩展等不是整体关闭 。然后,以下语句是等价的:(1)有两个non-Artinian中间环之间和(2)要么 是一个最小的积分扩展non-Artinian或 链的长度2这样是妈妈,不是妈妈,还是 包括两个链长度2这样是妈妈,不是妈妈

证明。(1)(2)如果 是一个最小的扩展,那么它一定积分自不是整体关闭 。此外,有两个non-Artinian中间环之间和 ,然后和应该non-Artinian。现在,假设 不是一个最低限度的扩展。然后,根据命题2,存在一个中间环这样 和 是最小的扩展,是妈妈,不是妈妈。此外, 是一个封闭的最小扩展。由此可见,最小环扩展 是一个积分。在这种情况下, 因此 。考虑一组: 权利要求1。有一个最大的元素事实上,很明显,非空的,因为 。一组配备一个部分有序的集合包含关系。我们现在 是一个完全下令亚科 ,,让 。一个可以很容易地检查之间的一个中间环吗和 ,和 。因此, 。此前,由于佐恩引理,有一个最大的元素。要求2。有一个最大的元素根据权利要求1,有一个最大的元素,说什么 。我们将显示最大的元素是什么 。如果 ,那么显然 最大的元素是什么 。现在假设 然后包含正常。值得注意的是,如果 ,然后和无与伦比的包容。所以, 。因此,是妈妈。很明显,是一个最大non-Artinian子环的 。由此可见, 是一个封闭的最低限度的扩展,通过定理呢1。特别是, 是一个封闭的最小扩展。不难检查 是一个扩展最小积分。让 。我们需要证明 。如果 ,然后的极大性 ,我们得到了 。现在假设和 。让 。作为是一个合适的 - - - - - -越过的和 是最小的,那么必然 。让最大最小扩展的理想是至关重要的 。它遵循从[32)(引理2.3) 。作为完全封闭在而在 ,就更不必说了 。因此, ,这是理想的矛盾。我们推断出 所以最大的元素是什么 。如果 ,然后 链的长度2。更准确地说, 。事实上,让 。如果 ,然后 。所以 。如果 ,然后 。所以 或 。现在,如果 ,我们声称 。事实上,让 。如果 ,然后 。所以 或 因为 是最小的如上所述。如果 ,然后包含所以 或 ,这是理想的结论。(2)(1)如果 是最小的扩展和不是妈妈,那么我们完成,由命题1。现在假设 链的长度,是妈妈,不是妈妈。我们声称 。事实上,正如不是整体关闭 ,然后 。现在,假设 。作为 链的长度是2,那么存在一个戒指吗这样 。戒指否则不能阿廷,因为将是一个最大non-Artinian子环的所以将整体关闭由于定理1。因此, ,这是荒谬的。由此可见, 声称。戒指不能被阿廷,定理1。因此,有两个non-Artinian中间环之间和 ,也就是说,和 。现在,假设 包括两个链长度2,是妈妈,不是妈妈。然后,存在两个无与伦比的环和不同于从这样 。首先,我们处理的情况 。假设对于一些不是妈妈,那么将是一个最大non-Artinian子环的 。所以,将整体关闭 ,由定理1,这是不可能的是积分和 。因此,和是妈妈。由此可见,是一个最大non-Artinian子环的 。因此,定理1确保完全封闭在 ,一个矛盾,因为是积分和 。因此,我们得出这样的结论: 。不失一般性,我们可以假设 。戒指妈妈因为不能通过(31日)(推论4.2),我们得到了 ,这是荒谬的。戒指是妈妈。事实上,假设相反将是一个最大non-Artinian子环的因此 根据定理是一个封闭的最小扩展1。因此, 是一个最小的积分扩展,否则吗将整体关闭 ,这与假设相矛盾了吗 。因此, ,一个矛盾的事实和 是无与伦比的。因此,有两个non-Artinian中间环之间和 ,也就是说,和 。证明已经完成。

以下推论将具体情况,域是一个积分。值得注意的是,一个重要的步骤,对积分域的最小分类扩展,被Sato-Sugatani-Yoshida,显示在[33](1738页,8日至13日行),如果 是一个最小的扩展,这样吗不是一个字段,然后呢越过了 。

推论2。让 是积分域的扩展。然后,以下语句是等价的:(1)有两个non-Artinian中间环之间和(2)要么 是最小的扩展和不是一个领域,还是是一个二阶估值与商场域 ,或 是最小的扩展和是一个等级的估值和商场域吗

证明。(1)(2)如果 是一个最小的扩展,然后做完了。因此,假设 不是一个最低限度的扩展。它遵循从定理2和3那是一个字段,不是一个领域。如果完全封闭在 ,然后 链的长度2。根据(33](1738页,8日至13日行), 。因此,是一个二阶估值与商场域 。如果不是整体关闭 ,然后定理3和[33](1738页,8日至13日行)保证 链的长度2。因此, 是最小的扩展和是一个等级的估值和商场域吗 。(2)(1)如果 是最小的扩展和不是一个字段,然后呢不能一个字段(参见[22),Theoreme 1)。如果是一个二阶估值与商场域 ,然后 ,在哪里是排名的一个估值越过 。最后,如果 是最小的扩展和是一个等级的估值和商场域吗 ,然后作者(34(定理2.4)确保 。因此,在所有情况下,正好有两个non-Artinian中间环之间和 。这就完成了证明。

我们关闭纸下面的例子。作者要感谢教授Gabriel Picavet提供这个例子。

例1。这个示例提供了一个扩展 这样 包括两个链长度2,即 和 ,这样和是妈妈,而和不是妈妈。
让 是一个离散的估值与商场域 ,这 是一个最小关闭扩展,让 是一个最小的领域扩展(然后最小积分)。集 ,和 。很明显,和妈妈,因为他们是两个领域的产物。此外,人们很容易检查 ,和 。鉴于(35(命题4.7),我们得到 和 同时,最小积分扩展吗 和 最小关闭扩展。这将导致 。现在,不难检查 (职责。 )是关键的最大理想的 (职责。 )。自 ,横向交换引理(cf。36引理2.7)断言 。特别是, 包括两个链长度2: 和 。戒指(职责。 )不是妈妈因为 (职责。 )是一个典型的nonmaximal理想的(职责。 )。

数据可用性

本文所需的所有数据都包含在本文。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者承认院长以来费萨尔国王大学科学研究的资金支持下年度研究项目(批准号180087)。