文摘

parameter-free锥形径向基函数的性能伴随着切比雪夫节点生成研究边值问题的解决方案。相比传统的锥形径向基函数方法,搭配点在哪里放置均匀或拟一致在物理域边值问题的问题,我们考虑三种不同Chebyshev-type方案生成搭配点。这个简单的计划提高精度的方法,没有额外的计算成本。给出了几个数值实验显示了新提出的方法的有效性。

1。介绍

基于径向基函数(RBF)的无网格方法对插值多维表现良好分散数据在过去几十年(1,2]。这些方法已成功地用于各种各样的应用程序由于其光谱精度和简单3- - - - - -5]。

尤其是Multiquadrics (MQ),它也被称为监察方法(6),是一种广泛使用RBF。对于传统的调查,源和搭配点都是相同的。最近,陈等人。7,8)提出了一个新颖的方法来提高性能的监察方法,在源和搭配点分离与源点扩展到更大的领域。这个想法类似于虚构的源点的使用方法中使用的基本解决方案(9]。

应该注意,MQ中扮演着重要的角色的形状参数对数值解的精度和稳定性(10,11]。因此,MQ的形状参数的选择是一个很大的问题,这样的问题也会发生一些其他径向基函数如高斯径向基函数(12,13]。在本文中,我们调查关注的锥形径向基函数是一个parameter-free函数(14]。出于之前的文献,我们提出一个新的方法根据Chebyshev-type计划提高锥形径向基函数的性能。这是实现由耦合节点生成Chebyshev-type计划和锥形径向基函数。在新提出的方法中,不需要额外的计算成本和虚拟点的解决方案在提高精度和容易实现。该方法也承诺在处理部分问题(15- - - - - -18]。

本文组织结构如下。节2,我们介绍了锥形径向基函数方法的基本理论。节3,我们提出三个新方法通过将Chebyshev-type方案下的搭配点物理域。其次是部分4,数值实现。一些数值结果,相比传统的锥形径向基函数方法,提出了部分5。最后,结束语以及一些想法未来工作提供了部分6。

2。锥形径向基函数(CRBF)方法

为简便起见,我们考虑为椭圆边值问题(BVPs)的二阶偏微分方程(PDE): 在哪里 是PDE的系数, 是一个二维物理领域,狄利克雷边界上的已知边界数据吗 ,和诺伊曼边界上的已知边界数据吗 ,与 和 。

CRBF方法的基本原理在于BVP的数值解(1 - 3)由以下通用配方: 在哪里源点的总数吗在整个物理域 , 所需的系数, CRBF,是一个积极的CRBF奇数,然后呢 欧几里得范数距离点吗 和 。

我们表示域内的搭配点 , 搭配狄利克雷边界上的点 ,和诺伊曼边界上的搭配点总数量搭配 。

通常源点和搭配点,均匀位于物理领域,是在传统的RBF方法是一样的。最近,陈等人。6,7监察方法]提出了一种简单的方法,可以在源点以外。鬼(虚构的)圆在2 d和3 d球体(或一个椭球)。在本文中,我们考虑到源点代以一种新的方式。

3所示。Chebyshev-Type方案

的主要思想是使用Chebyshev-type计划,生成的时间间隔 ,而不是传统的均匀分布的源点。应该注意的是,切比雪夫搭配方法通常是用来找出微分方程的近似解使用截切比雪夫系列(19,20.]。本文的新奇想法在于生成的点Chebyshev-type方案结合CRBF,同时计算成本仍然是一样的传统方法,不需要考虑虚拟点。数值结果在数值部分将显示新方法的性能。我们所知,这是第一次这样的技术,提出了RBF搭配方法。每个方向上的明确的一代又一代的物理域三Chebyshev-type节点如下所示。

方案1。(Chebyshev-Gauss: CG) 注意,对于任意间隔 ,一个仿射变换可以用: 这种转换可以很容易地扩展到以下两个方案。

方案2。(Chebyshev-Gauss-Radau: CGR)

方案3。(Chebyshev-Gauss-Lobatto: #) 这三个新提出的方案之间的主要区别在于搭配点的位置。三个方案的数据将显示在以下数值部分来验证提出的方案的性能。

4所示。数值实现

在RBF的数值实现,方程(4)被迫满足方程(1)- (3)在所有搭配点是一样的源点 ,我们有 在哪里

方程(9)- (11)产量 系统: 在哪里 和是转置向量。

这个过程是相同的传统的源点和生成的源点Chebyshev-type计划(5)- (8)。

5。数值结果

测量的准确性,我们计算的相对平均误差(RAE)的所有情况下的精确和近似的解决方案。

例1。我们采取的具体解决方案(1)- (3), 和域 与狄利克雷 和诺伊曼数据 在边界上,系数(1)- (3) 在这里,总搭配传统CRBF数量 ,自生成的点Chebyshev-type方案不一致选择,相应的CGR搭配点总数,CG,和#是相同的,也就是说, 。计算点的数量是相同的,也就是说, 。
在这个例子中,奇点的起源 ,所以我们使用 , , ,和 在CRBF 。相对平均误差的列表如表所示1。很明显,越来越多的数值解精度增加 。对于更大的( ),解决方案精度几乎是相同的。这是消除之后。除此之外,我们可以看到,相对平均误差的CGR-RBF CG-RBF, CGL-RBF优越比传统CRBF两个小数 和 。为 ,的相对平均误差比CRBF CGR-RBF和CG-RBF更准确的情况下与一个小数和CGL-RBF更准确比CRBF情况两个小数。
更具体地说,配置的源点和相应的绝对错误的传统CRBF和其他三个新方案 如数据所示1- - - - - -4。结果表明,传统的点和点之间的主要区别产生的三个新提出的方案躺在这个位置。生成的分三个集群新提出的方案在街角点散射中心的点,而传统的点均匀分布在整个物理域。
我们发现绝对错误如图1相对较大的角点。然而,对于这三个新提出的方案如图2- - - - - -4在拐角处,绝对错误点小。这一现象表明,提出的三个新方案可以提高角点解精度。
调查方法的稳定性,配置的平均绝对误差(AAE)传统CRBF和其他三个固定的新方案 如图5,我们可以发现,所有方法都是稳定的。对于小搭配点数字(米< 200),所有方法精度有相同的解决方案,但对于大型搭配点数字,三个新提出的方案比传统CRBF表现得更好。

例2。我们采取的具体解决方案(1)- (3), 和连接的域 与外边界 和内部边界 ,只和狄利克雷边界 被认为是和的系数(1)- (3) 在这个例子中,搭配点总数 传统CT, CGR, CG, #。计算点的数量 对于这个示例。相对平均误差的列表如表所示2。所有的数量 ,数值结果表明,相对平均误差比传统CRBF CG-RBF和CGL-RBF更准确一个小数。CGR-RBF,精度不稳定的解决方案。这个计划应该精心挑选未来的应用程序。我们建议使用CG-RBF和CGL-RBF方案相对调查。

6。结论

在本文中,我们探讨parameter-free锥形径向基函数。提出了一种新颖的搭配技巧,改善传统的锥形径向基函数方法的性能,利用Chebyshev-type方案。我们的结果表明,该方法的最具吸引力的特性是它的简单性和相应的数值解精度。直接的方法可以扩展到三维的问题,将被应用到其他具有挑战性的问题。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

支持的工作是安徽省自然科学基金(项目号1908085 qa09)和安徽大学自然科学研究项目(项目没有。KJ2019A0591、KJ2017B015 KJ2020B06)。