文摘

在本文中,我们证明了仿射变形黎曼扩展的萨博歧管是萨博pseudo-Riemannian度量,反之亦然。我们证明里奇张量的一个仿射表面斜对称的和非零当且仅当仿射表面是萨博。我们还发现表面仿射的必要和充分条件。萨博复发。我们证明,对于一个仿射。萨博复发性表面,复发的递归余向量不局部梯度张量。

1。介绍

让的余切丛 - - - - - -维管汇与一个非挠仿射连接 。帕特森和沃克(1]介绍了黎曼的概念扩展和展示了如何构建一个pseudo-Riemannian度量的 - - - - - -维的余切丛 - - - - - -维流形与非挠连接。阿菲菲(2]研究黎曼的局部属性连接仿射空间的扩展。黎曼扩展也研究了Garcia-Rio et al。3Osserman导管)。迪亚洛(4)发现黎曼的丰硕成果扩展三维流形的一个仿射Osserman连接。在[5),作者广义黎曼扩展变形黎曼扩展。在最近的一篇论文6),我们构造的例子pseudo-Riemannian萨博度量的签名通过使用变形黎曼扩展,萨博的运营商是幂零。黎曼扩展的帮助下可以构造非挠仿射系数的连接。黎曼扩展,也看到7- - - - - -9]。畸形的黎曼扩展,也看到10- - - - - -12]。

在本文中,我们研究仿射变形黎曼扩展。萨博多方面的。我们的纸是组织如下。节2,我们回忆起一些基本定义和结果变形黎曼扩展。节3,我们提供了一些已知的结果在仿射。萨博集合管。我们证明里奇张量的一个仿射表面斜对称的和非零当且仅当仿射表面是萨博。我们还发现表面仿射的必要和充分条件。萨博复发。我们证明了一个仿射。萨博复发性表面,复发的递归余向量不局部梯度张量。最后,在节4,我们证明了仿射变形黎曼扩展的萨博歧管是萨博pseudo-Riemannian度量,反之亦然。

本文中,所有的导管,张量字段和连接总是被认为是 - - - - - -可微的。

2。畸形的黎曼扩展

让的余切丛 - - - - - -维仿射廖与非挠仿射连接,让 被定义的自然投影

当地坐标系统 周围 引发当地坐标系统 ,周围 ,在哪里组件的余向量在每个余切空间 , ,对自然coframe 。让 和 ,然后,每一点 , 是一个基础余切空间 。更多细节的几何余切丛,看到13]。

黎曼扩展pseudo-Riemannian度量中性的签名 以身份(5]。 在哪里向量场是一个完整的电梯在 ,和功能 被定义为

更多细节,请参阅[5]。在当地引起的坐标 在 ,黎曼扩展(1是表达的 关于基础 ,在哪里的系数非挠仿射联系吗关于 在 。

黎曼的扩展提供了一个仿射和pseudo-Riemannian几何图形之间的联系。因此,利用黎曼的属性扩展 ,我们研究仿射的属性连接 。同样的, 局部对称当且仅当吗 本地是对称的。同样的, 射影平坦当且仅当吗 当地形平坦(14]。

让是一个对称的 - - - - - -张量场仿射歧管 。在[14),作者引入了一个变形的黎曼扩展通过对称 - - - - - -张量场在 。他们认为余切丛配备了规 ,叫做变形黎曼扩展。

畸形的黎曼扩展表示哪个是中性的指标签名 的余切丛

在当地的坐标,给出变形黎曼扩展 关于基础 ,在哪里的系数非挠仿射连接和和当地的组件是对称的吗 - - - - - -张量场 。同样,

注意,关键术语 0-section现在不再消失,黎曼的扩展,沃克和分布是内核的投影 :

畸形的黎曼扩展,张量扮演重要的角色。如果底层连接是平的,畸形的黎曼扩展不需要平(5]。畸形的黎曼扩展幂零里奇算子;因此,他们是爱因斯坦当且仅当它们里奇持平。所以,畸形的黎曼扩展可用于构建nonflat里奇pseudo-Riemannian集合管(14]。

3所示。仿射。萨博集合管

让 是一个仿射管汇和 。仿射。萨博操作符(15)对是一个函数的来 , ,定义为 对于任何一个向量场在哪里仿射的曲率运营商连接吗 。仿射。萨博运营商满足 和 ,为 。如果 ,为 ,和 ,我们有 在哪里 。

让 是一个仿射管汇和 。 据说是仿射。萨博在哪里 如果仿射。萨博算子有相同的特征多项式每一个向量场吗在 。如果 是仿射。萨博在每个 ,然后 被称为仿射。萨博。更多细节,请参阅[16]。

现在,我们给出一个已知的结果,供以后使用。

定理1。(见[17])。让 是一个 - - - - - -维仿射歧管和 。然后, 在仿射。萨博 当且仅当仿射。萨博的特征多项式算子是 ,对于每一个 。

我们有一个仿射。萨博的完整描述的表面。

定理2。(见[17])。让 是一个仿射表面。然后,在仿射。萨博 当且仅当里奇张量 在循环并行 。

接下来,我们研究一些具体情况。一个仿射表面的曲率是编码里奇张量。我们修复坐标 在,让 ,为 ,在哪里 。然后,一个简单的计算表明,曲率张量的分量是由 在哪里 里奇张量给定的组件吗

让 是一个向量场 。很容易检查仿射。萨博算子表示,关于基础 ,作为 的系数 , , ,和是由

其特征多项式给出的

在这里,我们调查的仿射表面里奇张量是反对称的。

定理3。让是一个非挠仿射连接在一个表面上 。然后,里奇张量到处都是斜对称的和非零当且仅当吗 是仿射。萨博。

证明。如果里奇张量是反对称的, 和 。然后,萨博运营商是幂零。
相反,如果 仿射。萨博,跟踪和行列式的14)将是零,这是前提 和 。

仿射的调查与反对称的里奇张量对表面近年来极具吸引力的和富有成果的。我们把纸(18Derdzinski]的更多细节。考虑到黄简化定理([19],定理4.2)(18),我们有以下。

定理4。如果每一个点的仿射表面有一个邻居与坐标 的组件功能非挠仿射连接是 , ,对于一些功能 , ,除非 ,然后 是仿射。萨博。

证明。很容易证明的里奇张量是反对称的。

一个拉格朗日 在多方面的是一个函数在一个非空的开集吗 。一个拉格朗日 产生运动方程的欧拉方程,对曲线 和速度 完全在于 。fractional-linear函数在一个二维的向量空间是一个有理函数的形式 ,定义在一个非空的开放的子集 ,在哪里 是线性无关的泛函,。通过使用([18),定理11.1)和定理3,我们有。

定理5。让是一个非挠仿射连接在一个表面上 。如果每一个点有一个邻居与fractional-linear拉格朗日 这样的欧拉方程的解决方案配合的测地线,取消了 ,躺在 ,然后 是仿射。萨博。

定义1(见[19])。一个张量场据说如果存在复发1这样= ,在哪里是一个仿射连接。特别是,一个仿射表面 据说如果里奇张量是反复复发。

定理6。让 是一个仿射。萨博表面。然后, 复发性当且仅当,在每一个点,存在一个坐标系 的非零组件这是 对于一些标量函数这样 。此外, 不是局部对称。

证明。考虑里奇张量 ,在哪里反对称的一部分吗和对称的一部分吗 。然后,通过使用定理3,我们可以这样说 是一个仿射。萨博当且仅当里奇张量的到处都是斜对称的和非零。然后,它遵循从([19],定理4.2)的三种可能性nonflat不断重现的仿射表面是一个,每一个点左右,存在一个坐标系统 的非零组件这是 对于一些标量函数这样 。现在,很容易计算 ,这从来都不是零。所以, 不是局部对称。

通过使用的结果([19),定理2.2)和定理3,我们可以说如下。

定理7。让 是一个仿射。萨博复发性表面。然后,复发的递归余向量不局部梯度张量。

4所示。仿射变形黎曼扩展的萨博多方面的

一个pseudo-Riemannian廖 据说如果萨博运营商。萨博呢 对单位伪球面束有恒定的特征值 。任何萨博歧管中局部对称黎曼(15)和洛伦兹(20.)设置,但较高的签名情况与幂零。萨博运营商支持的例子(cf。21),在其中的引用)。现在,我们将证明下面的结果。

定理8。让 是一个二维平滑非挠仿射多方面的。然后,以下断言是等价的:(1) 是一个仿射。萨博廖吗(2)畸形的黎曼扩展 的 是pseudo-Riemannian幂零。萨博歧管中性的签名吗

证明。让的系数非挠仿射连接和表示的本地组件 。然后,非挠仿射变形黎曼扩展的连接是pseudo-Riemannian度规张量的签名给出的 一个简单的计算表明,非零克里斯托费尔符号Levi-Civita连接给出如下: 在哪里 和 。非零组件的曲率张量 通常的对称性给出如下(我们省略 ,在我们的考虑,因为它没有作用): 在哪里的曲率张量的分量吗 。更多细节,请参阅[14]。
让 是一个向量场 。然后,萨博的矩阵算子关于基础 的形式: 在哪里是仿射。萨博的矩阵运算符相对于基础 。注意,特征多项式的和的是相关的 现在,如果仿射歧管 被认为是仿射。萨博呢零特征值为每个向量场吗在 。因此,遵循从(23)的特征值每一个向量场消失在 。因此, pseudo-Riemannian。萨博是多方面的。
相反,假设 是一个pseudo-Riemannian。萨博歧管。如果 是一个任意的向量场 ,然后 是一个单位向量场零部分的每一点吗 。然后,从(23),我们看到特征多项式的是特征多项式的平方的 。因为每单位向量场在 ,特征多项式应该是相同的,因此,对于每一个向量场吗在 ,特征多项式是相同的。因此, 是仿射。萨博。

例如,我们有以下。

定理9。(见[6])。让 和被定义的非挠连接 和 。假设和满足 和 ,在哪里 。然后,pseudo-Riemannian度量余切丛上中性的签名这样定义的设置 萨博是对称的吗 - - - - - -张量场 。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。